UNIWERSYTET ROLNICZY W KRAKOWIE
WYDZIAA
INśYNIERII PRODUKCJI I ENERGETYKI
KATEDRA ENERGETYKI I AUTOMATYZACJI PROCESÓW ROLNICZYCH
Małgorzata Trojanowska
ROZWI
ZYWANIE OBWODÓW
ELEKTRYCZNYCH
SPIS TREÅšCI
1. Rozwiązywanie obwodów prądu stałego& & & & & & & & & & & & & & & & & & 3
2. Rozwiązywanie obwodów jednofazowych prądu sinusoidalnie zmiennego& & & & 11
3. Rozwiązywanie obwodów trójfazowych prądu sinusoidalnie zmiennego& & & & & 22
2
1. Rozwiązywanie obwodów elektrycznych prądu stałego
Wprowadzenie
Prawo Ohma wyra\
a zale\
ność między napięciem i natę\
eniem prądu płynącego przez rezystancję:
U = RI
gdzie: U  napięcie (spadek napięcia) na rezystancji R [V],
I  prÄ…d [A],
R  rezystancja [&!].
I prawo Kirchhoffa odnoszące się do węzłów obwodu stwierdza, \
e algebraiczna suma prądów w
węz
le jest równa zeru:
n
= 0
"Ik
k =1
Przyjęto oznaczać prądy dopływające do węzła znakiem plus, zaś wypływające znakiem minus.
II prawo Kirchhoffa odnoszące się do obwodów zamkniętych zwanych oczkami mówi, \
e w ka\
dym
oczku algebraiczna suma sił elektromotorycznych z
ródeł i spadków napięć na rezystancjach oczka jest
równa zeru:
n n
+ = 0
"Ek "Uk
k =1 k =1
Aby napisać dla oczka równanie zgodnie z drugim prawem Kichhoffa nale\
y najpierw przyjąć
kierunek jego obiegu (najwygodniej zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara). Je\
eli zwroty sił
elektromotorycznych czy spadków napięć są zgodne ze zwrotem strzałki obiegu oczka przyjmuje się
je dodatnie, a ujemne gdy majÄ… zwrot przeciwny.
Rozwiązywanie obwodów elektrycznych polega zazwyczaj na wyznaczaniu prądów i rozkładów
napięć w poszczególnych gałęziach, przy zadanych parametrach z
ródeł i odbiorników. Istnieje wiele
metod rozwiązywania obwodów elektrycznych. Poni\
ej zostanÄ… przedstawione dwie z nich tj. metoda
klasyczna i metoda transfiguracji.
Metoda klasyczna
Metoda klasyczna polega na zastosowaniu prawa Ohma i praw Kirchhoffa. Piszemy tyle równań ile
mamy niewiadomych (prądy w n gałęziach), przy czym je\
eli liczba węzłów w obwodzie wynosi w, to
na podstawie I prawa Kirchhoffa mo\
emy uło\
yć w-1 równań dla węzłów, a pozostałe równania
układamy dla oczek na podstawie II prawa Kirchhoffa.
Przykład
Nale\
y rozwiązać obwód przedstawiony na rysunku 1a, czyli obliczyć prądy płynące w ka\
dej gałęzi
tego obwodu.
Dane: E=100V, R1=5&!, R2=7 &!, R3=10 &!, R4=8 &!, R5=12 &!, R6=20 &!.
U1
a)
I1 I5
U1 U4 b)
I1 w1 I3
R1
R1 R4
I2
I2
E
R3 U3 R4,5,6 U4,5,6
E I+
R3 U3 II+ R5 U5
U2
U2
U6
R2 w2 R6 R2
3
U1
I1
c)
d)
I1
R1
E
RZ UZ
E
R3,4,5,6 U3,4,5,6
U2
R2
Rys. 1. Schematy obwodów prądu stałego: a) schemat pierwotny, b), c), d) schematy po kolejnych
przekształceniach obwodu
Rozwiązywanie obwodu rozpoczynamy od zastrzałkowania wszystkich prądów w gałęziach i spadków
napięć na rezystancjach obwodu. Zgodnie z zasadą strzałkowania napięć i prądów przyjmuje zwrot
prądu I1 zgodny ze zwrotem siły elektromotorycznej E wywołującej jego przepływ, a zwroty napięć U
na odbiornikach przeciwne do zwrotów prądów I przez nie płynących. Następnie zakładamy dla
ka\
dego z oczek kierunek obiegu np. prawoskrętny i układamy równania:
węzeł w1 I1  I2  I3 = 0,
oczko I E  U1  U3  U2 = 0,
oczko II U3  U4  U5  U6 =0.
Po zastosowaniu prawa Ohma:
oczko I E  R1I1  R3I2  R2I1 = 0,
oczko II R3I2  R4I3  R5I3  R6I3 = 0.
Podstawiając wartości rezystancji i siły elektromotorycznej otrzymujemy następujący układ trzech
równań o trzech niewiadomych:
I1  I2  I3 = 0,
100  5·I1  10·I2  7·I1 = 0,
10·I1  8·I2  12·I2  20·I2 = 0,
a po ich rozwiÄ…zaniu uzyskujemy: I1 = 5A, I2 = 4A, I3 = 1A.
Metoda transfiguracji
Metoda transfiguracji polega na przekształceniu obwodu do prostszej postaci, dla której obliczenie
rozpływu prądów nie stwarza większych trudności. Następnie powraca się do pierwotnej postaci
obwodu i wykorzystujÄ…c prawo Ohma i prawa Kirchhoffa oblicza siÄ™ kolejno natÄ™\
enia prądów w jego
poszczególnych gałęziach. Przy przekształcaniu obwodu korzysta się z zale\
ności pozwalających
zastąpić szeregowo lub równolegle połączone rezystancje rezystancją zastępczą.
