Adam Kucharski
Zbiór zadań z badań operacyjnych
Wydanie drugie
A
ódz
2012
ISBN 978-83-934591-1-7
Spis treści
1. Programowanie liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Programowanie liniowe w liczbach całkowitych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3. Zadanie transportowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności i ryzyka . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5. Gry dwuosobowe o sumie wypłat zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6. ZarzÄ…dzanie projektami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Odpowiedzi do zadań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1. Programowanie liniowe
Zadanie 1
Zamkowa zbrojownia produkuje dwa rodzaje halabard: A i B, które stały się jej przebojem eks-
portowym. Jednostkowy zysk osiągany na halabardzie A równa się 1 dukatowi, a na halabardzie
B 3 dukatom. W procesie produkcji wykorzystywane sÄ… dwa surowce o kluczowym znaczeniu:
stal i drewno. Ich zużycie w kg na jedną halabardę A oraz B a także limity zapasów w magazynie
zawiera tabela:
Halabarda A Halabarda B Zapas [t]
Stal 1 2 20
Drewno 2 1 18
Podczas produkcji stali zużywa się rudę. Normy technologiczne wymagają 2 jednostek tego
surowca na każdą sztukę A oraz na każdą sztukę B. Należy zużyć co najmniej 10000 jednostek
rudy, aby uzyskać odpowiednią stal. Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny zysk
ze sprzedaży obu rodzajów halabard do ościennych księstw.
Zadanie 2 (Jędrzejczyk, Kukuła)
Rafineria ropy naftowej kupuje do przerobu dwa gatunki ropy: R1 i R2 w cenach odpowiednio: 7
i 14 zł za jednostkę przerobową. Proces technologiczny, odbywający się w wieży rektyfikacyjnej
daje trzy produkty: benzynę, olej napędowy i odpady. Z jednostki przerobowej ropy R1 otrzy-
mujemy 16 hl benzyny, 20 hl oleju napędowego i 24 hl odpadów. Z jednostki przerobowej ropy
R2 otrzymujemy 48 hl benzyny, 10 hl oleju napędowego i 14 hl odpadów. Ile należy kupić ropy
R1 i R2, aby wyprodukować co najmniej 48 000 hl benzyny oraz 20 000 hl oleju napędowego
przy minimalnym koszcie zakupu surowca. Zdolność przerobowa wieży rektyfikacyjnej, mierzona
łączną objętością wszystkich produktów wynosi 144 000 hl.
Zadanie 3
Nowopowstająca sieć marketów ogłosiła przetarg na dostawę wózków. Zamówienie obejmuje
wózki dwóch rodzajów: duże i małe. Firma, która wygrała przetarg zaoferowała cenę za swoje
wyroby na poziomie odpowiednio 150 i 100 złotych. Do wyprodukowania wózków niezbędne
są pręty stalowe. Na jeden duży wózek potrzeba ich 10 kg zaś na mały 8 kg. Zapas prętów
poczyniony na poczet zamówienia wynosi 2,5 tony. Drugim niezbędnym surowcem jest tworzywo
sztuczne. Zużywa się go 100 dag na wózek duży i 50 dag na mały, a zapas wynosi 200 kg.
Kontrakt wymaga, aby dużych wózków było przynajmniej dwa razy tyle, co małych. Opracować
4 1. Programowanie liniowe
plan produkcji zapewniający maksymalny przychód przy wynegocjowanych cenach.
Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)
tam gdzie to konieczne podajÄ…c stosowne uzasadnienie:
1. Należy wyprodukować wyłącznie duże wózki;
2. Zużyte zostanie 2240 kg prętów;
3. Zapas tworzywa sztucznego nie zostanie wykorzystany w całości;
4. Zwiększenie zapasu prętów o 1 tonę podniesie przychód maks. o 160 zł;
5. Zwiększenie proporcji na rzecz dużych wózków spowoduje wzrost przychodu;
6. Przy cenie dużych wózków wynoszącej 180 zł ilość wytworzonych małych wózków nie ulegnie
zmianie;
7. Przy cenie za mały wózek równej 50 zł rozwiązanie może ulec zmianie;
8. Zwiększenie zapasu tworzywa sztucznego o 20 kg podniesie przychód o 320 zł.
Zadanie 4
Trener przed zawodami podejmuje decyzję odnośnie zakupu odpowiednich odżywek dla zawod-
ników. Do wyboru ma dwie: Vitarevival i Komandirskaja. Z uwagi na ograniczone zasoby finan-
sowe, w jakie został wyposażony, szkoleniowiec musi dążyć do jak najniższych kosztów zakupu.
Cena jednego opakowania Vitarevival wynosi 2 euro, a Komandirskaja 3 euro. PodstawÄ… wybo-
ru jest zawartość trzech składników: S1, S2 i S3. Ich zawartość w jednym opakowaniu odżywki
podaje tabela:
Składnik Vitarevival Komandirskaja
S1 2 2
S2 1 2
S3 3 6
Wiadomo, że organizm potrzebuje co najmniej 10 jednostek S1 i co najwyżej 14 jednostek S2
oraz co najwyżej 18 jednostek S3. Opracować plan zaopatrzenia zawodników minimalizujący
Å‚Ä…czne koszty zakupu.
Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)
tam gdzie to konieczne podajÄ…c stosowne uzasadnienie:
1. Należy kupić tylko jedną odżywkę;
2. Składnik S1 zostanie dostarczony w minimalnej ilości;
3. Składnik S2 zostanie dostarczony w maksymalnej ilości;
4. Zwiększenie limitu składnika S1 o jednostkę podniesie koszt minimalny o 4 zł;
5. Dodatkowe 10 jednostek limitu S2 podniesie koszt minimalny o 10 zł;
6. Przy cenie Vitarevival wynoszącej 2,5 zł rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie;
7. Potrzeba 15 jednostek limitu składnika S3 by otrzymać koszt minimalny;
8. Jeżeli limit S2 wynosić będzie 30 jednostek wycena dualna nie ulegnie zmianie.
5
Zadanie 5
Dwóch programistów pracuje nad kodem z
ródłowym modułu pewnego programu. Pierwszy z
nich pisze 400 a drugi 300 linii kodu dziennie. Podczas pracy pijÄ… sporo kawy: odpowiednio
2 i 3 kubki dziennie. Aby utrzymać formę muszą wypić łącznie co najmniej 20 kubków. Za
każdy dzień pracy dostają po 100 zł, przy czym ich całkowite wynagrodzenie nie może spaść
poniżej 1500 zł i przekroczyć 4000 zł. Dodatkowo przygotowują procedury pozwalające włączyć
tworzony przez nich moduł do większego systemu. Pierwszy przygotowuje 40 a drugi 60 linii
dziennie. A
ącznie procedury te mają zająć maksymalnie 700 linii. Ile dni potrzebuje pierwszy
programista a ile drugi, aby napisać program przy założeniu, że długość otrzymanego kodu ma
być jak najmniejsza?
Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)
tam gdzie to konieczne podajÄ…c stosowne uzasadnienie:
1. Obaj programiści poświęcą na program tyle samo czasu;
2. Minimalna długość kodu to 4000 linii;
3. W czasie pracy programiści wypiją łącznie 35 kaw;
4. Otrzymają wynagrodzenie w wysokości 2500 zł;
5. Dodatkowa złotówka dolnej granicy wynagrodzenia podniesie długość kodu o 6 linii;
6. Zwiększenie o 10 linii długości dodatkowych procedur skróci program główny o 50 linii;
7. Gdy drugi programista napisze 350 linii dziennie rozwiÄ…zanie optymalne zmieni siÄ™;
8. Gdy pierwszy programista napisze 350 linii dziennie rozwiÄ…zanie optymalne nie zmieni siÄ™.
Zadanie 6
Fabryka farb produkuje 3 typy farb A, B i C. Do ich wyrobu potrzeba 3 składników c1, c2,
c3, których zapasy wynoszą odpowiednio 8000, 9000, 10000 kg. Wykorzystanie poszczególnych
składników (w kg) do wszystkich typów prezentuje tabela:
Składnik Farba A Farba B Farba C
C1 1 2 1
C2 2 0 2
C3 0 2 1
Zamówienia na typ A oznaczają, że produkcja nie może spaść poniżej 1100 kg. Jaka powinna
być struktura produkcji aby fabryka osiągnęła maksymalny zysk jeżeli zysk jednostkowy na
poszczególnych typach farb wynosi odpowiednio 3, 2, 5 PLN.
Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)
tam gdzie to konieczne podajÄ…c stosowne uzasadnienie:
1. Należy produkować wyłącznie farby typu A i C;
2. Limit składnika C1 zostanie wykorzystany w całości;
3. Limit zamówienia na typ A nie zostanie przekroczony;
4. Zwiększenie limitu składnika C3 o jednostkę podniesie zysk maksymalny o 2 zł;
6 1. Programowanie liniowe
5. Dodatkowe 20 jednostek limitu C2 podniesie zysk maksymalny o 40 zł;
6. Przy zysku jednostkowym z typu A równym 7 zł rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie;
7. Przy zysku jednostkowym z typu B równym 1 zł rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie;
8. Jeżeli limit dla składnika C1 wynosić będzie 3000 jednostek wycena dualna ulegnie zmianie.
Zadanie 7
Akwarysta amator rozważa zakup pokarmu dla rybek. Pod uwagę bierze trzy marki: Rybex, Ba-
byshark i DXVC15. Dla właściwego rozwoju pupilów hobbysty znaczenie ma zawartość pewnych
składników odżywczych oznaczonych jako S1, S2 i S3. W poniższej tabeli znalazły się: zawartość
składników w każdym rodzaju pokarmu oraz cena jednego dekagrama.
