Rozdział 1
Statyka
1.1 Twierdzenie o trzech siłach
Twierdzenie dotyczy równowagi płaskiego zbieżnego układu sił.
Twierdzenie 1 (Twierdzenie o trzech siłach) Aby trzy nierówno-
ległe do siebie siły działające na ciało sztywne były w równowadze, linie
działania tych sił muszą przecinać się w jednym punkcie, a same siły
muszą tworzżc trójkąt zamknięty.

Niech będą dane trzy siły P1, P2, P3.

Zakładamy, że są w równowadze. Zastępujemy P2 i P3 siłą R (wypad-
11
kową tych dwóch).

R = P2 + P3.

Pozostają więc dwie siły: P1 i R. Ponieważ układ jest w równowadze,
więc

P1 = -R, P1 = R.

StÄ…d P1, P2,P3 sÄ… zbi
zne i tworzą wielobok zamknięty. W każdym
przypadku jest to trójkąt.
1.2 Równania równowagi płaskiego zbieżnego
układu sił
Wprowadz
my układ współrzędnych.
Ponieważ siÅ‚a jest wektorem, możemy jÄ… zapisác nastÄ™pujÄ…co

P = Px + Py = Px + Py
i j,
Px = P cos Ä…, Py = P sinÄ…,
q
2 2
P = Px + Py .
Jeżeli mamy układ n sił zbieżnych, to wypadkowa
X

R = Pi.
12
Stosując twierdzenie, rzut sumy geometrycznej wektorów na dowolną ós
równa się sumie rzutów tych wektorów na tą samą ós, otrzymujemy
ż#
P
¨#
Rx = P1x + P2x + . . . + Pnx = Pix
,
P
©#
Ry = P1y + P2y + . . . + Pny = Piy
rÅ‚ ´2 Å‚X ´2
q
X
2 2
R = Rx + Ry = Pix + Piy .
Warunkiem równowagi jest, aby

R =0.
Stąd otrzymujemy równania równowagi:
ż#
P
¨#
Rx = P1x + P2x + . . . + Pnx = Pix =0
.
P
©#
Ry = P1y + P2y + . . . + Pny = Piy =0
1.3 Moment siły

MO = × F
r
-
-
= + AB
r r1
-
-

MO = × F + AB × F = × F.
r1 r1
13
Å‚ ´

MO = rF sin F
r,
MO = hF
Aby siłyzbieżne leżące w jednej płaszczyz
nie byływrównowadze,
sumy rzutów tych sił na osie układu muszą bżc równe zeru.
Równania równowagi można przedstawić równi
z w innej postaci.
W tym celu udowodnimy twierdzenie Varignona.
Twierdzenie 2 (Varignon) Moment wzgledem dowolnego punktu O
Û
wypadkowej dwóch sił równy jest sumie momentów sił wypadkowych
względem tegoż punktu.
Zgodnie z definicją momentu wektora względem punktu możemy napisać

r
MO = × R,

gdzie R = F1 + F2.
O

M1 = × F1,
r
O

M2 = × F2.
r
14
Otrzymujemy
Å‚ ´

r r
MO = × R = × F1 + F2

= × F1 + × F2
r r
O O

= M1 + M2 .
Twierdzenie to można uogólnić na dowolną ilósć sił zbieżnych
X

MO = Mi0.
Analitycznie
MO = Pyx - Pxy.
Wez
my układ n sił przyłożonych do punktu A ciała. Jeżeli suma mo-
mentów tych sił względem jakiegoś punktu B jest równa zero, to albo
ich wypadkowa jest równa zeru, albo linia jej działania przechodzi przez
punkt B (ramię wypadkowej równe zero). Jeżeli dodatkowo suma mo-
mentów tych sił względem innego punktu C, nie leżącego na jednej
15
prostej z punktami A i B jest także równa zeru, wówczas wypadkowa