Przykład
Nale\
y rozwiązać obwód przedstawiony na rysunku 10a.
Rezystancje R4, R5, i R6 są połączone szeregowo (płynie przez nie ten sam prąd I3), a zatem
rezystancja zastępcza R456 (rys. 10b) wynosi:
R456 = R4 + R5 + R6 = 8 + 12 + 20 = 40 &!.
Rezystancje R456 i R3 są połączone równolegle (napięcia na tych rezystancjach są sobie równe, co
wynika z II prawa Kirchhoffa: U3  U456 = 0, stąd U3 = U456), a zatem rezystancję zastępczą R3456 (rys.
10c) liczymy z zale\
ności:
1 1 1 1 1 1
= + = + = ,
R R R 10 40 8
3456 3 456
stÄ…d R3456 = 8&!.
Rezystancje R1, R2 i R3456 są połączone szeregowo, więc rezystancja zastępcza obwodu Rz (rys. 10d)
wynosi:
4
Rz = R1 + R3456 + R2 = 5 + 8 + 7 = 20 &!.
Uproszczony schemat obwodu zawiera z
ródło o sile elektromotorycznej E oraz odbiornik o rezystancji
zastępczej Rz.
Aby obliczyć prąd I1 piszemy dla oczka (rys. 10d) równanie zgodnie z II prawem Kirchhoffa:
E  Uz = 0,
E  Rz I1 = 0,
E 100
.
I1 = = = 5 A
R 20
z
ZnajÄ…c prÄ…d I1 mo\
emy wyznaczyć napięcia U1 i U2. Je\
eli więc napiszemy równanie dla oczka I (rys.
10a), korzystając z II prawa Kirchhoffa, to w tym równaniu będziemy mieli tylko jedną niewiadomą
U3:
E  U1  U3  U2 =0,
E  R1I1  R3I2  R2I1 = 0,
100  5·5  10·I2  7·5 =0,
I2 = 4A.
Na koniec prÄ…d I3 mo\
emy wyznaczyć pisząc równanie dla węzła w1 zgodnie z I prawem Kirchhoffa:
I1  I2  I3 = 0,
I3 = I1  I2 = 5  4 = 1A.
Zadania
Zadanie 1.1
Dla obwodu z rys. 1.1 obliczyć prądy w poszczególnych gałęziach obwodu oraz moc pobieraną przez
odbiornik R3 (wydzielanÄ… na rezystancji R3) i moc wydawanÄ… przez z
ródło.
Dane: E = 60V, R1 = 6&!, R2 = 8&!, R3 = 4&!, R4 = 6&!, R5 = 12&!.
a) b)
U3
U3
I2 I3
I2 w1 I3 w2 I5
I1 R3
I1 R3 I4
E
E
R2 U2 U4 R5 U5
R4
R2 U2 R45 U45
I+ II+ III+
R1 U1
R1 U1
I3
c) d) e)
I2 I3 I1
I1
I1
E
E
R2 U2 R345 U345 R2345 U2345 E
RZ UZ
R1 U1
R1 U1
Rys. 1.1
Zadanie rozwiÄ…\
emy metodą transfiguracji, tj. szeregowo-równoległe połączenie rezystancji zostanie
zastąpione rezystancją zastępczą, czyli obwód z rys. 1.1a sprowadzimy do obwodu z rys. 1.1e.
Rezystancje R4 i R5 są połączone równolegle (napięcia na tych rezystancjach są sobie równe, co
wynika z II prawa Kirchhoffa U4  U5 = 0, stąd U4 = U5), a zatem rezystancję zastępczą R45 (rys. 1.1b)
wyznaczamy z zale\
ności:
5
1 1 1 1 1 1
,
= + = + =
R R R 6 12 4
45 4 5
R45 = 4&!.
Rezystancja R3 i R45 są połączone szeregowo (płynie przez nie ten sam prąd I3), więc mo\
emy je
zastąpić rezystancją R345 (rys. 1.1c) o wartości równej sumie rezystancji R3 i R45:
R345 = R3 + R45 = 4 + 4 = 8&!.
Z kolei rezystancje R2 i R345 są połączone równolegle (rys. 1.1d), a zatem:
1 1 1 1 1 1
= + = + = ,
R R R 8 8 4
2345 2 345
R2345 = 4&!.
Na koniec wyznaczamy rezystancję zastępczą obwodu Rz jako sumę rezystancji R2 i R2345 (rys. 1.1e):
Rz = R1 + R2345 = 6 + 4 = 10&!.
Dla, w ten sposób uproszczonego, obwodu piszemy równanie zgodnie z II prawem Kirchhoffa i
wyliczamy prÄ…d I1:
E  Uz = 0,
po skorzystaniu z prawa Ohma:
E  RzI1 = 0,
60  10·I1 = 0,
I1 = 6A.
ZnajÄ…c prÄ…d I1 mo\
emy wyznaczyć napięcie U1 (U1 = R1I1). Je\
eli więc napiszemy równanie dla oczka
I (rys. 1.1a), korzystając z II prawa Kirchhoffa, to w tym równaniu będziemy mieli tylko jedną
niewiadomÄ… U2:
E  U1  U2 =0,
E  R1I1  R2I2 = 0,
60  6·6  8·I2 = 0,
I2 = 3A.
ZnajÄ…c prÄ…d I1 i I2 mo\
emy napisać równanie dla węzła w1 zgodnie z I prawem Kirchhoffa, w którym
będziemy mieli jedną niewiadomą tj. prąd I3:
I1  I2  I3 = 0,
6  3  I3 = 0,
I3 = 3A.
Następnie dla oczka II piszemy równanie zgodnie z II prawem Kirchhoffa:
U2  U3  U4 = 0,
R2I2  R3I3  R4I4 = 0,
8·3  4·3  6·I4 = 0,
I4 = 2A.