S1 S2 S3 Cena [zł]
Rybex 5 0 3 5
Babyshark 1 2 4 4
DXVC15 3 1 5 3,5
Rybkom należy dostarczyć co najmniej 10 jednostek S1 oraz co najmniej 9 jednostek S3. Zawar-
tość S2 powinna być nie większa niż 20 jednostek, ale jednocześnie nie może go być mniej niż 8
jednostek. Opracować plan zakupów pokarmów, tak aby łączny koszt zakupu był minimalny.
Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)
tam gdzie to konieczne podajÄ…c stosowne uzasadnienie:
1. Należy kupić wszystkie marki pokarmu;
2. Limit składnika S1 zostanie dostarczony w minimalnej ilości;
3. Limit składnika S3 zostanie przekroczony;
4. Zwiększenie limitu składnika S3 o jednostkę podniesie koszt minimalny o 2 zł;
5. Dodatkowe 20 jednostek limitu S1 podniesie koszt minimalny o 12 zł;
6. Przy cenie Rybexu równej 7 zł rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie;
7. Przy cenie Babyshark równej 7 zł rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie;
8. Jeżeli limit dla składnika S3 wynosić będzie 30 jednostek wycena dualna nie ulegnie zmianie.
Zadanie 8
Importer planuje wprowadzenie na rynek herbaty powstającej z mieszanki trzech różnych ga-
tunków tego krzewu. W przeliczeniu na 1 tonę sprowadzenie herbaty 1-go gatunku kosztuje 250
zł, 2-go gatunku 210 zł a 3-go gatunku 300 zł, przy czym koszt zakupu nie powinien przekro-
czyć 8000 zł. Herbata musi przejść obróbkę w specjalnych komorach oraz charakteryzować się
określoną zawartością garbników. Czas obróbki i zawartość garbników w zależności od gatunku
podaje tabela:
7
Herbata 1 Herbata 2 Herbata 3
Czas przebywania w komorze [min] 30 60 18
Zawartość garbnika [mg/100g] 15 13 20
Dostępny czas pracy komory wynosi 200 godzin. Walory smakowe wymagają, aby garbnika w
mieszance znalazło się co najmniej 350 mg/100g. Gotowy do sprzedaży produkt ma wyróżniać
się specyficznym aromatem, który zapewnia obecność herbaty 1-go gatunku. Jej 100g zawiera
15 mg stosownej substancji zaÅ› w mieszance powinno znalez
ć się co najmniej 120 mg aromatu
na 100g. Opracować plan zakupu poszczególnych gatunków zapewniający minimum kosztów.
Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)
tam gdzie to konieczne podajÄ…c stosowne uzasadnienie:
1. Należy kupić herbatę 1 i 2 gatunku;
2. A
ączny koszt zakupu będzie niższy o 2550 zł od planowanego;
3. Zawartość garbnika w mieszance wyniesie 350 mg;
4. Zwiększenie wymaganej ilości garbnika podniesie koszt zakupu o 20 zł;
5. Dodatkowe 10 godz. limitu pracy komory obniży koszt o 20 zł;
6. Przy cenie herbaty 1 wynoszącej 300 zł rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie;
7. Jeżeli wymagana zawartość aromatu wyniesie 240 mg limit garbnika będzie przekroczony;
8. Jeżeli cena herbaty 3 wzrośnie o 100 zł rozwiązanie optymalne ulegnie zmianie.
Zadanie 9
Student ma rozwiązać podczas sprawdzianu 3 zadania. Decydujące znaczenie ma czas ich roz-
wiązania, który powinien być jak najkrótszy (tak, aby pozostał jeszcze czas na zinterpretowanie
wyników). Wiadomo, że na cały sprawdzian przewidziano 60 minut. Rozwiązanie pierwszego za-
dania powinno zająć nie więcej niż 30 minut, lecz potrwa przynajmniej 20 minut. Rozwiązanie
zarówno zadania drugiego jak i trzeciego zajmie za każdym razem co najmniej 10 minut. Ile
czasu należy przeznaczyć na poszczególne zadania?
Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)
tam gdzie to konieczne podajÄ…c stosowne uzasadnienie:
1. Na rozwiązanie wszystkich zadań potrzeba 60 min.;
2. RozwiÄ…zanie zadania 1 potrwa 15 min.;
3. Wykorzystano całkowicie czas przeznaczony na zadanie 1;
4. Dodatkowa jednostka czasu przeznaczona na zadanie 2 podniesie czas rozwiÄ…zywania spraw-
dzianu o 2 min.;
5. Wydłużenie czasu sprawdzianu o 2 min. spowoduje, że rozwiązanie zadań zajmie 2 min.
więcej;
6. Dodatkowe 10 min. przeznaczona na zadanie 3 podniesie czas rozwiÄ…zywania sprawdzianu o
10 min.;
7. Jeżeli łączny czas sprawdzianu wyniesie 70 min. zmienna dualna nie ulegnie zmianie;
8 1. Programowanie liniowe
8. Jeżeli czas na zadanie 3 wyniesie 35 min. zmienna dualna nie ulegnie zmianie.
Zadanie 10
Otwarto nową fabrykę zajmującą się montażem telewizorów. Podstawowy asortyment produkcji
stanowią telewizory 32 i 36 oraz 42 calowe. Jednostkowy zysk ze sprzedaży oraz czas pracy
specjalistycznej linii montażowej (mającej kluczowe znaczenie dla produkcji) podaje tabela:
Telewizor 32 cale Telewizor 36 cali Telewizor 42 cale
Czas pracy [min] 30 60 45
Zysk z 1 szt. [zł] 250 400 500
Limit pracy linii montażowej to 8000 godzin. Zarząd oczekuje, że zysk ze sprzedaży w anali-
zowanym okresie nie spadnie poniżej 100 000 zł. Z analiz rynku wynika, że udział telewizorów
32 calowych powinien wynieść przynajmniej 20% ogólnej wielkości produkcji, lecz tego modelu
należy wytworzyć nie więcej niż 1000 sztuk. Z uwagi na wcześniejsze zamówienia należy wypro-
dukować co najmniej 500 szt. odbiorników 36 calowych. Opracować plan produkcji zapewniający
maksymalny zysk ze sprzedaży (zakładamy, że sprzedana zostanie cała produkcja).
Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)
tam gdzie to konieczne podajÄ…c stosowne uzasadnienie:
1. Należy produkować wszystkie typy telewizorów;
2. Osiągnięty zysk przekroczy 1 mln zł;
3. Udział produkcji odbiorników 32 cal. wyniesie 20%;
4. Zwiększenie udziału produkcji odbiorników 32 cal. spowoduje spadek zysku;
5. Dodatkowe 100 godz. limitu pracy maszyn zwiększy zysk o 50 tys. zł;
6. Przy zysku z telewizorów 42 cal. równym 500 zł struktura produkcji ulegnie zmianie;
7. Przy zysku z telewizorów 42 cal. równym 300 zł struktura produkcji nie ulegnie zmianie;
8. Jeżeli limit produkcji telewizorów 32 cal. wzrośnie o 3000 szt. zmienna dualna ulegnie zmianie.
Zadanie 11
Złożono zamówienie na 4 części po cenach odpowiednio: 85, 90, 70, 80 zł. Do produkcji potrzebny
jest półfabrykat, którego zapas wynosi 1000 kg. Jednostkowe zużycie (w kg) tego półfabrykatu
wynosi dla poszczególnych części: 5, 2, 3, 2. A
ącznie części 1 i 3 należy wytworzyć co najmniej
25 sztuk. Części 2 i 4 należy wyprodukować łącznie co najmniej 20 sztuk. Części 4 ma powstać
nie więcej niż 50% łącznej sumy części 1, 2 i 3. Opracować plan zamówienia gwarantujący jak
najniższy koszt jego realizacji.
Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)
tam gdzie to konieczne podajÄ…c stosowne uzasadnienie:
1. Czy uda się wyprodukować wszystkie części?
2. Zostanie zużyte 125 kg półfabrykatu;
3. Jeżeli suma części 1 i 3 wzrośnie o jednostkę koszt minimalny wzrośnie o 66,67 zł;
9
4. Jeżeli suma części 2 i 4 wzrośnie o 10 szt. koszt minimalny wzrośnie o 86,67 zł;
5. Przy cenie części 1 równej 75 zł rozwiązanie optymalne ulegnie zmianie;
6. Przy cenie części 2 równej 100 zł zmienne dualne mogą ulec zmianie;
7. Jeżeli zapas półfabrykatu spadnie o połowę produkowane będą te same typy części;
8. Jeżeli suma części 2 i 4 spadnie o 10 szt. zmienna dualna nie ulegnie zmianie.
Zadanie 12
Pewne wydawnictwo planuje wprowadzić na rynek 2 tytuły nowych autorów. Zysk planowany
na pierwszym z nich wyniesie 20 zł a na drugim 30 zł. Całkowity zysk ze sprzedaży książek wy-
nieść ma przynajmniej 30 tys. zł. Udział nakładu pierwszej z książek nie powinien przekroczyć
20% sumy nakładów obydwu tytułów. Zgodnie z polityką firmy autor dostaje 2 zł od każdego
sprzedanego egzemplarza, ale zarząd na poczet tych wydatków przygotował 10000 zł. i nie ma
zamiaru zwiększyć tej kwoty. Jeden egzemplarz książki pierwszej wymaga zużycia 100 arkuszy
wydawniczych papieru zaś jeden egzemplarz książki drugiej wymaga zużycia 125 arkuszy papie-
ru. Zakupiono 5 ton papieru (1 tona wystarcza na wydrukowanie 100 000 arkuszy). Zakładamy,
że wszystkie egzemplarze zostaną sprzedane. Opracować plan wydawniczy zapewniający mak-
symalny zysk ze sprzedaży.
Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)
tam gdzie to konieczne podajÄ…c stosowne uzasadnienie:
1. Należy wydać oba tytuły;
2. Autor pierwszej książki dostanie 8000 zł;
3. Osiągnięty zysk będzie równy zakładanym planom;
4. Zapas papieru nie zostanie wykorzystany w całości;
5. Dodatkowa tona zapasu papieru podniesie maksymalny zysk o 24 000 zł;
6. Przy cenie książki pierwszej wynoszącej 30 zł rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie;
7. Jeżeli kwota przeznaczona dla autorów wyniesie 6000 zł zmienna dualna ulegnie zmianie;
8. Jeżeli zysk z 1 egz. drugiej książki spadnie o 2 zł wydane zostaną oba tytuły.
Zadanie 13
Zbudować plan produkcji maksymalizujący przychód ze sprzedaży trzech produktów A, B, C
(zakładamy, że cała produkcja zostanie sprzedana). Przychód jednostkowy obliczany jest jako
suma kosztów produkcji pojedynczego produktu oraz nakładanej marży. W procesie produkcji
kluczowe znaczenie mają 2 surowce S1 i S2 oraz dostępny czas pracy maszyn. Jednostkowe
wartości kosztów, marży czasu pracy i zużycia surowców podaje tabela:
Produkt Koszt [zł] Marża [zł] S1 [kg] S2 [litr] Czas pracy [min]
A 11 3 8 3 5
B 8 2 1 0 10
C 15 2 5 4 6
10 1. Programowanie liniowe
Zapas surowca S1 wynosi 3,3 t, surowca S2 100 hl. Normy technologiczne wymagajÄ…, aby S2
zużyć co najmniej 20 hl. Dostępny limit czasu pracy maszyn wynosi 500 godzin.
Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)
tam gdzie to konieczne podajÄ…c stosowne uzasadnienie:
1. Należy wyprodukować 800 szt. wyrobu C;
2. Surowiec S1 zostanie wykorzystany w całości;
3. Surowiec S2 zostanie wykorzystany w całości;
4. Zwiększenie limitu czasu pracy o 1 godz. podniesie zysk o 600 zł;
5. Przy przychodzie z wyrobu A równym 20 zł struktura produkcji nie ulegnie zmianie;
6. Jeżeli zapas S1 wzrośnie o 100 kg, optymalny zysk wzrośnie o 1000 zł;
7. Niewykorzystane pozostanie około 317 godzin czasu pracy;
8. Jeżeli zapas S2 wzrośnie o 10 hl zmienna dualna nie ulegnie zmianie.
Zadanie 14
Hurtownia sprzętu AGD ma w swojej ofercie między innymi pralki dwóch wiodących na rynku
producentów. Sprzedawane one są odpowiednio po 1100 i 1200 zł/szt. Planuje się, że łącznie pra-
lek obu producentów uda się sprzedać przynajmniej 200 sztuk, przy czym żaden z producentów
nie dostarczy więcej niż 300 sztuk. Aby zainteresować klientów przewidziano akcję promocyjną
o całkowitym budżecie wynoszącym 3600 zł. Na jedną pralkę producenta pierwszego przypadnie
20 zł na promocję a drugiego 10 zł. Opracować plan sprzedaży pralek obu producentów charak-
teryzujÄ…cy siÄ™ maksymalnym przychodem.
Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)
tam gdzie to konieczne podajÄ…c stosowne uzasadnienie:
1. Należy sprowadzić 3000 pralek producenta pierwszego;
2. Maksymalny przychód nie przekroczy 400 tys. zł;
3. Budżet na promocję zostanie wykorzystany w całości;
4. Założenie odnośnie minimum sprzedaży pralek nie zostanie przekroczone;
5. Przy cenie pralek 1-go producenta równej 1500 zł należy nadal zamówić u niego 30 sztuk;
6. Przy cenie pralek 2-go producenta równej 1500 zł funkcja celu ulegnie zmianie;
7. Jeżeli minimum sprzedaży pralek wyniesie 300 szt., sprzedawane będą pralki obu producen-
tów;
8. Jeżeli wydatki na promocję wzrosną o 1400 zł, zmienna dualna nie ulegnie zmianie.
Zadanie 15
Inwestora interesują trzy przylegające do siebie działki, pierwsza o pow. 510 m2, druga 490 m2
a trzecia 450 m2. Firma planuje wykupić łącznie co najmniej 1000 m2. Negocjacje prowadzono
oddzielnie z poszczególnymi właścicielami. Zaoferowano ceny za 1m2 wynoszące odpowiednio:
200, 180, 170 zł. Opracować plan wykupienia stosownej powierzchni tak, aby łączny koszt zakupu
był jak najmniejszy.
11
Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)
tam gdzie to konieczne podajÄ…c stosowne uzasadnienie:
1. Działki druga i trzecia zostaną wykupione w całości;
2. Minimalny koszt zakupu przekroczy 150 000 zł;
3. Podniesienie dolnej granicy łącznej powierzchni do 1100 m2 spowoduje wzrost kosztów o 200
zł;
4. Działka 1 zostanie wykupiona w całości;
5. Przy cenie za pierwszą działkę równej 250 zł/m2 rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie;
6. Przy cenie równej 250 zł/m2 za trzecią działkę, wykupimy tę działkę w całości;
7. Gdyby działka druga była większa o 50 m2 zmienna dualna nie uległaby zmianie;
8. Gdyby działka pierwsza była większa o 50 m2 należałoby wykorzystać wszystkie działki.
Zadanie 16
Opracować strukturę produkcji lodów trzech rodzajów A, B i C zapewniającą maksymalny
zysk ze sprzedaży (zakładamy, że cała produkcja znajdzie nabywców). Jednostkowe zyski z 1
porcji danego rodzaju lodów oraz zużycie podstawowych składników czyli mleka i cukru zawiera
poniższa tabela. Zapas mleka wynosi 5 litrów zaś cukru 5 kg.
Rodzaj A Rodzaj B Rodzaj C
Zysk jednostkowy [zł] 3 5 3,5
Zużycie mleka [ml] 20 40 30
Zużycie cukru [g] 14 18 16
Lody B i C zawierają w swoim składzie czekoladę (jej zapas wynosi 1 kg), przy czym na jedną
porcję rodzaju B zużywa się 4 g a na jedną porcję rodzaju C 1 g tego składnika. Wymagane
jest, aby lodów B sprzedać co najmniej 100 szt.
Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)
tam gdzie to konieczne podajÄ…c stosowne uzasadnienie:
1. Lody rodzaju A nie będą wytwarzane;
2. Maksymalny zysk przekroczy 500 zł;
3. Zapas mleka zostanie wykorzystany w całości;
4. Zapas cukru zostanie wykorzystany w połowie;
5. Zwiększenie wymagań co do produkcji lodów B o 10 szt. spowoduje wzrost zysku o 10 zł;
6. Zwiększenie zapasu czekolady o 0,5 kg spowoduje spadek zysku;
7. Jeżeli zysk jednostkowy z lodów B wzrośnie o 1 zł zysk maksymalny nie ulegnie zmianie;
8. Jeżeli zapas mleka wzrośnie o 1 litr struktura produkcji ulegnie zmianie.
2. Programowanie liniowe w liczbach całkowitych
Każde zadanie rozwiązać jako zadanie programowania liniowego w liczbach cał-
kowitych.
Zadanie 1
Podjęto się realizacji zamówienia na 4 części, których jednostkowy koszt wytworzenia wynosi
odpowiednio: 85, 70, 70, 80 zł. Do produkcji potrzebny jest półfabrykat, którego zapas wynosi
1000 kg. Jednostkowe zużycie tego półfabrykatu wynosi dla poszczególnych części: 5, 2, 3, 2
kilograma. A
ącznie części 1 i 3 należy wytworzyć co najmniej 25 sztuk. Części 2 i 4 należy
wyprodukować łącznie co najmniej 20 sztuk. Części 2 ma powstać nie więcej niż 30% łącznej
wielkości produkcji. Opracować plan realizacji zamówienia gwarantujący jak najniższy koszt jego
realizacji.
