S T A T Y K A
ZASADY (AKSJOMATY1) STATYKI
Zasada 1
Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się tyl-
ko wtedy, gdy działają wzdłuż jednej prostej, są przeciwnie
skierowane i mają te same wartości liczbowe.
Zasada 2*
Działanie układu sił przyłożonych do ciała sztywnego nie
ulegnie zmianie, gdy do tego układu zostanie dodany lub
odjęty dowolny układ równoważących się sił (tzw. układ ze-
rowy).
Równowaga sił:
wektorowo: P =� P'
Zerowy układ sił:
P1 =� -�P2
Interpretacja pierwszej Interpretacja drugiej
zasady statyki zasady statyki
Do ciała sztywnego zawsze można przyłożyć dwie równe
co do wartości liczbowej i przeciwnie skierowane siły, działające
wzdłuż tego samego kierunku. Zerowe układy sił wykorzysty-
wane są do identyfikacji sił działających na elementy konstruk-
cyjne.
Z zasady 2 wypływa ważny praktyczny wniosek, że każdą
siłę działającą na ciało sztywne można dowolnie przesuwać
wzdłuż kierunku jej działania. Wektor, który może być dowol-
nie przesuwany wzdłuż kierunku działania, nazywa się wekto-
rem przesuwnym. Siła działająca na ciało sztywne jest wekto-
rem swobodnym.
1
Aksjomat  twierdzenie przyjmowane bez dowodu, pewnik.
02 Statyka 10
Zasada 3 (zasada równoległoboku)
r� r�
P1 i P2
Dowolne dwie siły , przyłożone do jednego punktu,
r�
R
można zastąpić siłą wypadkową przyłożoną do tego
punktu i przedstawioną jako wektor będący przekątną rów-
noległoboku ABCD zbudowanego na wektorach sił w spo-
sób pokazany na rysunku.
Moduł wypadkowej R można obli-
czyć z zależności:
r�
2 2 2 2
R=�R=� P1 +� P2 +� 2P1 P2 cosf�
,
gdzie f�  kąt między siłami P1 i P2.
Po zastosowaniu do trójkątów ABD i
Zasada równoległoboku
ACD twierdzenia sinusów otrzymuje
się:
P2 P1
sina� =� sinf�, sinb� =� sinf�.
R R
Wyznaczanie wypadkowej R, gdy są znane P1 i P2 oraz kąt f�,
jest nazywane zadaniem prostym. Zasada równoległoboku
pozwala również rozwiązać zadanie odwrotne: rozłożyć daną
siłę P na dwie składowe o znanych kierunkach działania, prze-
cinających się w punkcie przyłożenia siły P i leżących z nią w
jednej płaszczyz
nie. Dla znanych P, a� i b� korzysta się wówczas
ze wzorów:
sinb� sina�
P1 =�P P2 =�P
sin(�a� +� b�)�, sin(�a� +� b�)�.
Zasada 4 (działania i przeciwdziałania)
Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości i prze-
ciwnie skierowane wzdłuż tej samej prostej przeciwdziała-
nie.
Zasada 4 odpowiada trzeciemu prawu Newtona, sformułowa-
nemu nie dla punktu materialnego, ale dla dowolnego ciała ma-
terialnego.
02 Statyka 11
Zasada 5 (zasada zesztywnienia)*
Równowaga sił działających na ciało odkształcalne nie zo-
stanie naruszona przez zesztywnienie tego ciała.
Na podstawie tej zasady przyjmuje się, że układ sił działa-
jących na ciało odkształcalne będące w równowadze spełnia
te same warunki równowagi, które dotyczą działania układu sił
na ciało sztywne. Zasada zesztywnienia ma więc ogromne zna-
czenie praktyczne w wytrzymałości materiałów, traktowanej ja-
ko mechanika ciała odkształcalnego.
Zasada 6 (zasada oswobodzenia od więzów)*
Każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić od
więzów, zastępując przy tym ich działanie odpowiednimi re-
akcjami. Dalej ciało to można rozpatrywać jako ciało swo-
bodne, podlegające działaniu sił czynnych (obciążeń) oraz
sił biernych (reakcji).