R musi być równa zero.
Aby płaski układ sił zbieżnych znajdował się w równowadze
musza równać s/
e zeru rzuty momentów wszystkich sił tego
układu względem dowolnych dwóch punktów nie leżących z
punktem przyłożenia sił na jednej prostej. Stąd druga postać
równań równowagi
X X
MiB =0, MiC =0.
Gdy w zadaniach mamy trzy niewiadome, to do pierwszej postaci rów-
nań dodajemy jedno równanie momentów.
1.4 Wypadkowa dwóch sił równoległych
Gdy na ciało działają dwie siły równoległe pojawiają s/
e kłopoty ze
znalezieniem wypadkowej metodąrównoległoboku. Postępujemy następu-
jÄ…co:

Mamy dwie siły P1 i P2 zgodnie skierowane przyłożone w punktach

A i B. Przykładamy do tych punktów układ zerowy S0 = -S. Otrzy-
16
mujemy wypadkowe

R1 = P1 + S i R2 = P2 + S.

Siły R1 i R2 możemy już złożyć. Przesuwamy je do punktu D i składamy

R = R1 + R2,

R = P1 + S + P2 + S0 = P1 + P2,
R = P1 + P2.
Linia działania wypadkowej przechodzi przez punkt C.
Położenie tego punktu określają odcinki (Twierdzenie Talesa)
P2 P1
AC = AB , BC = AB .
P1 + P2 P1 + P2
Jeżeli siły równoległe są przeciwnie skierowane, to

R = R1 + R2,
R = P1 - P2,
P2 P1
AC = AB , BC = AB .
P1 - P2 P1 - P2
1.5 Para sił

Układ dwóch sił równoległych P0 = -P, P0 = P nie leżących na jednej
prostej nazywamy parą sił. Odległość między siłami nazywamy ramie-
niem pary sił.
17
M = Pa.
0
MO = Ph1, MO = -P0h2 = -Ph2,
gdzie h1, h2- ramiona sił względem punktu O, h1 - h2 = a.
0
MO + MO = P (h1 - h2) =Pa = M.
Wektor momentu pary sił jest wektorem swobodnym.
Jeżeli mamy n par sił działających na ciało w jednej płaszczyz
nie, to
moment wypadkowy jest równy sumie momentów poszczególnych par
X
M = Mi.
18
Aby pary sił działające w jednej płaszczyz
nie na ciało sztywne
znajdowałysię wrównowadze, suma momentówtychpar musi
siÄ™ równác zeru.
X
Mi =0.
Warunek równowagi par sił w jednej płaszczyz
nie.
Pary sił o tej samej płaszczyz
nie działania i równych momen-
tach są sobie statycznie równoważne.
Składanie par sił w jednej płaszczyz
nie.
Aby pary sił działające w jednej płaszczyz
nie na ciało sztywne
znajdowałysię wrównowadze, suma momentówtychpar musi
siÄ™ równác zeru.
X
Mi = M1 + M2 + . . . + Mn = Qb,
X
Mi = 0 - warunek równowagi.
1.6 Redukcja dowolnego płaskiego układu
Rozpatrzmy przypadek:

Dana siła P. Do dowolnego punktu O ciała przykładamy układ zerowy.

P i P0 = -P.
Otrzymujemy układ:

siła P,
para sił o momencie MO = aP.
Jeżeli mamy układ n sił, to można go spróbować do siły i pary sił, gdzie
X

R = Pi - wektor główny,
X
MO = MiO -moment główny względem środka redukcji O.
19
Redukcja w układzie współrzędnych
X X
Rx = Pix, Ry = Piy.
Moment każdej siły względem środka redukcji, którym jest początek
układu, wynosi
MiO = Piyxi - Pixyi.
Moment główny
X X
MO = MiO = (Piyxi - Pixyi)
1.6.1 Redukcja układu do wypadkowej
Jeżeli moment główny układu da się przedstawić wpostaci
MO = hR, R- wektor główny,
to układ redukuje się do wypadkowej.