Zadanie 2
Pewne wydawnictwo planuje wprowadzić na rynek 2 tytuły nowych autorów. Zysk planowany
na pierwszym z nich wyniesie 20 zł a na drugim 30 zł. Całkowity zysk ze sprzedaży książek
wynieść ma przynajmniej 30 tys. zł. Udział nakładu pierwszej z książek nie powinien prze-
kroczyć 20% sumy nakładów obydwu tytułów. Zgodnie z polityką firmy autor dostaje 7 zł od
każdego sprzedanego egzemplarza, ale zarząd na poczet tych wydatków przygotował 10000 zł.
i nie ma zamiaru zwiększyć tej kwoty. Jeden egzemplarz książki pierwszej wymaga zużycia 100
arkuszy wydawniczych papieru zaś jeden egzemplarz książki drugiej wymaga zużycia 125 arkuszy
papieru. Zakupiono 5 ton papieru (1 tona wystarcza na wydrukowanie 100 000 arkuszy). Zakła-
damy, że wszystkie egzemplarze zostaną sprzedane. Opracować plan wydawniczy zapewniający
maksymalny zysk ze sprzedaży.
Zadanie 3
Hurtownia sprzętu AGD ma w swojej ofercie między innymi pralki dwóch wiodących na rynku
producentów. Sprzedawane one są odpowiednio po 1100 i 1200 zł/szt. Planuje się, że łącznie pra-
lek obu producentów uda się sprzedać przynajmniej 200 sztuk, przy czym żaden z producentów
nie dostarczy więcej niż 250 sztuk. Aby zainteresować klientów przewidziano akcję promocyjną
o całkowitym budżecie wynoszącym 3600 zł. Na jedną pralkę producenta pierwszego przypad-
nie 16 zł na promocję a drugiego 11 zł. Opracować plan sprzedaży pralek obu producentów
charakteryzujÄ…cy siÄ™ maksymalnym przychodem.
13
Zadanie 4
Niewielki zakład produkuje torby sportowe trzech rodzajów. A
Ä…czny koszt wytworzenia wszyst-
kich toreb nie może być większy niż 9000 zł. Po doliczeniu do kosztu marży otrzymamy przychód,
którego całkowita wartość ma wynieść co najmniej 10 tys. zł. Dostępny czas pracy robotnic, któ-
re szyją torby wynosi łącznie 100 roboczogodzin. Tabela poniżej zawiera jednostkowe wartości
kosztu, marży oraz czasu pracy potrzebnego do uszycia toreb.
Torba 1 Torba 2 Torba 3
Koszt jednost. 50 55 52
Marża jednost. 10 5 8
Czas pracy [min.] 15 18 20
Wiadomo ponadto, że po analizie sprzedaży z okresów poprzednich podjęto decyzję, iż udział
toreb drugiego rodzaju w ogólnej wielkości produkcji ma wynieść co najmniej 20%. Opracować
strukturę produkcji pozwalającą na osiągnięcie jak najniższego kosztu produkcji przy podanych
założeniach.
Zadanie 5
Firma produkująca materiały szkolne i biurowe ma w swojej ofercie dwa rodzaje tradycyjnych
kredek. Zysk osiągany z 1 pudełka kredek pierwszego rodzaju wynosi 5 zł, a z 1 pudełka kredek
drugiego rodzaju 6 zł. Do produkcji wykorzystuje się dwa podstawowe surowce: drewno i wy-
pełnienie grafitowe. Normy zużycia surowców oraz czas pracy maszyn w przeliczeniu na jedno
pudełko kredek danego rodzaju wraz z dostępnymi limitami podaje tabela.
Kredki rodz. 1 Kredki rodz. 2
Drewno [dag.] 5 8
Grafit [dag.] 1 2
Czas pracy [min.] 7 8
Firma dysponuje następującymi zapasami surowców: 120 kg drewna i 50 kg grafitu. Dostępny,
maksymalny czas pracy maszyn wynosi 120 godzin. Dodatkowo wymaga siÄ™, aby kredek 2 ro-
dzaju wyprodukować co najmniej 3 razy tyle co kredek 1 rodzaju. Opracować plan produkcji,
zapewniajÄ…cy maksymalny Å‚Ä…czny zysk.
3. Zadanie transportowe
Zadanie 1
Trzy punkty skupu dostarczają złom do trzech hut. Punkty dysponują odpowiednio 25, 26 i 24
tonami złomu, podczas gdy huty mogą przyjąć: 29, 26 i 20 tony. Macierz jednostkowych kosztów
przewozu (zł) jest następująca:
îÅ‚ Å‚Å‚
8 8 6
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
C =
2 4 7
ðÅ‚ ûÅ‚
6 5 5
Opracować plan dostaw złomu minimalizujący łączne koszty transportu używając metody kąta
północno-zachodniego.
Zadanie 2
Trzech rolników dostarcza mleko do trzech mleczarni. Rolnicy owi dostarczają odpowiednio 200,
150, 220 hl mleka. Poszczególne mleczarnie mogą przyjąć następujące ilości: 100, 300 i 150
hl. Koszty przewiezienia jednego hl mleka (zł) między rolnikami a mleczarniami przedstawia
macierz:
îÅ‚ Å‚Å‚
2 3 1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
C =
4 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
2 3 3
Opracować plan dostarczenia całego mleka tak, aby łączny koszt przewozu był jak najmniejszy
(wykorzystać metodę kąta północno-zachodniego).
Zadanie 3
Trzy cementownie zaopatrujÄ… w cement cztery budowy. Cementownie dysponujÄ… odpowiednio
20, 30 i 40 tonami cementu, podczas gdy zapotrzebowanie na budowach wynosi: 15, 20, 20 i 30
ton. Macierz jednostkowych kosztów przewozu (zł) jest następująca:
îÅ‚ Å‚Å‚
11 12 10 10
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
C =
14 8 9 20
ðÅ‚ ûÅ‚
13 13 15 10
Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego
15
Zadanie 4
Czterech producentów dostarcza do 2 kontrahentów wyroby metalowe. Dysponują oni odpowied-
nio 50, 30, 45 i 23 tonami wyrobów, podczas gdy zapotrzebowanie wynosi u każdego z odbiorców
po 60 ton. Macierz jednostkowych kosztów przewozu (zł) jest następująca:
îÅ‚ Å‚Å‚
20 18
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
30 21
ïÅ‚ śł
C =
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
21 13
ðÅ‚ ûÅ‚
19 16
Z powodu remontu, droga między drugim producentem a drugim odbiorcą jest całkowicie nie-
przejezdna. Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta
północno-zachodniego.
Zadanie 5
Trzy autobusy muszÄ… rozwiez
ć ludzi w trzy różne miejsca. Pojemności autobusów, liczbę osób
majÄ…cych znalez
ć się w punktach docelowych oraz macierz kosztów jednostkowych (zł) podaje
poniższa tabela:
Miejsce 1 Miejsce 2 Miejsce 3 a
Autobus 1 2,5 3,0 1,5 31
Autobus 2 1,2 1,3 3,0 30
Autobus 3 3,2 3,3 4,0 28
b 27 42 20
Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego.
Zadanie 6
Dwa duże gospodarstwa rolne zaopatrują w buraki cukrowe cztery punkty skupu. W tym roku
pierwsze gospodarstwo dostarczy 75 a drugie 60 ton buraków. Punkty skupu skłonne są przyjąć
odpowiednio: 40, 30, 32, 29 ton buraków. Macierz jednostkowych kosztów przewozu (zł) jest
następująca:
Punkt skupu 1 Punkt skupu 2 Punkt skupu 3 Punkt skupu 4
Gospodarstwo 1 2,5 2,3 2,7 2,3
Gospodarstwo 2 2,9 3,0 2,1 2,1
Na trasie z gospodarstwa 2 do trzeciego punktu skupu zorganizowano objazd, w zwiÄ…zku z czym
można na tej trasie przewiez
ć do 25 ton ładunku. Opracować plan dostaw minimalizujący koszty
transportu używając metody kąta północno-zachodniego.
16 3. Zadanie transportowe
Zadanie 7
Konserwy z trzech wojskowych magazynów mają trafić do trzech jednostek. Z magazynu pierw-
szego wyjedzie 20, z drugiego 30, a z trzeciego 24 tony konserw. Do jednostek ma trafić odpo-
wiednio: 28, 26, 20 ton. Macierz jednostkowych kosztów przewozu (zł) jest następująca:
îÅ‚ Å‚Å‚
3 5 2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
C =
4 3 1
ðÅ‚ ûÅ‚
6 7 9
Trasa z magazynu 1 do jednostki 3 jest całkowicie nieprzejezdna Opracować plan dostaw mini-
malizujący koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego.