UWAGA: zasady nr 2, 5 i 6 (oznaczone *) zostały wyróż-
nione ze względu na ich znaczenie w wytrzymałości materiałów
(mechanice ciała odkształcalnego).
02 Statyka 12
UKA
ADY SIA
W STATYCE
Wszystkie siły układu działającego na ciało
Płaskie układy sił
sztywne leżą w jednej płaszczyz
nie.
Siły układu działające na ciało sztywne
Przestrzenne układy sił
mają dowolne kierunki w przestrzeni.
Linie działania wszystkich sił przecinają się
Zbieżne układy sił
w jednym punkcie.
Linie działania wszystkich sił są do siebie
Równoległe układy sił
równoległe.
Linie działania wszystkich sił mają dowolne
Dowolne układy sił
kierunki działania
Y
Płaski układ sił zbieżnych
X
Y
Płaski układ sił równoległych
X
Y
Płaski
układ sił dowolnie
skierowanych (dowolnych)
X
Y
Przestrzenny
X
układ sił zbieżnych
Z
Y
Przestrzenny
układ sił równoległych
X
Z
Y
Przestrzenny
układ sił dowolnie skierowa-
X
nych (dowolnych)
Z
02 Statyka 13
PA
ASKIE ZBIEŻNE UKA
ADY SIA

W płaskim układzie sił zbieżnych kierunki działania sił
przyłożonych do ciała sztywnego
leżą w jednej płaszczyz
nie
i przecinają się w jednym punkcie.
Wypadkową układu sił zbieżnych nazywa się jedną siłę (wektor)
zastępującą działanie danego układu sił.
P1,P2, ...., Pn
Dowolny płaski układ n sił przyłożonych
do punktu O ciała sztywnego można zastąpić
R
siłą wypadkową równą sumie wektorowej
(geometrycznej) tych sił i przyłożoną również do punktu O.
i=�n
R =� P1 +� P2 +�...+� P2 =�
i
��P
.
i=�1
P1
P3
P1
O
O
P
P
2
2
P3
P4
P4
Układ sił działających na ciało sztywne Płaski układ sił zbieżnych
P1 P
P1 P
12
2
P
O
123
P3
P
O
2
R = P R
P4 P3 1234
P4
Wypadkowa wyznaczona za pomocą Wypadkowa wyznaczona
metody równoległoboku za pomocą wieloboku sił
02 Statyka 14
P1,P2, ...., Pn
Siły zbieżne działające w jednej płaszczyz
nie znaj-
dują się w równowadze, gdy wektor
R
siły wypadkowej równa się zeru.
i=�n
R =�
i
��P =� 0
i=�1
ANALITYCZNE WYZNACZANIE WYPADKOWEJ
Y
P
PY
a�
PX
X
O
Rzuty wektora P na osie X i Y: PX = P��cosa�, PY = P��sina�
PX, PY  składowe siły P.
Gdy znane są składowe, wartość siły i jej kierunek
wyznacza się z zależności:
2 2
P =� Px +� PY
,
PX PY
cosa� =� , sina� =�
.
P P
UKA
AD RÓWNAC
RÓWNOWAGI
DLA PA
ASKIEGO UKA
ADU SIA
ZBIEŻNYCH
W ZAPISIE ANALITYCZNYM:
i=�n i=�n
RX =� RY =�
iX iY
��P =� 0, ��P =� 0
i=�1 i=�1
02 Statyka 15
PA
ASKIE UKA
ADY SIA
RÓWNOLEGA
YCH
PA
ASKI UKA
AD SIA
O TYCH SAMYCH ZWROTACH
(zgodnie skierowanych)
Na ciało sztywne dzia-
łają dwie siły równole-
P1 P2.
głe i
P1 P2
Dwie równoległe, zgodnie skierowane siły i przyłożo-
ne do punktów A i B ciała sztywnego można zastąpić siłą wy-
W
padkową równą sumie tych sił, równoległą do nich
W
i zgodnie z nimi skierowaną. Linia działania wypadkowej
dzieli wewnętrznie odcinek AB odwrotnie proporcjonalnie do
P1 P2
wartości liczbowych sił i .
P1 OB
=�
P1 P2
W
= + , .