W przypadku, gdy suma geometryczna układu sił P1, P2,. . . , Pn
działających w jednej płaszczyz
nie na ciało sztywne jest różna
od zera, układ zastąpić możemy jedną siłą wypadkową równą
wektorowi głównemu
X

R = Pi.
20
Moment tej siły wypadkowej
Å‚ ´
X

MO R = MiO,
Å‚ ´

MO R = Ryx - Rxy- równanie prostej, na której leży wypadkowa.
1.7 Warunki równowagi dowolnego płaskiego układu
sił
Aby układ znajdował się w równowadze wektor i moment główny musi
być równy 0.

R =0, MO =0.
Równania równowagi dowolnego płaskiego układu
X X X
Pix = 0, Piy =0, MiO =0,
X X X
Pix = 0, MiA =0, MiB =0,
X X X
MiA = 0, MiB =0, MiC =0.
1.8 Siły zbi
zne w przestrzeni
Wypadkowa zbieżnego przestrzennego układu sił
X

R = Pi.
Dowolny układ sił przyłożonych do jednego punktu zastąpić
możemy jedną siłą wypadkową przyłożoną w tym punkcie i
równą sumie geometrycznej sił.
21

R = P1 + P2 + P3.
Px = P cos Ä…, Py = P cos ², Pz = P cos Å‚,
p
2 2
P = OA02 + AA02, AA0 = Pz, OA02 = Px + Py ,
q
2
P = Px + Py2 + Pz2.
Stąd wypadkowa układu

R = Rx + Ry + Rz
i j k,
X X X
Rx = Pix, Ry = Piy, Rz = Piz,
q
2 2 2
R = Rx + Ry + Rz.
22
Równania równowagi
X X X
Pix =0, Piy =0, Piz =0,
z warunku
X

R = Pi =0.
1.9 Przestrzenny układ sił równoległych
Dany jest układ n sił w przestrzeni
Wektor główny tego układu jest
X