Zadanie 8
Producenci serialu  A jak alabaster zamówili u dwóch dostawców elementy dekoracji, które
tymczasowo majÄ… znalez
ć się w jednym z czterech magazynów wytwórni. Dostawca 1 może
zapewnić 200 a drugi 180 kg owych elementów. W pierwszym magazynie ma się znalez
ć 120,
w drugim 60, w trzecim 130 a w czwartym 70 kg elementów. Z powodu koczowania licznej
grupy fanów, trasa od pierwszego dostawcy do trzeciego magazynu jest nieprzejezdna. Macierz
jednostkowych kosztów przewozu jest następująca:
11 15 13 18
C =
12 12 14 19
Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego.
Zadanie 9
W związku z oczekiwaną serią kontroli sanepidu właściciel zakładów mięsnych musi zabrać część
wędlin z objętych kontrolą zakładów i zawiez
ć je do dwóch firm zajmujących się utylizacją. Pierw-
sza z nich jest w stanie przyjąć 16, a druga 17 ton wędlin. Z każdego zakładu należy usunąć
po 11 ton wędlin. Na drodze z pierwszego zakładu do pierwszej firmy należy pokonać most,
przez który na raz przejedzie tylko 5 ton wędliny. Macierz jednostkowych kosztów transportu
jest następująca:
îÅ‚ Å‚Å‚
3 4
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
C =
4 5
ðÅ‚ ûÅ‚
3 6
4. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności i
ryzyka
Wszystkie zaprezentowanych poniżej zagadnienia przeanalizować pod kątem podej-
mowania decyzji w warunkach niepewności i ryzyka.
Zadanie 1
Zarząd firmy musi podjąć decyzję odnośnie wielkości produkcji. Przeprowadzone analizy wskazu-
ją na możliwość wystąpienia jednego z trzech stanów rynku, rzutujących na wysokość osiąganego
zysku (tys. zł). Stosowne dane zawiera poniższa tabela.
Stany rynku Skłonność do
S1 S2 S3 bycia optymistÄ…
Decyzja 1 30 45 20 0,4
Decyzja 2 5 -10 50 0,4
P (sj) 0,3 0,2 0,5
P (sj)  prawdopodobieństwo wystąpienia danego stanu rynku
Zweryfikuj poprawność poniższych stwierdzeń na podstawie wyników zadania. Tam, gdzie to
konieczne, uzasadnij odpowiedz
stosownymi obliczeniami.
1. Według kryterium optymisty najlepsza jest decyzja 2.
2. Według kryterium minimalnego żalu najlepsza jest decyzja 1.
Zadanie 2
Shrek wybiera się w odwiedziny do teściów, mieszkających w Zasiedmiogórogrodzie. Pogoda ma
duży wpływ na szybkość podróżowania. Spodziewamy się trzech możliwych stanów warunków
pogodowych, które przekładają się na liczbę pokonywanych dziennie mil. Stosowne dane zawiera
poniższa tabela.
Stany warunków pogodowych
S1 S2 S3
Droga z zachodu 60 45 10
Droga z północy 30 32 50
P (sj) 0,3 0,2 0,5
P (sj)  prawdopodobieństwo wystąpienia danego stanu pogody
18 4. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności i ryzyka
UWAGA! Potraktować powyższą macierz jako macierz strat.
Zweryfikuj poprawność poniższych stwierdzeń na podstawie wyników zadania. Tam, gdzie to
konieczne, uzasadnij odpowiedz
stosownymi obliczeniami.
1. Według kryterium minimalnego żalu najlepszą decyzją jest droga z zachodu.
2. Według kryterium Laplace a najlepszą decyzją jest droga z zachodu.
3. Według kryterium maksymalnej oczekiwanej wartości najlepszą decyzją jest droga z północy.
Zadanie 3
Należy dokonać wyboru asortymentu stoiska cukierniczego oferującego jeden z trzech możliwych
wypieków w zależności od sposobu reakcji konkurencji. Poniższa tabela zawiera dzienną [zł]
wartość sprzedanych wyrobów.
Konkurencja Skłonność do
Asortyment S1 S2 S3 S4 bycia optymistÄ…
PÄ…czki 120 100 95 130 0,3
Kremówki 110 110 120 80 0,3
Napoleonki 75 60 65 75 0,6
P (sj) 0,2 0,1 0,5 0,2
P (sj)  prawdopodobieństwo wystąpienia danej reakcji konkurencji
Zweryfikuj poprawność poniższych stwierdzeń na podstawie wyników zadania. Tam, gdzie to
konieczne, uzasadnij odpowiedz
stosownymi obliczeniami.
1. Według kryterium pesymisty najlepszą decyzją jest wybór pączków.
2. Według kryterium Hurwicza najlepszą decyzją jest wybór kremówek.
3. według kryterium minimalnego oczekiwanego żalu najlepszą decyzją jest wybór napoleonek.
4. OKPI wynosi 117 zł.
Właściciel cukierni w związku ze zbliżającym się długim weekendem spodziewa się dodatko-
wego wzrostu popytu na swoje wyroby. W związku z tym rozważa dwa możliwe scenariusze: duży
(o 40%) i mały (o 10%) wzrost popytu. Konkurencja również jednak również zamierza skorzy-
stać na tej sytuacji. Dlatego oszacowane zostały prawdopodobieństwa zrealizowania się danego
wariantu wzrostu popytu w zależności od reakcji konkurencji. Znalazły się one w poniższej tabeli.
Wzrost popytu S1 S2 S3 S4
Duży (PD) 0,3 0,8 0,4 0,1
Mały (PM ) 0,7 0,2 0,6 0,9
Ocenić wpływ dodatkowej informacji o zmianie popytu na podejmowanie decyzji dotyczącej
asortymentu sprzedaży.
19
Zadanie 4
Inwestor planuje inwestycję w jedną z trzech akcji. W tym celu oszacował stopę zwrotu w zależ-
ności od jednego z przewidywanych stanów rynku. Stosowne wyniki zawiera tabela.
Stany rynku Skłonność do
Inwestycja S1 S2 S3 bycia optymistÄ…
Akcja A 10 9 -3 0,3
Akcja B -5 18 18 0,3
Akcja C 12 15 15 0,6
P (sj) 0,7 0,2 0,1
P (sj)  prawdopodobieństwo wystąpienia danego stanu rynku
Zweryfikuj poprawność poniższych stwierdzeń na podstawie wyników zadania. Tam, gdzie to
konieczne, uzasadnij odpowiedz
stosownymi obliczeniami.
1. Według kryterium optymisty najlepszą decyzją jest akcja A.
2. Według kryterium pesymisty najlepszą decyzją jest akcja A.
3. Według kryterium minimalnego oczekiwanego żalu najlepszą decyzją jest akcja C.
4. CGPI wynosi 13,8.
Walne zgromadzenia akcjonariuszy wyżej wymienionych spółek podjęły decyzje o wypłacie
dywidend. Ich wysokość uzależniają jednak od przewidywanej sytuacji rynkowej. Zakładając, że
inwestora interesuje łączna kwota otrzymanych dywidend oszacowane zostały prawdopodobień-
stwa uzyskania jednego z trzech wariantów wypłaty w zależności od sytuacji rynkowej. Szacunki
owe znalazły się w poniższej tabeli.
Wysokość S1 S2 S3
wypłaty
W1 0,1 0,5 0,6
W2 0,2 0,5 0,1
W2 0,7 0 0,3
Akcje której ze spółek będą najbardziej atrakcyjne po uwzględnieniu dodatkowej informacji na
temat wypłaty dywidend? Przeprowadz
stosownÄ… analizÄ™ i zinterpretuj jej wyniki.
Zadanie 5
Przygotowywane są obchody z okazji założenia miasta. Firma zainteresowana reklamowaniem
się na tej imprezie musi zadecydować czy lepszym rozwiązaniem będzie rozdawanie ulotek przy
głównym wejściu czy też hostessy powinny wręczać je krążąc po terenie obchodów. Liczba spo-
dziewanych osób zależy od pogody. Poniższa tabela zawiera spodziewane ilości wręczonych ulotek
w zależności od pogody i miejsca.
20 4. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności i ryzyka
Stany warunków pogodowych
S1 S2 S3
Wejście główne 120 260 150
Teren obchodów 190 220 150
P (sj) 0,1 0,4 0,5
P (sj)  prawdopodobieństwo wystąpienia danego stanu pogody
Zweryfikuj poprawność poniższych stwierdzeń na podstawie wyników zadania. Tam, gdzie to
konieczne, uzasadnij odpowiedz
stosownymi obliczeniami.
1. Według kryterium optymisty najlepszą decyzją jest teren obchodów.
2. Według kryterium maksymalnej oczekiwanej wartości najlepszą decyzją jest wejście główne.
Firma postanowiła uwzględnić w analizie dodatkowe informacje dotyczące spodziewanej fre-
kwencji na festynie. W zależności od warunków pogodowych rozważa trzy warianty frekwencji:
małą (5 tys. osób), średnią (10 tys. osób) i dużą (25 tys. osób). W tabeli poniżej znalazły się
oszacowane wartości prawdopodobieństw wystąpienia danej frekwencji w zależności od pogody.