P2 OA
PA
ASKI UKA
AD SIA
O PRZECIWNYCH ZWROTACH
(przeciwnie skierowanych)
Dwie równoległe, przeciwnie skie-
P
2
O
A P1 P2 P1 P2
rowane siły i ( > ) przyło-
B
żone do punktów A i B ciała sztyw-
P
1
nego można zastąpić siłą wypad-
-
W = P
P
2
1
W
kową równą różnicy wartości
liczbowych tych sił, równoległą do nich i skierowaną zgodnie z
siłą o większej wartości liczbowej. Linia działania wypadkowej
W
dzieli zewnętrznie odcinek AB odwrotnie proporcjonalnie do
P1 P2
wartości liczbowych sił i i leży po stronie większej siły.
AO P2
=�
P1 P2
W
= - , .
BO P1
02 Statyka 16
MOMENT SIA
Y WZGL
DEM PUNKTU
M0
Moment siły P względem
punktu 0 to wektor, którego
wartość bezwzględna równa
P
r
jest iloczynowi wartości licz-
A
0
bowej siły P i ramienia tej
h
siły względem punktu 0.
M0 =� r �� P
Skalarnie: ę�M0ę� = P �� h (h  ramię).
Wektorowo:
Jednostka momentu: [M0] = N��m (niuton razy metr)
Znak momentu: reguła prawej dłoni:
ANALITYCZNE WYZNACZANIE MOMENTU:
Y
Py
P
y
P
A(x, y) x
X
h
x
O
M0 =� Py �� x -�Px �� y =� P��h
Moment siły względem punktu jest równy zeru, gdy:
�� siła jest równa zeru,
�� linia działania siły przechodzi przez dany punkt (ramię=0).
02 Statyka 17
PARA SIA
, MOMENT PARY SIA

Założenie: P1 = P2
Ą�
P
P
2
2
Para sił
Zerowy układ sił
P
1
a
P
1
Układ dwóch sił równoległych, skierowanych w przeciwnych
kierunkach, o równych modułach, nazywa się PAR
SIA
.
Odległość między siłami  ramię pary sił.
Siły tworzące parę nie mają wypadkowej (P1 = P2),
ale i nierównoważące się, gdyż nie działają wzdłuż
jednego kierunku  nie są zerowym układem sił.
Niezrównoważona para sił działając
na ciało sztywne powoduje jego obrót.
Z
MOMENT PARY SIA
 wektor,
M
którego wartość bezwzględna
(moduł) równa jest iloczynowi
P
wartości liczbowej jednej z sił
0
P
pary oraz ramienia tej pary:
a
M = P��a.
Moment sił tworzących parę względem dowolnego punktu:
O
P
P
MO =� P ��h1
ó�
MO =� -�P ��h2
900
ó�
MO +� MO =� P ��h1 -� P ��h2 =� P ��(h1 -� h2) =� P ��a =� M.
Suma momentów sił tworzących parę względem dowol-
nego punktu płaszczyzny w której leży para sił, równa
jest MOMENTOWI DANEJ PARY SIA
.
02 Statyka 18
h
2
h
1
a
RÓWNOWAŻNE UKA
ADY SIA

Równoważne układy sił to układy, które wywierają
jednakowe działania na ciało sztywne.
WYPADKOWA  siła równoważna układowi sił.
Pary sił o tej samej płaszczyz
nie działania
i o równych momentach są sobie równoważne.
Ponieważ wywierają one na ciało sztywne
jednakowe działanie  można je wzajemnie zastępować.
Parę sił można dowolnie przesuwać w jej płaszczyz
nie dzia-
łania, zachowując jedynie niezmieniony moment. Jako
punkt przyłożenia wektora momentu pary sił M można
obrać dowolny punkt rozpatrywanej płaszczyzny.
MOMENT M PARY SIA
JEST WEKTOREM SWOBODNYM.