PrÄ…d I5 mo\
emy wyznaczyć pisząc równanie zgodnie z I prawem Kirchhoffa dla węzła w2:
I3  I4  I5 = 0,
3  2  I5 = 0,
I5 = 1A.
Moc prądu stałego P = UI.
Moc wydzielana na rezystancji PR3 = U3I3, a po wykorzystaniu prawa Ohma wzór ten mo\
na
2
U
2 R 3
przeksztaÅ‚cić do postaci PR3 = R3I3 lub PR 3 = . A zatem np. PR3 = 4·32 = 36W.
R3
Moc wydawana przez z
ródÅ‚o PE = EI1 = 60·6= 360W.
Zadanie 1.2
W obwodzie z rys. 1.2 dane: E = 200V, R1 = 10&!, R2 = 30&!, R3 = 5&!, R4 = R5 = R6 =15&!.
O ile watów wzrośnie moc układu, je\
eli siła elektromotoryczna z
ródła wzrośnie o 20V.
6
R1 R5
R4 R6
E R2
R3
Rys. 1.2.
Odp.: Moc układu wzrośnie o 420W.
Zadanie 1.3
Dla obwodu z rys. 1.3 obliczyć natę\
enie prądu I oraz spadek napięcia U5.
Dane: E = 80V, R1 = 10&!, R2 = 24&!, R3 = 12&!, R4 = 12&!, R5 = 20&!.
I
R1
E R3
R5 U5
R2
R4
Rys. 1.3
Odp.: I = 4A, U5 = 40V.
Zadanie 1.4
Dla obwodu z rys. 1.4 obliczyć ró\
nicę potencjałów między punktami A i B.
Dane: E = 20V, R1 =2&!, R2 = 10&!, R3 = 5&!, R4 =2&!, R5 = R6 = 6&!.
R6
A
R1 R5
R2 R4
E
R3
B
Rys. 1.4
Odp.: UAB = 4V.
Zadanie 1.5
Dla obwodu z rys. 1.5 obliczyć rezystancję zastępczą RZ oraz siłę elektromotoryczną E z
ródła.
Dane: R1 =10&!, R2 = 6&!, R3 = 4&!, R4 =12&!, R5 =8&!, U4 = 24V.
a)
U1
I1 w1 I6 w4 I5
b)
U1
I1 I5
R1 I2
II+
R1
I4
R2 U2
R24 U24
E
U4
R5 U5
E
I+ w2
I3 R5 U5
I3 R4
III+
R3 U3
R3 U3
w3
7
c)
U1
I1 I5 d) e)
U1
I1
I1
R1
I3
R1
E
R2,3,4 U2,3,4 R5 U5
E RZ UZ
R2345 U2345 E
Rys. 1.5
Dokonując kolejnych przekształceń obwodu (rys. 1.5b, c, d, e) otrzymujemy:
1 1 1 1 1 1
(rys. 1.5b), stÄ…d R24 = 4&!;
= + = + =
R R R 6 12 4
24 2 4
R234 = R24 + R3 = 4 + 4 = 8&! (rys. 1.5c);
1 1 1 1 1 1
(rys. 1.5d), stÄ…d R2345 = 4&!;
= + = + =
R R R 8 8 4
2345 234 5
RZ = R2345 + R1 = 4 + 10 = 14&! (rys. 1.5e).
Znając spadek napięcia na rezystancji R4 liczymy natę\
enie prÄ…du I4 (korzystajÄ…c z prawa Ohma):
U 24
4
I = = = 2 A
4
R4 12
Poniewa\
w oczku II mamy tylko jedną niewiadomą, to najpierw napiszemy równanie (zgodnie z II
prawem Kirchhoffa) dla tego oczka:
U2  U4 = 0,
R2I2  R4 I4 = 0,
6 I2  12·2 = 0,
I2 = 4A.
Kolejne równanie piszemy dla węzła w2 (zgodnie z I prawem Kichhoffa):
I2 + I4  I3 = 0,
I3 = I2 + I4 = 4 + 2 = 6A.
Znajomość prądu I3 umo\
liwia wyznaczenie spadku napięcia U3, następnie napięcia U5 z równania dla
oczka III i w końcu prądu I5:
U3 + U2  U5 = 0,
R3I3 + R4I4  R5I5 = 0,
4·6 + 24  8·I5 = 0,
I5 = 6A.
Prąd I1 obliczymy pisząc np. dla węzła w3 zale\
ność:
I3 + I5  I1 = 0,
6 + 6  I1 = 0,
I1 = 12A.
Szukaną wartość siły elektromotorycznej E mo\
na wyznaczyć np. z oczka I:
E  U1  U2  U3 = 0,
E  R1I1  R2I2  R3I3 = 0,
E  10·12  6·4  24 = 0,
E = 168V.
Innym sposobem wyznaczenia rezystancji zastępczej układu jest napisanie równania dla oczka z rys.
1.5e:
E - UZ = 0,
E  RzI1 =0,
168  RZ ·12 = 0,
RZ = 14&!.
8
Zadanie 1.6
Dla obwodu z rys. 1.6 obliczyć wartość siły elektromotorycznej E z
ródła, natę\
enie prÄ…du I oraz
rezystancję zastępczą RZ obwodu.
Dane: R1 = 12&!, R2 = 16&!, R3 = 12&!, R4 = 10&!, R5 = 14&!, U3 = 36V.
R2
R1
U3
E
R3
I
R5
R4
Rys. 1.6
Odp.: E = 108V, I = 12A, RZ = 8&!.
Zadanie 1.7
Dla obwodu z rys. 1.7 wyznaczyć wartość rezystancji R1 oraz moc P wydawaną ze z
ródło.
Dane: E = 10V, R2 = 2&!, R3 = 4&!, R4 = 2&!, moc wydzielana na rezystancji R2 P2 = 18W.