R = Pi = Rx + Ry + Rz
i j k.
Moment główny względem początku układu
X

MO = Mi = MxO + MyO + MzO
i j k,
gdzie
X X X
Rx = Pix, Ry = Piy, Rz = Piz,
X
MxO = (Piyzi - Pizyi) =Ryz - Rzy,
X
MyO = (Pizxi - Pixzi) =Rzx - Rxz, (1.1)
X
MzO = (Pixyi - Piyxi) =Rxy - Ryx.
23
KÄ…ty nachylenia siÅ‚ do osi ukÅ‚adu sÄ… Ä…,², Å‚.
Pix = Pi cos Ä…, Rx = R cos Ä…,
Piy = Pi cos ², Ry = R cos ², (1.2)
Piz = Pi cos Å‚, Rz = R cos Å‚.
Podstawiamy 2.2 do 2.1
X
(Pi cos ² · zi - Pi cos Å‚ · yi) = R cos ² · z - R cos Å‚ · y,
X
(Pi cos Å‚ · xi - Pi cos Ä… · zi) = R cos Å‚ · x - R cos Ä… · z,
X
(Pi cos Ä… · yi - Pi cos ² · xi) = R cos Ä… · y - R cos ² · x.
Po uporządkowaniu wg kosinusów kierunkowych otrzymujemy
Å‚ ´ Å‚ ´
X X
Rz - Pizi cos ² = Ry - Piyi cos Å‚,
Å‚ ´ Å‚ ´
X X
Rx - Pixi cos Å‚ = Rz - Pizi cos Ä…,
Å‚ ´ Å‚ ´
X X
Ry - Piyi cos Ä… = Rx - Pixi cos ².
StÄ…d otrzymujemy
P P P
Rx - Pixi Ry - Piyi Rz - Pizi
= = .
cos Ä… cos ² cos Å‚
DzielÄ…c stronami przez R mamy
P P P
Rx- Pixi Ry- Piyi Rz- Pizi
R R R
= = .
cos Ä… cos ² cos Å‚
OznaczajÄ…c
P P P
Pixi Piyi Pizi
x0 = , y0 = , z0 = , (1.3)
R R R
24
otrzymujemy równanie wypadkowej
x - x0 y - y0 z - z0
= = .
cos Ä… cos ² cos Å‚
Punkt S (x0,y0, z0) nazywamy środkiem sił równoległych.
Związki 2.3 można zapisać następująco:
P P P P
Piri Pixxi Piyyi Pizzi
P P P P
= , x0 = , y0 = , z0 = .
r0
Pi Pix Piy Piz
1.10 Środki ciężkości
Mamy bryłę. Można ją podzielić na n elementów.
Środkiem ciężkości nazywamy punkt, względem którego suma mo-
mentów wszystkich sił "Gi równa się zero (środek równoległych sił
ciężkości).
P
"Gi = G- wypadkowa
X X
xo "Viłi = "Gixi,
X X
xo "Viłi = "Viłixi,
P
Å‚ixi"Vi
P
xo = .
Å‚i"Vi
25
Obracając układ otrzymujemy
P
Å‚iyi"Vi
P
yo = ,
Å‚i"Vi
P
Å‚izi"Vi
P
zo = .
Å‚i"Vi
PrzechodzÄ…c do granicy przy n "mamy
R
Å‚xdV
V
R
xo = ,
Å‚dV
RV
Å‚ydV
V
R
yo = ,
Å‚dV
RV
Å‚zdV
V
R
zo = .
Å‚dV
V
Jeżeli Á = const. (ciaÅ‚o jednorodne), to
R
xdV
V
xo = ,
V
R
ydV
V
yo = ,
V
R
zdV
V
zo = .
V
Jeżeli uwzglÄ™dnimy, że Å‚ = Ág, Á = const., to otrzymamy wzory na
współrzędne środka masy:
P P P
Áixi"Vi xi"mi xi"mi
P P
xo = = = ,
Ái"Vi "mi M
P P P
Áiyi"Vi yi"mi yi"mi
P P
yo = = = ,
Ái"Vi "mi M
P P P
Áizi"Vi zi"mi zi"mi
P P
zo = = = .
Ái"Vi "mi M
26
PrzechodzÄ…c do granicy przy n "otrzymujemy
R R
ÁxdV xdm
R
xo = = ,
ÁdV M
R R
ÁydV ydm
R
yo = = ,
ÁdV M
R R
ÁzdV zdm
R
zo = = ,
ÁdV M
gdzie
Z
xdm
Z
ydm - momenty statyczne.
Z
zdm
1.11 Uogólnienie redukcji układu na układ przestrzenny

Mamy siłę P w punkcie A. Przykładając układ P,-P wpunkcie O,

otrzymujemy P i MO = × P.
r
Każdą siłę działającą na ciało sztywne można sprowadzić do dowolnego
punktu O przykładając siłę o momencie równym momentowi siły.
27
Podobnie można postąpić ze wszystkimi siłami układu przestrzennego:
X

R = P1 + P2 + . . . + Pn = Pi,
X

MO = MO1 + MO2 + . .. + MOn = MOi
= × P1 + × P2 + . .. + × Pn,
r1 r2 rn
- - -
gdzie = OA1, = OA2, . .. , = OAn,
r1 r2 rn

R - wektor główny,

MO - moment główny.
Analitycznie:
Momenty względem osi:
X X
MOx = Mix = (Pizyi - Piyzi) ,
X X
MOy = Mix = (Pixzi - Pizxi),
X X
MOz = Mix = (Piyxi - Pixyi) ,
gdzie xi, yi, zi - współrzędne punktów przyłożenia sił Pi.
q
2 2 2
MO = MOx + MOy + MOz.
1.12 Ogólne warunki i równania równowagi dowol-
nego przestrzennego układu sił
Aby dowolny układ był w równowadze, musi być