Gdy na ciało sztywne działa n par sił leżących w jednej
płaszczyz
nie, to pary te można zastąpić parą wypadkową
o momencie równym sumie momentów poszczególnych par.
i=�n
M=�
i
��M
.
i=�1
WARUNEK RÓWNOWAGI PAR SIA

DZIAA
AJ
CYCH W PA
ASZCZYy
NIE
Aby pary sił działające na ciało sztywne w jednej płaszczyz
nie
znajdowały się w równowadze, suma momentów tych par
musi się równać zeru.
i=�n
i
��M =�0
i=�1
02 Statyka 19
PA
ASKIE UKA
ADY
SIA
DOWOLNIE SKIEROWANYCH
Zastępowanie układu sił działających na ciało sztywne przez
prostszy, równoważny układ sił, nazywa się
REDUKCJ
UKA
ADU SIA
.
REDUKCJA PA
ASKICH UKA
ADÓW SIA

1. Płaski układ sił zbieżnych �� redukcja do siły wypadkowej.
2. Płaski układ sił równoległych zgodnie skierowanych
�� redukcja do siły wypadkowej.
3. Płaski układ sił równoległych przeciwnie skierowanych
�� redukcja do siły wypadkowej oraz momentu pary sił.
REDUKCJA POJEDYNCZEJ SIA
Y
W PA
ASKIM UKA
ADZIE SIA
DOWOLNYCH
Zerowy układ sił
M0= P��h
P
P
P
P
A
O
900
A
A
O
900
P
�� ��
h
h
REDUKCJA PA
ASKICH UKA
ADÓW SIA
DOWOLNYCH
Z
Siły dowolnie skierowane,
M0
leżące w jednej wspólnej
P P
płaszczyz
nie, redukuje się
do układu najprostszego,
A
O
900
czyli wypadkowej oraz
-P
P
pary sił.
h
02 Statyka 20
Siłę P przyłożoną do dowolnego punktu A ciała sztywnego
można zastąpić równą jej siłą przyłożoną do dowolnego punktu
O tego ciała, dodając jednocześnie parę sił o momencie rów-
nym momentowi danej siły P względem punktu O.
= P��h
M0
P P
=
A A
O
900
h
Punkt O  biegun redukcji, środek redukcji.
Biegunem (środkiem) redukcji może być
dowolny punkt sztywnego ciała.
Każdy układ sił przyłożonych do ciała sztywnego o kierun-
kach działania leżących w jednej płaszczyz
nie, równoważ-
ny jest (może być zastąpiony) układowi złożonemu z jednej
MO
R
siły wypadkowej oraz pary sił o momencie , przyłożo-
nych do dowolnego punktu O ciała, zwanego biegunem
R
redukcji. Wypadkowa równa jest sumie wektorowej
wszystkich sił i nazywa się wektorem głównym układu sił,
MO
moment równy jest sumie momentów wszystkich da-
nych sił względem punktu O i nazywa się momentem
głównym względem bieguna redukcji O.
i=�n i=�n
R =� MO =�
i Oi
��P ��M
i=�1 i=�1
Wektorowy zapis redukcji płaskiego
dowolnego układu sił.
R
Wektor główny nie zależy od wyboru bieguna redukcji O.
MO
Moment główny zależy od wyboru bieguna redukcji O.
02 Statyka 21
Analityczny zapis redukcji dowolnego układu sił:
Y
A2
P
Y'
1
P2
A1
P
'
X
P
yi
i
R
'
O
yi
Ai A3 P
xi
a�
MO P
3
X
xi
O
i=�n i=�n i=�n
R =� RX =� RY =�
i Xi Yi
��P ��P ��P
�� ,
i=�1 i=�1 i=�1
MOi =� PYi �� xi -�PXi �� yi
i=�n i=�n i=�n
MO =� MO =�
Oi Oi Yi
��M ��M =� ��(�P �� xi -� PXi �� yi)�
��
i=�1 i=�1 i=�1
Ry
RX
cosa� =� , sina� =�
R R
ZMIANA BIEGUNA REDUKCJI
*� Wektor główny R nie zmienia się
przy zmianie bieguna redukcji.
*� Moment główny MO zmienia się
wraz ze zmianą położenia bieguna redukcji.