E
R2 R4
R1
R3
Rys.1.7
Odp.: R1 = 1&!, P = 40W.
Zadanie 1.8
Obliczyć wartość rezystancji R2 w obwodzie z rys. 1.8.
Dane: E = 108V, I3 = 0,4A, R0 = 10&!, R1 = 50&!, R3 = 120&!.
R0 R1
I3
E
R2
R3
Rys. 1.8
Odp.: R2 = 80&!.
Zadanie 1.9
Jak zmieni się wartość napięcia na rezystancji R2 i moc wydzielana na tej rezystancji w obwodzie
przedstawionym na rys. 1.9 po zamknięciu wyłącznika K.
Dane: R1 = 20&!, R3 = 20&!, R4 = 40&!, U2 = 0,2 E.
9
U1
R2 U2 R1
K
E
U4
U3
R3 R4
Rys. 1.9
RozwiÄ…zanie
Przy otwartym wyłączniku K równanie dla oczka ma postać:
U1 + U2 + U3 + U4  E = 0,
R1I + U2 + R3I + R4I - E = 0,
20I + 0,2E + 20I + 40I  E = 0,
80I = 0,8E,
0,8E
,
I = = 0,01E
80
P2 = U2I = 0,2E·0,01E = 0,002E2,
U 0,2E
2
.
R2 = = = 20&!
I 0,01E
Przy zamkniętym wyłączniku K przez rezystancję R3 nie będzie płynął prąd.
Zatem równanie dla oczka ma postać:
' ' '
U1 +U2 + U4 - E = 0 ,
R1I + R2I + R4I - E = 0,
20I + 20I + 40I  E = 0,
E
'
,
I = = 0,0125 E
80
' '
U2 = R2I = 20Å" 0,0125E = 0,25E ,
'
P2' = U2I = 0,25E Å" 0,0125E H" 0,003E2 .
Po zamknięciu wyłącznika K napięcie na rezystancji R2 wzrośnie 1,25 razy, zaś moc ok. 1,5 razy.
Zadanie 1.10
O ile procent wzrośnie wartość napięcia U po rozwarciu wyłącznika K w obwodzie przedstawionym
na rys. 1.10.
Dane: R1 = 10&!, R2 = 150&!,UAB = 0,8E.
K
R1
R2
E U R0 UAB
Rys. 1.10
Odp.: o 18,75 %.
10
2. Rozwiązywanie obwodów jednofazowych prądu sinusoidalnie zmiennego
Wprowadzenie
Analizę obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego mo\
na przeprowadzić posługując się od razu
wielkościami skutecznymi prądów i napięć. Ze względu na przesunięcia fazowe prądów i napięć
sinusoidalnie zmiennych prawa Kirchhoffa w odniesieniu do wartości skutecznych mają brzmienie:
I prawo Kirchhoffa - w ka\
dym węz
le geometryczna suma wektorów prądów jest równa zeru;
II prawo Kirchhoffa - w ka\
dym oczku geometryczna suma wektorów sił elektromotorycznych i
spadków napięć na elementach R, L, C oczka jest równa zeru.
W dodawaniu dwóch wektorów np. prądów I1 i I2 rozró\
nia się następujące przypadki:
- zgodność faz wektorów; wówczas moduł wektora wypadkowego jest równy sumie modułów
wektorów składowych: I = I1 + I2 (rys. 2a),
- opozycję faz wektorów, polegającą na przesunięciu faz o kąt  rad; wówczas moduł wektora
wypadkowego jest równy ró\
nicy arytmetycznej wektorów składowych: I = I1 - I2 (rys. 2b),
Ä„
- ortogonalność faz polegająca na przesunięciu faz o kąt rad; wtedy moduł wektora
Ä…
2
2 2
wypadkowego I = I1 + I2 (rys. 2c).
a)
c)
b)
I2
d)
I
I3
I2
I
I2
I
Ä… I2
I1
I1 I1
I1
Rys. 2. Przykłady dodawania wektorów prądów
Ä„
Je\
eli kąt przesunięcia między wektorami jest ró\
ny od 0, i , to przy dodawaniu wektorów
Ä…
2
mo\
emy skorzystać z twierdzenia cosinusów (rys. 2d):
2 2
I = I1 + I2 - 2I1I2 cosÄ…
Przy konstruowaniu wykresów wektorowych poło\
enie jednego z wektorów mo\
na wybrać dowolnie,
pozostałe zaś wektory kreśli się względem tego wektora pod kątami równymi odpowiednim
przesunięciom fazowym.
Moc czynna ma zawsze wartość dodatnią. Jest ona rozpraszana na rezystancji R obwodu. Moce bierne
pobierane przez cewki i kondensatory kompensujÄ… siÄ™ wzajemnie, przy czym zwykle moc biernÄ…
indukcyjną przyjmuje się za dodatnią, a pojemnościową za ujemną.
Zadania
Zadanie 2.1
Przebieg zmian napięcia zasilającego obwód przedstawiony na rys. 2.1a opisany jest zale\
nością u =
282,8 sin(314t) V, a parametry obwodu sÄ… nastÄ™pujÄ…ce: R = 100&!, C = 18,4µF.
Wyznaczyć: 1. wartość maksymalną napięcia Um; 2. wartość skuteczną napięcia U; 3. częstotliwość
napiÄ™cia f; 4. fazÄ™ poczÄ…tkowÄ… napiÄ™cia È; 5. impedancjÄ™ obwodu Z; 6. współczynnik mocy (cosĆ)
obwodu; 7. moc czynnÄ… P, moc biernÄ… Q i moc pozornÄ… S obwodu.
Narysować wykres wektorowy prądu i napięć.
11
a)
I
d)
b) c)
UR I
R P
R
UR
U
Ć
Ć Ć
XC QC U
UC C Z S
UC
Rys. 2.1
RozwiÄ…zanie
Wartość chwilowa napięcia sinusoidalnie zmiennego określona jest funkcją:
u = Um sin(Ét +È ) .