R =0, MO =0.
28
Ogólne równania równowagi
ż#
P P
ª#
ª# Pix =0, Mix =0,
ª#
¨#
P P
Piy =0, Miy =0,
ª#
ª#
ª# P P
©#
Piz =0, Miz =0.
1.13 Zmiana bieguna redukcji
Załóżmy, że układ sił P1, . .. , Pn zredukowaliśmy względem punktu
O.
X X X
-

MO = MiO = × Pi = OAi × Pi.
ri
Obierzmy teraz punkt O1 jako punkt redukcji
X X
-
--

MO1 = MiO1 = O1Ai × Pi,
- - -
-- - -
O1Ai = O1O + OAi.
Wtedy
Å‚- -´
X X
- - -
--

MO1 = O1Ai × Pi = O1O + OAi × Pi
X X
- -
- -

= O1O × Pi + OAi × Pi,
X X
-
-

Pi = R, OAi × Pi = MO.
29
Zatem
-
-

MO1 = MO + O1O × R.
1.14 Niezmienniki redukcji układu sił
1. Wektor główny nie zależy od środka redukcji.
2. Rzut momentu głównego na kierunek wektora głównego
Å‚- ´
-

MO1 ć% R = MO ć% R + O1O × R ć% R,
czyli

MO1 ć% R = MO ć% R = const.

MO ć% R = MOR cos ą.
Ponieważ R = const. względem środka redukcji, to
MO cos Ä… = const.
1.15 Przypadki redukcji układu
Gdy moment główny jest prostopadły do wektora głównego, układ sił
możemy zredukować do jednej siły wypadkowej
X
R = Pi.
Wówczas moment wypadkowej równa się momentowi głównemu.
1. R =0, MO =0 - siła, para sił.
6 6
2. R =0, MO =0 - wypadkowa.
6
30
3. R =0, MO =0 - para sił.
6
4. R =0, MO =0 - równowaga.
1.16 Kratownice
Układ złożony z prętów, których końce są ze sobą połączone
przegubowo, majÄ…cy niezmiennÄ… postác geometrycznÄ… nazy-
wamy kratownicą. Połączenia przegubowe nazywamy węzłami.
Warunek sztywności (kratownicę traktujemy jako ciało sztywne): p =
2w - 3.
1. Kratownica niedosztywniona
p <2w - 3.
2. Kratownica sztywna
p =2w - 3.
3. Kratownica przesztywniona
p >2w - 3.
31
Przy rozwiązywaniu kratownicy w prętach siły w prętach zakłada
się następująco:
siły od węzła- rozciąganie
siły do węzła- ściskanie
Zakładamy zawsze rozciąganie.
1.17 Metoda węzłów rozwiązywania kratownic
Najpierw znajdujemy reakcje traktując kratownicę jako ciało szty-
wne, następnie liczymy siły w prętach rozpatrując kolejno równowagę
32
wszystkich węzłów. Wycinamy (uwalniamy od więzów) węzeł np. A
zastępując pręty siłami
ż# ż#
"
P
¨# ¨#
Pix = -S2 - S1 cos 45o =0 S1 = 2P
=Ò! .
P
©# ©#
Piy = -P + S1 sin 45o =0 S2 = -P
Jeżeli w jednym węz
le schodzą się trzy pręty, przy czym dwa z nich leżą
na jednej prostej, to trzeci jest prętem zerowym.
1.18 Metoda Rittera
Metoda Rittera polega na rozpatrywaniu równowagi części kratownicy
powstałej na skutek jej przekroju przez trzy pręty.
Odciętą część traktujemy jako ciało sztywne i układamy dla niej rów-
nania momentów względem punktów, w których parami przecinają się
kierunki sił niwiadomych.
33
Równanie momentów względem punktu O1
S1h1 + Pp1 - RAr1 =0
RAr1-Pp1
S1 =
h1
Równanie momentów względem punktu O2
S2h2 + RAr2 - Pp2 =0
Pp2-RAr2
S2 =
h2
Równanie momentów względem punktu O3
-S3h3 - RAr3 + Pp3 =0
Pp3-RAr3
S3 =
h3
34