Y'
Y
R
R
a�
X'
a�
MO
O'
X
O MO'
Redukcja względem punktu O Redukcja względem punktu O
02 Statyka 22
REDUKCJA PA
ASKIEGO UKA
ADU SIA

DO JEDNEJ SIA
Y WYPADKOWEJ
W ogólnym przypadku układ sił działających
R
na ciało sztywne można zredukować do wypadkowej
MO
oraz momentu pary sił .
i=�n
R =�
ZAA
OŻENIE:
i
��P ą� 0
i=�1
W przypadku gdy suma wektorowa płaskiego układu sił
P1,P2, ...., Pn
działającego na ciało sztywne jest różna od zera,
to układ ten można zastąpić jedną siłą wypadkową równą
wektorowi głównemu R .
R
R
R
M0
=
=
900
O
900
O C
O C
R
h
h
M0 Wypadkowa dane-
Wynik redukcji pła-
h =�
go układu sił
skiego układu sił R
Punkt C należy odmierzać w takim kierunku, aby znak otrzyma-
MO
nej pary sił był zgodny z kierunkiem .
REDUKCJA PA
ASKIEGO UKA
ADU SIA

DO MOMENTU WYPADKOWEGO
i=�n
R =�
ZAA
OŻENIE:
i
��P =� 0
i=�1
W przypadku gdy wektor główny R płaskiego układu sił jest
równy zeru, siły te można zastąpić jedną parą sił o momencie
równym sumie momentów tych sił względem dowolnego punktu
płaszczyzny.
i=�n
MO =�
Oi
��M
.
i=�1
02 Statyka 23
REDUKCJA PA
ASKIEGO
DOWOLNEGO UKA
ADU SIA

Y
Dowolny płaski układ sił
(siły skupione, momenty)
X
Redukcja
R
R
do wektora głównego
O
MO
i momentu głównego
M0
(O  biegun redukcji,
dowolny punkt
płaszczyzny XY)
R
R
O
R
h=M /R
O
O
Redukcja do jednej siły
R
02 Statyka 24
=
=
=
Redukcja przestrzennego układu sił do skrętnika
Przestrzenny układ sił zredukowa-
ny do siły osiowej i momentu skrę-
cającego (skrętnika):
Przestrzenny układ sił:
��
SKR
TNIK:
��
02 Statyka 25
RÓWNANIA RÓWNOWAGI
DLA PA
ASKIEGO UKA
ADU SIA

Aby dowolny płaski układ sił był w równowadze
(nie wywoływał ruchu), wektor główny oraz moment
główny tego układu muszą być równe zeru.
i=�n i=�n
R =� MO =�
i Oi
��P =� 0 ��M =� 0
.
i=�1 i=�1
Zapis algebraiczny (dwa równania rzutów sił, jedno równanie
momentów):
i=�n i=�n i=�n
Xi Yi Oi
��P =� 0 ��P =� 0 ��M =� 0
, ,
i=�1 i=�1 i=�1
Równania rzutów mogą zostać zastąpione równaniami momen-
tów względem innych punktów.
WARIANT 1:
Równania równowagi składają się z trzech równań momentów
i=�n
P2
P
1
Ai
��M =� 0
A1
A
A2
i=�1
i=�n
B
C
Bi
A3 ��M =� 0
An
Pn i=�1
P
3
i=�n
Ci
��M =� 0
i=�1
WARUNEK: punkty A, B i C nie mogą leżeć na jednej prostej.
WARIANT 2:
Równania równowagi składają się z dwóch równań momentów
oraz jednej sumy rzutów sił.
i=�n i=�n i=�n
xi Ai Bi
��P =� 0 ��M =� 0 ��M =� 0
i=�1 i=�1 i=�1
WARUNEK: dowolna oś X nie może być prostopadła
do prostej łączącej punkty A i B.
02 Statyka 26
REDUKCJA PA
ASKIEGO
UKA
ADU SIA
RÓWNOLEGA
YCH
Układ sił równoległych P1, P2, & , Pn,
przyłożonych do punktów A1, A2, & , An ciała sztywnego.
R
Y
P1
P
n-1
P
An-1
2
A1
P
n
A
A2
An
X
O
x1
x2
x
xn-1
xn
Zapis wektorowy Zapis skalarny
i=�n i=�n
Wypadkowa sił:
R =� R =�
i i
��P ��P
i=�1 i=�1
Dla sił o zwrocie przeciwnym niż na powyższym rysunku należy
przyjąć znak    .