StÄ…d:
1. Um =282,8V;
Um 282,8
2. U = = = 200V ;
2 2
É 314
3. É = 314 rad/s; f = = = 50Hz ;
2  2 
4. È = 0 rad;
5. Elementy R i C są ze sobą połączone szeregowo, gdy\
płynie przez nie ten sam prąd I. Zatem
impedancja obwodu
1 1
2
;
Z = R2 + X = R2 + ( )2 = 1002 + ( )2 = 1002 + 1732 H" 200&!
C
2 fC 2  Å" 50 Å"18,4 Å"10-6
czego ilustracją jest trójkąt impedancji (rys. 2.1b).
6. Współczynnik mocy cosĆ mo\
na wyznaczyć z trójkąta impedancji (rys. 2.1b), trójkąta mocy (rys.
2.1c) lub z trójkąta napięć (rys. 2.1d)). Tu wyznaczymy z trójkąta impedancji:
R 100
cosĆ = = = 0,5 ;
Z 200
U 200
7. I = = = 1A;
Z 200
XC 173
P = UIcosĆ = 200·1·0,5 = 100W; Q = -UI sinĆ = -UI = -200 Å"1Å" = -173var ;
Z 200
S = UI = 200 Å"1 = 200VA
2
lub na podstawie trójkÄ…ta mocy (rys. 2.1c): S = P2 + Q2 = 100 + (-173)2 = 200V Å" A .
8. Wykres wektorowy prądu i napięć rysujemy w odpowiedniej skali (przyjmując 1A = a cm, 1V = b
cm), zaczynając od wektora prądu I, który jest wielkością elektryczną wspólną dla obwodu (rys.
2.1.d). W fazie z prądem rysujemy wektor napięcia UR (UR = RI), a wektor napięcia UC (UC = XCI)
Ä„
opóz
niony o kąt rad w stosunku do prądu. Następnie, aby otrzymać wektor napięcia U dodajemy
2
wektory UR i UC. Wynika to z II prawa Kirchhoffa, zgodnie z którym mo\
emy dla obwodu (rys. 2.1.a)
napisać równania:
r r r
U - U - UC = 0 ,
r rR r
U = U + UC .
R
12
Zadanie 2.2

Wartość skuteczna prądu sinusoidalnie zmiennego wynosi 5A, faza początkowa prądu rad, a
3
częstotliwość prądu 50Hz.
Wyznaczyć: 1. pulsację prądu, 2. wartość maksymalną prądu, 3. okres przebiegu, 4. zapisać przebieg
zmian prÄ…du w funkcji czasu.
Odp.: 1. 314 rad/s, 2. 7,07A, 3. 0,02s, 4. i = 7,07 sin( 314 +  ) .
3
Zadanie 2.3
Jaką indukcyjność lub pojemność nale\
y połączyć szeregowo z \
arówką o danych znamionowych:
Un=24V, Pn=15W, aby nie uległa ona uszkodzeniu po przyłączeniu do sieci o napięciu 230V?
RozwiÄ…zanie
śarówkę charakteryzuje rezystancja (indukcyjność i pojemność \
arówki są do pominięcia), którą
mo\
na wyznaczyć z zale\
ności:
2
U 242
n
.
R = = = 38,4&!
Pn 15
PrÄ…d znamionowy \
arówki wyliczamy ze wzoru:
Pn 15
.
In = = = 0,625 A
U cosĆ 24 Å"1
n
Aby \
arówka nie uległa przepaleniu prąd w obwodzie nie mo\
e przekraczać wartości znamionowej
\
arówki. Zatem przy wzroście napięcia do wartości 230V musimy zwiększyć impedancję obwodu do
wartości:
U 230
.
Z = = = 368&!
In 0,625
Je\
eli \
arówkę połączymy szeregowo z elementem indukcyjnym L, to impedancję Z określa
zale\
ność:
2
Z = R2 + X .
L
StÄ…d:
2
X = Z - R2 = 3682 - 38,42 = 366&! ;
L
X 366
L
.
L = = = 1,17H
2 f 2  Å" 50
Je\
eli \
arówkę połączymy szeregowo z elementem pojemnościowym C, to jego pojemność powinna
wynosić:
1 1
.
C = = = 8,7µF
2 fX 2  Å" 50 Å" 366
C
Zadanie 2.4
Wyznaczyć wskazania woltomierzy dołączonych do obwodu pokazanego na rys. 2.2a.
Dane: U = 230V, f = 50 Hz, R = 40&!, L = 127,3 mH, C = 318,3µF.
Jak zmienią się wskazania woltomierzy, gdy częstotliwość napięcia zasilającego zmniejszy się
dwukrotnie?
13
b) UV2
a)
V2
V2
UC
UR UL
I
XL XC
R
R XL Xc
X
V1
UV1
U
U
V1
c)
UL UC
d)
UL
UV1
UV2
I
UC UR
I
Rys. 2.2
RozwiÄ…zanie
Rozwiązywanie zadania zaczynamy od zastrzałkowania prądu i napięć (rys. 2.2b).
Poniewa\
elementy R, L, C są ze sobą połączone szeregowo impedancja obwodu wynosi:
1
Z = R2 + (X - XC )2 = R2 + (2 fL - )2 ;
L
2 fC
1
2 -3 -6 2
Z = 40 + (2  Å" 50 Å"127 ,3 Å"10 - Å" 318 ,3 Å"10 )2 = 40 + (40 - 10 )2 = 50 &!;
2  Å" 50
wartość skuteczna prądu
U 230
I = = H" 4,6 A.
Z 50
Woltomierz V1 wskazuje wartość skuteczną napięcia UV1, które jest sumą geometryczną napięć UL i
UC (rys. 2.2b):
r r r
UV 1 = U + UC .