Frekwencja S1 S2 S3
Mała (F1) 0,6 0,2 0,1
Åšrednia (F2) 0 0,5 0,1
Duża (F3) 0,4 0,3 0,8
Przeanalizować wpływ informacji na temat frekwencji na decyzję o wyborze miejsca rozdawania
ulotek.
Zadanie 6
Zakład wodociągowy planuje uruchomienie dodatkowych ujęć wody. Do wyboru są cztery decy-
zje. Oszacowano zyski (w tys. zł) w zależności od przewidywanego zużycia wody przez klientów
(stany natury). Wyniki zawarto w poniższej tabeli.
Liczba Stany natury
ujęć S1 S2 S3
Jedno -50 20 25
Dwa 40 -10 40
Trzy 30 60 -15
Cztery -10 10 20
P (sj) 0,4 0,3 0,3
P (sj)  prawdopodobieństwo wystąpienia danego stanu natury
Zweryfikuj poprawność poniższych stwierdzeń na podstawie wyników zadania. Tam, gdzie to
konieczne, uzasadnij odpowiedz
stosownymi obliczeniami.
1. Według kryterium pesymisty, najlepszą decyzją są dwa ujęcia.
21
2. Według kryterium Laplacea należy wybudować dwa ujęcia.
3. Według kryterium Hurwicza (ą = 0,6 dla każdej z decyzji) najlepszą decyzją jest jedno
ujęcie.
4. OKPI wynosi 54.
5. Przy zmianie prawdopodobieństw stanów natury wybór wg kryterium optymisty ulegnie
zmianie.
Za namową i z pomocą władz gminy zakład wystąpił do Ministerstwa Środowiska o przyzna-
nie dofinansowania ze środków pomocy unijnej rozbudowy sieci wodociągowej. Wynajęta firma
oszacowała prawdopodobieństwo otrzymania dotacji w zależności od spodziewanego zużycia wo-
dy przez mieszkańców. Wartości szacunków znajdują się w tabli poniżej.
Przyznanie dotacji S1 S2 S3
Tak 0,5 0,1 0,8
Nie 0,5 0,9 0,2
Jak na decyzję o uruchomieniu nowych ujęć wody wpłynie dodatkowa informacja o przyznaniu
bÄ…dz
nie ministerialnej dotacji.
5. Gry dwuosobowe o sumie wypłat zero
Zadanie 1
W grze bierze udział dwóch graczy: A i B. Każdy z nich dysponuje kartami opatrzonymi cyframi
od 1 do 5. Na dany sygnał wybierają jedną kartę i kładą ją na stole. Gracz, który wyłoży kartę
o numerze wyższym o jeden zdobywa 1 punkt, wyższym o dwa  2 punkty. Jeżeli liczba jest
wyższa, zwycięzca zdobywa 3 punkty. W pozostałych przypadkach gracze dostają po 0 punk-
tów. Zbudować macierz wypłat dla opisanej gry i sprawdzić czy ma ona rozwiązanie w zbiorze
strategii czystych. Jeżeli tak, wyznaczyć te strategie i wartość gry.
Zadanie 21
Gra toczy się pomiędzy dwoma graczami: P1 i P2. Każdy z nich ma po jednej monecie 1-, 2-
i 5-złotowej. Jednocześnie wybierają po jednej monecie. Jeżeli wybrane zostały te same typy
monet gracz, P1 wygrywa monetę gracza P2, natomiast gdy monety są różne to gracz P2 wy-
grywa monetę gracza P1. Zbudować macierz wypłat dla opisanej gry i sprawdzić czy ma ona
rozwiązanie w zbiorze strategii czystych. Jeżeli tak, wyznaczyć te strategie i wartość gry.
Zadanie 3
Dwóch graczy A i B wybrało z talii kart trzy karty: 1, 6 i 10. Gra polega na jednoczesnym
okazaniu przez każdego z nich wybranej karty. Wygrywa starsza karta a zwycięzca zdobywa
liczbę punktów równą różnicy między nominałami kart. Wyjątkiem jest wybranie pary 10 gdyż
wówczas gracz A zdobywa 5 punktów. Zbudować macierz wypłat dla opisanej gry i sprawdzić czy
ma ona rozwiązanie w zbiorze strategii czystych. Jeżeli tak, wyznaczyć te strategie i wartość gry.
Zadanie 4
Dla podanych poniżej macierzy wypłat wyznaczyć punkt siodłowy i odpowiadające mu strategie.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0 5 -2 -1 1 3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
(a) (b) -3 2 -2
1 2 3
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
-2 2 4 2 4 3
îÅ‚ Å‚Å‚
2 5 0 1
ïÅ‚ śł
5 3 7 4
ïÅ‚ śł
(c) (d)
6 4 7 2
ðÅ‚ ûÅ‚
3 6 0 8
0 7 8 0
1
Na podst. Rogalska D. (1991), s. 243
23
Zadanie 5
Przeprowadzić redukcję macierzy wypłat i określić strategie optymalne dla następujących gier:
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
3 9 3 9 9
ïÅ‚ śł 8 7 4 6 5
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
6 3 0 3 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 1 1 6 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
(a) (b)
ïÅ‚ 9 6 0 3 0 śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
5 2 1 2 1
ïÅ‚ śł ðÅ‚ ûÅ‚
9 6 0 3 0
ðÅ‚ ûÅ‚
6 3 2 3 4
12 6 3 12 12
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
5 -3 0 -2 7 5 5
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
(c) -2 5 -2
(d) -1 2 -3 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
4 7 0 -1 3 -1 0
Zadanie 6
Rozwiązać poniższe gry jako zadania programowania liniowego.
5 3 0 -3 1 0 1
(a) (b)
2 0 -3 3 0 1 2
îÅ‚ Å‚Å‚
0 -1 0
ïÅ‚ śł
30 20 30
ïÅ‚ śł
(c) (d)
4 1 -2
ðÅ‚ ûÅ‚
20 30 40
2 -1 2
6. ZarzÄ…dzanie projektami
Zadanie 1
Dane jest przedsięwzięcie rozpisane na poszczególne czynności, których czas trwania (w ty-
godniach) zawiera tabela. Wyznacz ścieżkę krytyczną tego przedsięwzięcia i podaj termin jego
zakończenia. Dla każdej czynności określ: NWP, NPP, NWK, NPK, ZC. Naszkicuj wykres Gant-
ta.
Czynność Czynności bezp. Czas trwania
poprzedzajÄ…ce
A Brak 5
B A 7
C A 4
D B 3
E C 8
F C 7
G D, E 2
H F, G 5
I H 6
J I 4
D
3 5
B
E
A I J
1 2 G 7 8 9
C H
F
4 6
1. Które czynności tworzą ścieżkę krytyczną?
2. Po ilu tygodniach zakończy się przedsięwzięcie?
3. Kiedy zakończy się przedsięwzięcie jeśli czynność A opóz
ni siÄ™ o 2 tygodnie?
4. Podaj NWK dla czynności H.
Zadanie 2
Dane jest przedsięwzięcie rozpisane na poszczególne czynności, których czas trwania (w miesią-
cach) zawiera tabela. Wyznacz ścieżkę krytyczną tego przedsięwzięcia i podaj oczekiwany termin
25
jego zakończenia. Dla każdej czynności określ: NWP, NPP, NWK, NPK, ZC. Naszkicuj wykres
Gantta. Czy termin dyrektywny, wynoszący 30 miesięcy można uznać za ryzykowny?
Czynność Czynności bezp. Optymistyczny Najb. prawdop. Pesymistyczny
poprzedzajÄ…ce czas trwania czas trwania czas trwania
A Brak 3 5 7
B A 5 7 9
C B 5 5 8
D B 1 6 8
E B 6 8 10
F C 2 6 7
G D 5 6 7
H E 3 5 7
I F, G, H 4 6 8
4
C F
A B D G I
1 2 3 5 7 8
E H
6
1. Które czynności tworzą ścieżkę krytyczną?
2. Jaki jest oczekiwany termin zakończenia przedsięwzięcia?
3. Kiedy zakończy się przedsięwzięcie jeśli czynność D opóz
ni siÄ™ o 2 miesiÄ…ce?
4. Czy termin dyrektywny, wynoszący 30 miesięcy można uznać za ryzykowny?
Zadanie 3
Dane jest przedsięwzięcie rozpisane na poszczególne czynności, których czas trwania (w dniach)
zawiera tabela. Wyznacz ścieżkę krytyczną tego przedsięwzięcia i podaj oczekiwany termin je-
go zakończenia. Dla każdej czynności określ: NWP, NPP, NWK, NPK, ZC. Naszkicuj wykres
Gantta.
26 6. ZarzÄ…dzanie projektami
Czynność Czynności bezp. Optymistyczny Najb. prawdop. Pesymistyczny
poprzedzajÄ…ce czas trwania czas trwania czas trwania
A Brak 10 20 30
B Brak 14 21 22
C A 3 15 15
D B 18 18 19
E C, D 10 22 25
F C, D 6 22 23
G C, D 5 24 27
H E 5 15 15
I F, H 3 18 21
J G 3 19 20
2 5
A E H
C
F
1 4 7
B D G
I
J
3 6 8
1. Jaki jest oczekiwany termin zakończenia przedsięwzięcia?
2. Podaj NPK dla czynności C.
3. Kiedy zakończy się przedsięwzięcie jeśli czynność A opóz
ni siÄ™ o 3 dni?
4. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że termin dyrektywny wyniesie 86 dni?
Zadanie 4
Dane jest przedsięwzięcie rozpisane na poszczególne czynności, których czas trwania (w ty-
godniach) zawiera tabela. Wyznacz ścieżkę krytyczną tego przedsięwzięcia i podaj termin jego
zakończenia. Dla każdej czynności określ: NWP, NPP, NWK, NPK, ZC. Naszkicuj wykres Gant-
ta.
27
Czynność Czynności bezp. Czas trwania
poprzedzajÄ…ce
A Brak 7
B Brak 2
C Brak 5
D A 4
E B 11
F C 12
G C 10
H D 10
I E 9
J F 3
K G 5
L H, I, J, K 4
D
2 5
A H
E
B I L
1 3 6 9 10
C J
K
F
4 7
G
8
1. Podaj termin ukończenia przedsięwzięcia.
2. Które czynności mają największą rezerwę czasu?
3. Kiedy zakończy się przedsięwzięcie jeśli czynności B i C opóz
nią się o 1 tydzień każda?
4. Która czynność krytyczna wykonywana będzie w 19 tygodniu trwania przedsięwzięcia?
Zadanie 5
Dane jest przedsięwzięcie rozpisane na poszczególne czynności, których czas trwania (w dniach)
zawiera tabela. Wyznacz ścieżkę krytyczną tego przedsięwzięcia i podaj termin jego zakończenia.
Dla każdej czynności określ: NWP, NPP, NWK, NPK, ZC. Naszkicuj wykres Gantta.
28 6. ZarzÄ…dzanie projektami
Czynność Czynności bezp. Czas trwania
poprzedzajÄ…ce
A Brak 3
B Brak 5
C A 2
D B 1
E B 4
F C, D 2
G C, D 3
H E, F 5
I G 6
J H 2
K I, J 7
C G I
2 4 6 8
A
D J
1 F K
B
E H
3 5 7 9
1. Podaj termin ukończenia przedsięwzięcia.
2. Które czynności tworzą ścieżkę krytyczną?
3. Kiedy zakończy się przedsięwzięcie jeśli czynności B i E opóz
nią się o 1 dzień każda?
4. Które czynności wykonywane będą w 12 dniu trwania przedsięwzięcia?
Zadanie 6
Dane jest przedsięwzięcie rozpisane na poszczególne czynności, których czas trwania (w godzi-
nach) zawiera tabela. Wyznacz ścieżkę krytyczną tego przedsięwzięcia i podaj oczekiwany termin
jego zakończenia. Dla każdej czynności określ: NWP, NPP, NWK, NPK, ZC. Naszkicuj wykres
Gantta.
29
Czynność Czynności bezp. Optymistyczny Najb. prawdop. Pesymistyczny
poprzedzajÄ…ce czas trwania czas trwania czas trwania
A Brak 8 10 11
B A 6 15 20
C A 8 12 14
D A 2 20 21
E B 1 9 15
F B 8 11 13
G C, E 12 13 13
H D 8 11 13
I F, G, H 7 10 11
J D 15 18 20
K I, J 10 15 18
3
B F
E
A C G I K
1 2 4 6 7 8
D H J
5
1. Jaki jest oczekiwany termin zakończenia przedsięwzięcia?
2. Które czynności tworzą ścieżkę krytyczną?
3. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że termin dyrektywny wyniesie 71 godzin?
4. Która czynność ma największą rezerwę czasu?
Zadanie 7
Dane jest przedsięwzięcie rozpisane na poszczególne czynności, których czas trwania (w dniach)
zawiera tabela. Wyznacz ścieżkę krytyczną tego przedsięwzięcia i podaj oczekiwany termin je-
go zakończenia. Dla każdej czynności określ: NWP, NPP, NWK, NPK, ZC. Naszkicuj wykres
Gantta.
30 6. ZarzÄ…dzanie projektami
Czynność Czynności bezp. Optymistyczny Najb. prawdop. Pesymistyczny
poprzedzajÄ…ce czas trwania czas trwania czas trwania
A Brak 2 3 7
B Brak 3 5 7
C A 1 2 3
D A 1 2 3
E B, D 2 4 6
F C 1 2 7
G C 3 3 6
H E, F 2 5 5
I G 5 6 7
J H 1 2 6
K I, J 4 7 10
C G I
2 4 6 8
A
J
1 D F K
B
E H
3 5 7 9
1. Jaki jest oczekiwany termin ukończenia przedsięwzięcia?
2. Czy termin dyrektywny wynoszący 21 dni może zostać uznany za harmonogram asekuranta?
3. Kiedy zakończy się przedsięwzięcie jeśli czynność K opóz
ni siÄ™ o 3 dni?
4. Która czynność niekrytyczna wykonywana będzie w 12 dniu trwania przedsięwzięcia?
Zadanie 8
Dane jest przedsięwzięcie rozpisane na poszczególne czynności, których czas trwania (w dniach)
zawiera tabela. Wyznacz ścieżkę krytyczną tego przedsięwzięcia i podaj termin jego zakończenia.
Dla każdej czynności określ: NWP, NPP, NWK, NPK, ZC. Naszkicuj wykres Gantta.
31
Czynność Czynności bezp. Czas trwania
poprzedzajÄ…ce
A Brak 6
B A 1
C A 2
D B 5
E C 6
F C 9
G D 6
H E 5
I F 5
D
3 5
B G
A H
1 2 6 8
C E I
F
4 7
1. Podaj czynności tworzące ścieżkę krytyczną.
2. Jaki jest termin ukończenia przedsięwzięcia?
3. Kiedy zakończy się przedsięwzięcie jeśli czynności B i D opóz
nią się się o 2 dni każda?
4. Podaj NWP dla czynności E.
Zadanie 9
Dla pewnego przedsięwzięcia złożonego z czynności, których czas trwania mierzony jest w godzi-
nach zebrano dane na temat kosztów bezpośrednich (w zł). Stosowane dane znalazły się w tabeli
poniżej. Przeprowadzić analizę kosztowo-czasową oraz wskazać termin końcowy o najniższych
kosztach całkowitych. Wiadomo, że funkcja kosztów pośrednich ma postać: KP = 20t7 + 10.
32 6. ZarzÄ…dzanie projektami
Czas trwania Koszt
Czynność normalny graniczny normalny graniczny
g
n
tn tg Kij Kij
ij ij
A 1 1 100 100
B 2 1 50 80
C 5 3 110 150
D 8 5 120 135
E 2 2 40 40
F 2 1 30 60
G 3 1 70 80
H 8 6 80 140
4
C
F
A B D H
1 2 3 5 7
E
G
6
Zadanie 101
Dla pewnego przedsięwzięcia złożonego z czynności, których czas trwania mierzony jest w
godzinach zebrano dane na temat kosztów bezpośrednich (w tys. zł). Stosowane dane znala-
zły się w tabeli poniżej. Przeprowadzić analizę kosztowo-czasową oraz wskazać termin końco-
wy o najniższych kosztach całkowitych. Wiadomo, że funkcja kosztów pośrednich ma postać:
KP = 15t5 + 50.
1
Na podst. Miszczyńska D., Miszczyński M. (2002), s. 153
33
Czas trwania Koszt
Czynność normalny graniczny normalny graniczny
g
n
tn tg Kij Kij
ij ij
A 4 2 50 70
B 6 3 40 55
C 2 1 20 24
D 6 4 100 130
E 3 2 50 60
F 3 3 25 25
G 5 3 60 75
D
2 4
A
E
1 C G
B
F
3 5
Zadanie 11
Dla pewnego przedsięwzięcia złożonego z czynności, których czas trwania mierzony jest w dniach
zebrano dane na temat kosztów bezpośrednich (w tys. zł). Stosowane dane znalazły się w tabeli
poniżej. Przeprowadzić analizę kosztowo-czasową oraz wskazać termin końcowy o najniższych
kosztach całkowitych. Wiadomo, że funkcja kosztów pośrednich ma postać: KP = 2t5 + 10.
Czas trwania Koszt
Czynność normalny graniczny normalny graniczny
g
n
tn tg Kij Kij
ij ij
A 3 1 12 22
B 2 1 10 16
C 4 3 8 11
D 1 1 6 6
E 1 1 7 7
F 2 2 10 10
34 6. ZarzÄ…dzanie projektami
2
A D
C F
1 4 5
B E
3
Zadanie 12
Na podstawie dokonanych przez ekspertów nowych ocen czasów trwania oraz kosztów dla czyn-
ności zmodyfikowano dane dotyczące przedsięwzięcia z zadania poprzedniego. Zmienione da-
ne znalazły się w tabeli poniżej. Graf powiązań pozostaje bez zmian. Przeprowadzić analizę
kosztowo-czasową oraz wskazać termin końcowy o najniższych kosztach całkowitych. Wiadomo,
że nowa funkcja kosztów pośrednich ma postać: KP = 3t5 + 10.