Wyznaczenie linii działania wypadkowej R:
suma momentów wszystkich sił względem punktu O
i=�n i=�n
x x
��P �� xi ��P �� xi
i=�n
i=�1 i=�1
R �� x =� x =� =�
x
��P �� xi
i=�n
R
i=�1
x
��P
i=�1
W przypadku, gdy R = 0 układ nie ma wypadkowej i jest rów-
noważny parze sił o momencie
i=�n i=�n
MO =�
Oi i
��M =� ��P �� xi
i=�1 i=�1
02 Statyka 27
RÓWNANIA RÓWNOWAGI DLA PA
ASKIEGO
UKA
ADU SIA
RÓWNOLEGA
YCH:
Suma rzutów sił na oś równoległą do kierunku działania sił:
i=�n i=�n
R =�
i iy
��P =���P =�0
,
i=�1 i=�1
Suma momentów względem dowolnego punktu O:
i=�n
MO =�
Oi
��M =� 0
.
i=�1
W płaskim układzie sił równoległych występują dwie niewiado-
me wielkości.
Równanie sumy rzutów sił można zastąpić równaniem momen-
tów. A, B  dowolne punkty nie leżące na prostej
równoległej do kierunku działania sił, wówczas:
i=�n i=�n
A B
��M =� 0 ��M =� 0
i=�1 i=�1
02 Statyka 28
SIA
Y ROZA
OŻONE  OBJ
TOŚCIOWE,
POWIERZCHNIOWE I LINIOWE
Siły objętościowe (masowe)  ciężar (siły grawitacji).
Siły powierzchniowe (CIŚNIENIE).
Siły rozłożone wzdłuż linii:
Y
Intensywność
obciążenia ciągłego q:
q(x)
N
Q
wymiar [q]:
q(x)dx
m
dQ=q(x)��dx
X
L
0
x dx
Q =�
��q(x)dx
xC
0
L
Siłą Q zastępuję działanie obciążenia ciągłego rozłożo-
nego na odcinku o długości L  jest to wypadkowa obcią-
żenia ciągłego. Punkt przyłożenia obciążenia zastępcze-
go Q wyznacza się z sumy momentów względem 0:
L
L
��x �� q(x)dx
0
��M =� -�Q ��xC +� �� q(x)dx =� 0
��x
0
xc =�
0
Q
PRZYKA
ADY:
q=const F=qL
xC =0,5L
L
L
q F=1/2 qL
xC =1/3L
L
xC =2/3L
L
q2
q2- q1
q1
q1
L
L
L
02 Statyka 29
Warunki równowagi dla płaskich układów sił
Układ sił Warunki równowagi
n
1. =�0
��Pxi
i=�1
n
2. =�0
��Pyi
i=�1
Zbieżny układ sił
n n
1. =�0; =�0
��Pyi ��MOi
i=�1 i=�1
(0  dowolny punkt)
n n
2. =�0, =�0
��MAi ��MBi
i=�1 i=�1
(A, B  dowolne punkty nie leżące na prostej
Układ sił równoległych
równoległej do kierunku działania sił)
n n n
1. =�0, =�0, =�0
��Pxi ��Pyi ��MOi
i=�1 i=�1 i=�1
(0  dowolny punkt)
n n n
2. =�0, =�0, =�0
��MAi ��MBi ��MCi
i=�1 i=�1 i=�1
(A, B, C  nie mogą leżeć na jednej prostej)
n n n
Układ sił
3. =�0, =�0, =�0
��Pxi ��MAi ��MBi
dowolnie skierowanych
i=�1 i=�1 i=�1
(Oś X nie może być prostopadła do prostej AB)
02 Statyka 30
Warunki równowagi dla przestrzennych układów sił
Układ sił Warunki równowagi
n
Y
1. =�0
��Pxi
i=�1
n
2. =�0
X
��Pyi
i=�1
Z
n
3. =�0
��Pzi
i=�1
Zbieżny układ sił
n
1. =�0
��Pyi
Y
i=�1
n
2. =�0
��Mxi
X i=�1
n
Z
3. =�0
��Mzi
i=�1
Równoległy układ sił (dotyczy sił równoległych w kierunku osi Y)
n
1. =�0
��Pxi
i=�1
n
2. =�0
��Pxi
i=�1
Y
n
3. =�0
��Pxi
i=�1
X
Z
n
4. =�0
��MXi
i=�1
Układ sił
n
dowolnie skierowanych
5. =�0
��MYi
i=�1
n
6. =�0
��MZi
i=�1
02 Statyka 31
INTERPRETACJA ZNAKÓW
W RÓWNANIACH STATYKI
W rozwiązywaniu zadań z mechaniki (oraz wytrzymałości mate-
riałów) nie zawsze można prawidłowo przewidzieć kierunki sił
zewnętrznych biernych (reakcji). Ponieważ równania statyki ma-
ją charakter praw fizycznych, w oparciu o swoją wiedzę i do-
świadczenie, można dokonać założeń o kierunkach tych reakcji.