L
Aby wyznaczyć wskazanie woltomierza V1 rysujemy odpowiedni wykres wektorowy, zaczynając od
wektora prÄ…du I. Poniewa\
nie jest podana faza poczÄ…tkowa prÄ…du przyjmujemy, \
e jest ona równa 0
Ä„
rad. Wektor napięcia UC (UC = XCI) rysujemy jako opóz
niony o kÄ…t rad w stosunku do wektora
2
Ä„
prądu, a wektor napięcia UL (UL = XLI) jako wyprzedzający wektor I o kąt rad (rys. 2.2c). Poniewa\

2
wektory UL i UC są przesunięte względem siebie o kąt , wartość skuteczna napięcia wskazywana
przez woltomierz V1 (rys. 2.2.c) wynosi:
UV1 = UL  UC = XLI  XCI = 40·4,6 - 10·4,6 = 138V.
Woltomierz V2 wskazuje wartość skuteczną napięcia UV2, które jest sumą geometryczną wektorów
napięć UR i UL (rys. 2.2b):
r r r
UV 2 = U + U .
R L
Stosowny wykres wektorowy przedstawia rys. 2.2d, na którym wektor napięcia UR (UR = RI) jest
Ä„
narysowany w fazie z prÄ…dem I, a wektor UL wyprzedza prÄ…d o kÄ…t rad. Poniewa\
wektory napięć
2
Ä„
UR i UL są przesunięte względem siebie o kąt wartość skuteczna napięcia wskazywana przez
2
woltomierz V2 (rys. 2.2d) wynosi:
14
2 2
.
UV 2 = U + U = (RI )2 + ( X I )2 = (40 Å" 4,6)2 + (40 Å" 4,6)2 H" 260V
R L L
Wartości reaktancji zale\
ą od wartości częstotliwości napięcia zasilającego. Je\
eli częstotliwość
napięcia zasilającego zmaleje dwukrotnie, to reaktancja indukcyjna te\
dwukrotnie zmaleje, natomiast
reaktancja pojemnościowa dwukrotnie wzrośnie.
Stąd impedancja obwodu przy częstotliwości napięcia zasilającego f = 25 Hz wyniesie:
Z = R2 + ( X - X )2 = 402 + (20 - 20)2 = 40&!.
L C
Z obliczeń wynika, \
e przy zadanych wartościach parametrów obwodu R, L, i C oraz przy
częstotliwości napięcia zasilającego równej 25Hz, reaktancja indukcyjna i pojemnościowa obwodu są
sobie równe. W obwodzie zachodzi zatem rezonans napięć.
Prąd płynący w obwodzie będzie miał natę\
enie:
230
I = = 5,75 A,
40
a wskazania woltomierzy, wyznaczone w analogiczny sposób jak powy\
ej, będą wynosiły:
UV1 = UL  UC = XLI  XCI = 20·5,75 - 20·5,75 = 0V,
2 2
.
UV 2 = U + U = (RI )2 + ( X I )2 = (40 Å" 5,75)2 + (20 Å" 5,75)2 H" 257 ,1V
R L L
Zadanie 2.5
Jak zmieni się moc czynna układu, którego schemat przedstawia rys. 2.3 gdy:
1. napięcie U wzrośnie dwukrotnie,
2. częstotliwość f wzrośnie dwukrotnie, przy U = 200V,
3. pojemność kondensatora C zmniejszy się dwukrotnie, przy U = 200V i f = 50Hz.
Dane: U = 200V, f = 50Hz, R = 8&!, XL = 12&!, XC = 6&!.
R XL XC
U
Rys. 2.3
Odp.: 1. moc czynna wzrośnie z 3200W do 12800W, 2. zmaleje do ok. 634W, 3. wzrośnie do 5000W.
Zadanie 2.6
W obwodzie z rys. 2.4 wyznaczyć wartość skuteczną napięcia zasilającego U i wskazanie woltomierza
V2 (UV2).
Dane: R = 8&!, XL = 12&!, XC = 18&!, wskazanie woltomierza V1 UV1 = 72V.
Ile wyniesie wskazanie woltomierza V1 (UV1), gdy częstotliwość napięcia zasilającego wzrośnie
dwukrotnie, przy nie zmienionej wartości skutecznej tego napięcia?
V1
XC XL
R
U
V2
Rys. 2.4
Odp.: U = 50V, UV2 = 50V, UV1 = 74,4V.
15
Zadanie 2.7
W obwodzie z rys. 2.5 wyznaczyć moc bierną układu i jej rodzaj (indukcyjna czy pojemnościowa)
oraz wskazania woltomierzy V1 (UV1) i V2 (UV2).
Dane: R = 24&!, XL1 = 15&!, XL2 = 3&!, XC = 8&!, U = 260V.
R
U XL2
V1
V2
XC
XL1
.
Rys. 2.5
Odp.: Q = 1000var, indukcyjna, UV1 = 250V, UV2 = 70V.
Zadanie 2.8
Dla obwodu z rys. 2.6 wyznaczyć wartości oporów R0 i X0.
Dane: U = 100V, R = 3&!, X = 4&!, I = 10A, współczynnik mocy obwodu cosÕ = 0,8.
I
X
R
RO
U
XO
Rys. 2.6
Odp.: R0 = 5&!, X0 = 2&!.
Zadanie 2.9
Wyznaczyć wskazanie woltomierza V2 (UV2) dołączonego do obwodu z rys. 2.7.
Dane: R1 = 10&!, R2 = 6&!, XC = 24&!, wskazanie woltomierza V1 UV1 = 200V, moc wydzielana na
rezystancji R2 PR2 = 0,6kW.
V1
XL
R1 R2
XC
U V2
Rys. 2.7
Odp.: UV2 =134,2V.