Czas trwania Koszt
Czynność normalny graniczny normalny graniczny
g
n
tn tg Kij Kij
ij ij
A 3 1 12 22
B 2 1 10 16
C 5 4 8 12
D 1 1 6 6
E 1 1 7 7
F 3 2 10 12
Odpowiedzi do zadań
Programowanie liniowe
Zadanie 1
HA = 0, HB = 10000, fmax = 30000
Zadanie 2
R1 = 600, R2 = 800, fmin = 15400
Zadanie 3
WD = 160, WM = 80, fmax = 32000
Pytanie 1 2 3 4 5 6 7 8
Odpowiedz
N T N N N T T N
Zadanie 4
XV = 5, XK = 0, fmin = 10
Pytanie 1 2 3 4 5 6 7 8
Odpowiedz
T T N N N T T T
Zadanie 5
X1 = 10, X2 = 5, fmin = 5500
Pytanie 1 2 3 4 5 6 7 8
Odpowiedz
N N T N T T N T
Zadanie 6
XA = 1100, XB = 1750, XC = 3400,
fmax = 23800
Pytanie 1 2 3 4 5 6 7 8
Odpowiedz
N T T N T N T T
Zadanie 7
R = 0, B = 2,8, D = 2,4, fmin = 19,6
Pytanie 1 2 3 4 5 6 7 8
Odpowiedz
N T T N N T T N
Zadanie 8
H1 = 8, H2 = 0, H3 = 11,5, fmax = 5450
36 Odpowiedzi do zadań
Pytanie 1 2 3 4 5 6 7 8
Odpowiedz
N T T N N T N T
Zadanie 9
Z1 = 20, Z2 = 10, Z3 = 10, fmin = 40
Pytanie 1 2 3 4 5 6 7 8
Odpowiedz
N N N N N T T N
Zadanie 10
T V 32 = 1000, T V 36 = 500, T V 42 = 3500,
fmax = 2200000
Pytanie 1 2 3 4 5 6 7 8
Odpowiedz
T T T T N N N T
Zadanie 11
CZ1 = 0, CZ2 = 5, CZ3 = 25, CZ4 = 15,
fmin = 3400
Pytanie 1 2 3 4 5 6 7 8
Odpowiedz
N N T N N T T N
Zadanie 12
A1 = 0, A2 = 4000, fmax = 12000
Pytanie 1 2 3 4 5 6 7 8
Odpowiedz
N N N N T N T N
Zadanie 13
XA = 0, XB = 800, XC = 500, fmax = 16500
Pytanie 1 2 3 4 5 6 7 8
Odpowiedz
N T N N T T T T
Zadanie 14
P1 = 30, P2 = 300, fmax = 393000
Pytanie 1 2 3 4 5 6 7 8
Odpowiedz
N T T N T T T T
Zadanie 15
D1 = 60, D2 = 490, D3 = 450, fmin = 176700
Pytanie 1 2 3 4 5 6 7 8
Odpowiedz
T T N N T N T T
37
Zadanie 16
LA = 50, LB = 100, LC = 0, fmax = 650
Pytanie 1 2 3 4 5 6 7 8
Odpowiedz
N T T T N N N T
Programowanie liniowe w liczbach całkowitych
Zadanie 1
x1 = 0, x2 = 13, x3 = 25, x4 = 7, fmin = 3220
Zadanie 2
N1 = 0, N2 = 1428, fmax = 42840
Zadanie 3
P1 = 53, P2 = 250, fmax = 358300
Zadanie 4
T1 = 133, T2 = 34, T3 = 0, fmin = 8520
Zadanie 5
K1 = 232, K2 = 696, fmax = 5336
Zadanie transportowe
Zadanie 1
Zadanie zamknięte, Kmin = 332, jedyne rozwiązanie, 3 iteracje.
îÅ‚ Å‚Å‚
3 2 20
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
Xopt =
ïÅ‚ śł
26 0 0
ðÅ‚ ûÅ‚
60 24 0
Zadanie 2
Zadanie otwarte, Kmin = 1100, istniejÄ… jeszcze dwa inne rozwiÄ…zania, 3 iteracje.
îÅ‚ Å‚Å‚
50 0 150 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
Xopt = ïÅ‚ śł
0 150 0 0
ðÅ‚ ûÅ‚
50 150 0 20
Zadanie 3
Zadanie otwarte, Kmin = 825, jedyne rozwiÄ…zanie, 3 iteracje.
îÅ‚ Å‚Å‚
10 0 10 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
Xopt =
ïÅ‚ śł
0 20 10 0 0
ðÅ‚ ûÅ‚
5 0 0 30 5
38 Odpowiedzi do zadań
Zadanie 4
Zadanie otwarte, Kmin = 2037, jedyne rozwiÄ…zanie, 4 iteracje.
îÅ‚ Å‚Å‚
50 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
2 0 28
ïÅ‚ śł
Xopt =
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 45 0
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
8 15 0
Zadanie 5
Zadanie zamknięte, Kmin = 187,3, istnieje jeszcze jedno rozwiązanie, 3 iteracje.
îÅ‚ Å‚Å‚
11 0 20
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
Xopt =
ïÅ‚ śł
16 14 0
ðÅ‚ ûÅ‚
0 28 0
Zadanie 6
Zadanie otwarte, Kmin = 302,1, jedyne rozwiÄ…zanie, 3 iteracje.
îÅ‚ Å‚Å‚
38 30 7 0 0
ðÅ‚ ûÅ‚
Xopt =
2 0 25 29 4
Zadanie 7
Zadanie zamknięte, Kmin = 270, jedyne rozwiązanie, 3 iteracje.
îÅ‚ Å‚Å‚
20 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
Xopt =
ïÅ‚ śł
0 10 20
ðÅ‚ ûÅ‚
8 16 0
Zadanie 8
Zadanie zamknięte, Kmin = 5150, istnieją jeszcze dwa rozwiązania, 3 iteracje.
îÅ‚ Å‚Å‚
120 10 0 70
ðÅ‚ ûÅ‚
Xopt =
0 50 130 0
Zadanie 9
Zadanie zamknięte, Kmin = 127, istnieją jeszcze dwa rozwiązania, 4 iteracje.
îÅ‚ Å‚Å‚
0 11
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
Xopt =
ïÅ‚ śł
5 6
ðÅ‚ ûÅ‚
11 0
39
Gry dwuosobowe o sumie wypłat zero
Zadanie 1
îÅ‚ Å‚Å‚
0 -1 -2 -3 -3
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1 0 -1 -2 -3
ïÅ‚ śł
x" =
ïÅ‚ śł 0 0 0 0 1
ïÅ‚ śł
A = v = 0
2 1 0 -1 -2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
y" =
0 0 0 0 1
ïÅ‚ śł
3 2 1 0 -1
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
3 3 2 1 0
Zadanie 2
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -1 -1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
A =
ïÅ‚ -2 2 -2
śł
ðÅ‚ ûÅ‚
-5 -5 5
brak punktu siodłowego, v "< -1, 1 >
Zadanie 3
îÅ‚ Å‚Å‚
0 -5 -9
ïÅ‚ śł
x" =
0 0 1
ïÅ‚ śł
A = ïÅ‚ śł v = 4
5 0 -4
ðÅ‚ ûÅ‚
y" =
0 1 0
9 4 5
Zadanie 4
x" = y" = v = 1, x" = y" = v = 2
0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0
x" = y" = v = 2, x" = y" = v = 3
0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0
Zadanie 5
îÅ‚ Å‚Å‚
13
ðÅ‚ ûÅ‚
A = x" = y" = v = 13
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
13
A = x" = y" = v = 4
4 1 0 0 0 0 0 1 0 0
Zadanie 6
Rozwiązania zadań PL. Należy je przeliczyć na wynik gry.
(a)
opt opt
xopt = 0,3333 y1 = 0 y3 = 0,3333
1
opt opt
xopt = 0,1667 y2 = 0 y4 = 0,1667
2
fmin = gmax = 0,5
40 Odpowiedzi do zadań
(b)
opt opt
xopt = 1 y1 = 1 y3 = 0
1
opt
xopt = 1 y2 = 1 fmin = gmax = 2
2
(c)
opt
xopt = 0 y1 = 0
1
opt
xopt = 0,25 y2 = 0,3333
2
opt
xopt = 0,25 y3 = 0,1667
3
fmin = gmax = 0,5
(d)
opt opt
xopt = 0,02 y1 = 0,02 y3 = 0
1
opt
xopt = 0,02 y2 = 0,02 fmin = gmax = 0,04
2
Literatura
 Ekonometria i badania operacyjne (2009), red. Gruszczyński M., Kuszewski T., Podgórska
M., PWN, Warszawa
 Kukuła K. (red.) (2008), Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa
 Miszczyńska D., Miszczyński M. (2002) Wybrane metody badań operacyjnych, Wydawnictwo
WSEH w Skierniewicach, Skierniewice
 Rogalska D. (1991) Programowanie liniowe. Algorytmy i zadania, Wydawnictwo UA
, A
ódz