Po rozwiązaniu układu równań statyki poczynione założenia są
weryfikowane:
�� Gdy otrzymane wartości sił są ze znakiem  + : założenie by-
ło prawidłowe.
�� Gdy otrzymane wartości sił są ze znakiem    : założenie było
nie prawidłowe. Prawdziwy kierunek sił jest przeciwny do za-
łożonego.
ZAGADNIENIA
STATYCZNIE WYZNACZALNE
I STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
 Płaski układ sił dowolnie skierowanych  3 równania statyki.
 Przestrzenny układ sił dowolnie skierowanych  6 równań
statyki.
W statyce ciała sztywnego przy zadanych obciążeniach
poszukuje się reakcji podpór.
STATYKA ZAJMUJE SI
ZAGADNIENIAMI STATYCZNIE
WYZNACZALNYMI, DO ROZWI
ZANIA KTÓRYCH
WYSTARCZAJ
RÓWNANIA STATYKI.
Płaskie układy sił dowolnie skierowanych  3 niewiadome.
Przestrzenne układy sił dowolnie skierowanych  6 niewiado-
mych.
Gdy w zadaniu liczba niewiadomych przekroczy liczbę równań
statyki  ZADANIE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE, dla
rozwiązania którego trzeba odstąpić od modelu ciała sztywnego
�� WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW.
02 Statyka 32
T A R C I E
Model ciał idealnie gładkich  siły reakcji są prostopadłe
do powierzchni.
R
N
j�
P
T
G
P  siła zewnętrzna czynna (obciążenie),
G  siła zewnętrzna czynna (ciężar),
R  reakcja,
N  składowa normalna reakcji,
T  siła tarcia.
CIAA
O ZNAJDUJE SI
W RÓWNOWADZE
GDY SIA
A P < T LUB P = T.
Gdy P > T  ciało zacznie się porusza (ślizgać).
Wartość siły tarcia jest ograniczona i nie może przekroczyć
pewnej maksymalnej wartości.
PRAWA TARCIA COULOMBA:
1. Siła tarcia posuwistego leży w płaszczyz
nie poruszających się
ciał i jest skierowana w kierunku możliwego przesuwu ciała.
Siła tarcia wynosi 0 Ł� T Ł� Tmax. Wartość Tmax siła tarcia osiąga
w chwili utraty równowagi.
2. Siła tarcia jest niezależna od pola powierzchni stykających się
ciał. Zależy jedynie od materiału, jego właściwości fizycznych,
temperatury, smarowania, wilgotności itp.
3. Maksymalna siła tarcia jest proporcjonalna do wielkości
reakcji normalnej.
02 Statyka 33
Dla ciała w spoczynku: T Ł� m���N.
Dla ciała w ruchu: T = m�k��N.
Maksymalna siła tarcia: T = m���N, m�  współczynnik tarcia
spoczynkowego (statycznego). Dla ciała w ruchu (ślizgającego
się): m�k  współczynnik tarcia kinetycznego. Ponieważ m� > m�k,
tarcie spoczynkowe jest większe od tarcia kinetycznego.
Rozwiązywanie zagadnień równowagi (statyka) z uwzględnie-
niem tarcia polega na określaniu granicznych wartości
sił utrzymujących ciało w równowadze.