Zadanie 2.10
Obliczyć natę\
enia prÄ…dów, wartość admitancji Y oraz współczynnik mocy (cosÕ) ukÅ‚adu , którego
schemat przedstawia rys. 2.8a.
Dane: U = 120V, f = 50Hz, R = 40 &!, L = 95,6mH.
16
a)
c)
I IL b)
IR U
IR
G
Ć Ć
U L UL
R UR
BL
Y
I
IL
Rys. 2.8
Elementy R i L są ze sobą połączone równolegle, gdy\
spadki napięć na tych elementach są sobie
r r
równe (wynika to z II prawa Kirchhoffa: U - U = 0 , stąd UR = UL) i równe wartości skutecznej
R L
napięcia zasilającego U. Zatem korzystając z prawa Ohma mo\
na wyznaczyć natę\
enia prądów IR i IL:
U U 120
R
IR = = = = 3A ,
R R 40
U U 120 120
L
.
IL = = = = = 4A
X 2 fL 2  Å" 50 Å" 95,6 Å"10-3 30
L
W celu wyznaczenia prądu I piszemy dla węzła (rys. 2.8a) równanie zgodnie z I prawem Kirchhoffa:
r r r
I - IR - IL = 0 ,
r r r
I = IR + IL .
StÄ…d wynika, \
e wektor prądu I otrzymamy po dodaniu wektorów IR i IL:
Rysujemy wykres wektorowy napięcia i prądów (rys. 2.8c). Zaczynamy go od narysowania wektora
napięcia U, który jest wielkością elektryczną wspólną dla obwodu. Poniewa\
nie jest podana faza
początkowa napięcia przyjmujemy, \
e jest ona równa 0 rad. Następnie rysujemy w fazie z napięciem
Ä„
prąd IR oraz prąd IL opóz
niony w stosunku do napięcia o kąt rad. Zatem wartość skuteczna prądu
2
2 2
I = IR + IL = 32 + 42 = 5A.
Admitancję obwodu wyliczamy z prawa Ohma, po jego przekształceniu:
I 5
Y = = H" 0,042S .
U 120
AdmitancjÄ™ obwodu mo\
emy wyliczyć równie\
na podstawie trójkąta admitancji (rys. 2.8b):
1 1 1 1
2
Y = G2 + BL = ( )2 + ( )2 = ( )2 + ( )2 H" 0,042S .
R X 40 30
L
Współczynnik mocy cosĆ mo\
emy wyznaczyć na podstawie wykresu wektorowego z trójkąta prądów
(rys. 2.8 c) lub z trójkąta admitancji (rys. 2.8 b):
IR 3 G 0,025
cosĆ = = = 0,6 lub cosĆ = = = 0,6 .
I 5 Y 0,042
Zadanie 2.11
Wyznaczyć wskazania amperomierzy włączonych w obwód z rys. 2.9a. Jaki jest charakter obwodu
(indukcyjny czy pojemnościowy)?
Dane: U = 240V, IR = 3A, IL = 8A, IC = 4A.
Jak zmienią się wskazania amperomierzy i charakter obwodu, gdy częstotliwość napięcia zasilającego
wzrośnie dwukrotnie?
17
b)
a)
I1 w1 I2 w2
A1 A2
IL IR IC
XL
U XL R XC U UL R UR XC UC
d)
c)
IC
IC
IR U=UR=UC=UL
I2
Ć
U=UR=UC=UL
I1
IR
IL IC
Rys. 2.9
RozwiÄ…zanie
Rozwiązywanie zadania zaczynamy od zastrzałkowania prądów i napięć (rys. 2.9b). Amperomierz A2
wskazuje natÄ™\
enie prądu I2. W celu wyznaczenia prądu I2 piszemy dla węzła w2 (rys. 2.9b) równania
zgodnie z I prawem Kirchhoffa:
r r r
I2 - IR - IC = 0 ,
r r r
I2 = IR + IC .
Aby obliczyć wartość skuteczną prądu I1 rysujemy odpowiedni wykres wektorowy (rys. 2.9c).
Poniewa\
elementy R, L, C są ze sobą połączone równolegle (UR = UL = UC.= U), rysowanie wykresu
zaczynamy od wektora napięcia U, przyjmując jego fazę początkową równą 0. Następnie w fazie z
Ä„
napięciem kreślimy wektor prądu IR i wektor prądu IC wyprzedzający wektor napięcia o kąt . Po
2
dodaniu tych wektorów otrzymujemy wektor prądu I2, którego wartość skuteczną wyznaczamy z
zale\
ności:
2 2
I2 = IR + IC = 32 + 42 = 5A .
Amperomierz A1 wskazuje natÄ™\
enie prądu I1. W celu wyznaczenia prądu I1 piszemy dla węzła w1
(rys. 2.9b) równania zgodnie z I prawem Kirchhoffa:
r r r
I1 - IL - I2 = 0 .
Po podstawieniu zale\
ności na prąd I2 otrzymamy:
r r r r
I1 - IL - IR - IC = 0 ,
r r r r
I1 = IL + IR + IC .
W celu wyznaczenia wartości skutecznej prądu I1 uzupełniamy wykres wektorowy, rysując wektor
Ä„
prądu IL opóz
niający się w stosunku do wektora napięcia U o kąt (rys. 2.9d). Następnie dodajemy
2
wektory, najlepiej w kolejności: IL do IC, następnie ich sumę geometryczną do wektora IR. Otrzymany
w ten sposób prąd I1 ma wartość skuteczną:
18
I1 = IR 2 + (IL - IC )2 = 32 + (8 - 4)2 = 5A .
Charakter obwodu jest indukcyjny, gdy\
napięcie zasilające U wyprzedza w fazie prąd pobierany
przez odbiornik (rys. 2.9d).