Rodzaje tarcia:
 tarcie suche,
 tarcie półsuche (półpłynne),
 tarcie płynne (smarowanie zmniejszające opór tarcia).
02 Statyka 34
MASZYNY PROSTE
1. Dy
WIGNIA JEDNOSTRONNA
Q
R
P
a
b
a
Q =� P
Q��b = P��a .
b
Przykłady: taczka, gilotyna.
2. Dy
WIGNIA DWUSTRONNA
Q
R
P
b
a
P��a = Q��b.
Przykłady: waga, pompa.
3. KOA
OWRÓT
R
r2
r1
Q
P
P��r1 - Q��r2 = 0, P��r1 = Q��r2.
4. ŚRUBA
5. KORBOWÓD
6. RÓWNIA POCHYA
A
7. WIELOKR
ŻKI
02 Statyka 35
ŚRODEK CI
ŻKOŚCI
Siły ciężkości (siły przyciągania)  szczególny przypadek sił ob-
jętościowych równoległych (wymiary ciała znikomo małe w po-
równaniu z promieniem kuli ziemskiej).
Środkiem ciężkości ciała materialnego (bryły) nazywa się gra-
niczne położenie środka sił równoległych, które są siłami cięż-
kości poszczególnych cząstek bryły na jakie myślowo została
bryła podzielona, gdy największa z tych cząstek dąży do zera.
ŚRODEK PRZESTRZENNEGO UKA
ADU
SIA
RÓWNOLEGA
YCH
Z
y3
y1 y2 yc
0
y
x2
x1
A1 A2
xc
x3
P1 P2 C A3
P3
X
W
Dla dowolnej liczby n sił równoległych Pi, przyłożonych
i=�n
W =�
w punktach Ai(xi, yi) wypadkowa .
��Pi
i=�1
Moment wypadkowej W(xc, yc) względem osi Y jest równy su-
mie momentów sił składowych:
i=�n
W �� xc =� P1 �� x1 +� P2 �� x2 +� ... +� Pn �� xn =� �� xn
.
��Pn
i=�1
Współrzędna punktu przyłożenie wypadkowej W wynosi
��P �� xi .
i
xc =�
��Pi
02 Statyka 36
Z równań momentów względem osi X oraz Z otrzymuje się
�� yi �� zi
��Pi ��Pi
yc =� zc =�
��Pi ��Pi
Punkt C  środek sił równoległych.
Siły Pi  siły ciężkości �� ŚRODEK CI
ŻKOŚCI CIAA


N
[g�] =�
CI
ŻAR WA
AŚCIWY: .
m3
g� =� r��� g
Ciężar = masa �� przyspieszenie ziemskie g . .
kg
[r�] =�
G
STOŚĆ CIAA
A: .
m3
PRZYPADKI SZCZEGÓLNE
 Środek ciężkości brył.
 Środek ciężkości powierzchni.
 Środek ciężkości figur płaskich.
 Środek ciężkości linii.
FIGURY PA
ASKIE
Grubość figury = 0, objętość �� pole powierzchni A [m2]
zc = 0, Pi = s���Ai, s�  ciężar jednostkowy [N/m2]
�� xi
��Ai
��P �� xi �� xc =�
i
xc =�
,
��Pi ��Ai
Ai��xi  moment statyczny [cm3] względem osi X (Ai��yi  względem osi Y).
PRZYKA
AD: Określanie środka powierzchni fi-
gury płaskiej: A1 = 1��1 = 1 cm2, A2 = 2��5 = 10 cm2,
A3 = 2��2 = 4 cm2, A =� =� 15 cm2.
��Ai
3
Współrzędne środka ciężkości figury wynoszą:
A1x1 +� A2x2 +� A3x3
xc =� =�
A1 +� A2 +� A3
1��1,5 +� 10 �� 3 +� 4 �� 5
=� =� 3,43 cm,
1+� 10 +� 4
A1y1 +� A2y2 +� A3y3
yc =� =�
A1 +� A2 +� A3
1��1,5 +� 10 �� 3,5 +� 4 �� 5
=� =� 3,77 cm.
1+� 10 +� 4
02 Statyka 37