Je\
eli częstotliwość napięcia zasilającego zwiększymy dwukrotnie, to dwukrotnie wzrośnie wartość
reaktancji indukcyjnej XL i dwukrotnie zmniejszy się wartość reaktancji pojemnościowej XC. W
następstwie tego dwukrotnie zmniejszy się natę\
enie prądu IL, a dwukrotnie wzrośnie natę\
enie prÄ…du
IC. Zatem wartości skuteczne prądów płynących w obwodzie będą wynosiły:
IR = 3A, IL = 4A, IC = 8A,
2 2
I2 = IR + IC = 32 + 82 H" 8,5A , I1 = IR 2 + (IL - IC )2 = 32 + (4 - 8)2 = 5A .
Po dwukrotnym zwiększeniu częstotliwości napięcia zasilającego charakter obwodu zmieni się na
pojemnościowy.
Zadanie 2.12
Wyznaczyć wartości skuteczne prądów I, I1, I2, I3, moc czynną P i moc bierną układu z rys. 2.10.
Dane: IR1 = 1A, IL1 = 1A, IR2 = 3A, IL2 = 2A, IC = 6A, U = 200V.
I3
I I1 I2
IR1 IL1 IR2 IL2 IC
U
Rys. 2.10
Odp.: I = 5A, I1 = 4,24A, I2 = 5A, I3 = 4A, P = 800W, Q = 600var.
Zadanie 2.13
Wyznaczyć wartość rezystancji R w obwodzie z rys. 2.11.
Dane: R1 = 16&!, XL = 8&!, moc czynna układu P = 600W, moc pozorna S = 1000VA.
R
U
R1
XL
Rys. 2.11
Odp.: R = 1,6&!.
Zadanie 2.14
W obwodzie z rys. 2.12 obliczyć natę\
enia prądów I3, I4 oraz cosĆ obwodu.
Dane: I1 = 20A, I2 = 10A, I5 = 6A.
Jak zmieniÄ… siÄ™ natÄ™\
enia prądów w poszczególnych gałęziach oraz cosĆ obwodu, gdy częstotliwość
napięcia zasilającego wzrośnie dwukrotnie przy nie zmienionej wartości skutecznej napięcia
zasilajÄ…cego?
19
I1 I3
I5
I2
I4
U
R2
R1 L
Rys. 2.12
Odp.: I3 = 13,4A, I4 =12A, cosĆ = 0,8,
' ' ' ' '
I1 = 17,1A, I2 = 10 A, I3 = 8,5A, I4 = 6A, I5 = 6A , cosĆ = 0,94.
Zadanie 2.15
W obwodzie z rys. 2.13 dane: U = 200V, f = 50Hz, I1 = 5A, moc czynna układu P = 600W. Po
zamknięciu wyłącznika W przez kondensator płynie prąd I2 = 3A.
Wyznaczyć pojemność kondensatora C oraz prąd I po zamknięciu wyłącznika W.
W
I
I1
I2
R
U
C
L
Rys. 2.13
Odp : C = 47,8µF, I = 3,16A
Zadanie 2.17
Wyznaczyć wartość pojemności kondensatora, który nale\
y podłączyć równolegle do z
ródła (rys.
2.14), w celu kompensacji mocy biernej tj. poprawy współczynnika mocy do wartości cosĆopt = 0,96.
Dane: moc czynna obwodu P = 240W, L = 63,7 mH, wartość skuteczna prądu przed podłączeniem
kondensatora I = 4A (rys. 2.14a). Jak zmieni siÄ™ natÄ™\
enie tego prÄ…du po przeprowadzeniu
kompensacji mocy biernej (rys. 2.14b)?
I1 I
c)
I b)
a)
IC
IC
R UR
R U=URL=UC
U
UC
C
URL
U
Ć
I1
L
L
UL
IC
I Ä…
Rys. 2.14
RozwiÄ…zanie
Moc czynna pobierana ze z
ródła jest równa mocy wydzielanej na rezystancji R według zale\
ności:
P = RI2.
Mo\
emy wyznaczyć wartość rezystancji odbiornika:
P 240
R = = = 15&!
2
I 16
i kolejne parametry obwodu:
XL = 2?fL = 20&!,
2
Z = R2 + X = 25&! ,
L
20
R
cosÕ = = 0,6 ,
Z
U = ZI = 100V .
Pojemność kondensatora do kompensacji mocy biernej wyznaczamy z zale\
ności:
P(tgÕ - tgÕopt )
240(1,33 - 0,29)
,
C = = = 0,0000796 F
2
2 fU 2  Å" 50 Å"1002
C = 79,6µF.
W celu wyznaczenia natÄ™\
enia prÄ…du pobieranego ze z
ródła po kompensacji narysujmy wykres
wektorowy prądów i napięć (rys. 2.14c).
Rysowanie wykresu zaczynamy od wektora U, przyjmując jego fazę początkowa równą 0 rad.
Napięcie to jest równe napięciu na odbiorniku stanowiącym szeregowe połączenie R i L. Prąd I
płynący przez tę gałąz
opóz
nia się za napięciem o kąt Ć, wynikający z charakteru impedancji Z.
Napięciu U równy jest równie\
spadek napięcia na kondensatorze. Prąd płynący przez kondensator IC

wyprzedza napięcie o kąt rad. Zatem prąd I pobierany ze z
ródła po kompensacji jest sumą
2
geometryczna wektorów I i IC., którego natę\
enie mo\
emy wyznaczyć korzystając np. z twierdzenia
cosinusów:
' 2 2
I = I + IC - 2I Å" IC cosÄ… = 42 + 2,52 - 2 Å" 4 Å" 2,5 Å" cos 36,87o = 2,5A ,
gdzie:
UC U 100
.
IC = = = = 2,5A
X X 40
C C
Zadanie 2.18
W układzie jak na rys. 2.15 pracuje odbiornik o danych: R = 8&!, XL = 6&! zasilany ze z
ródła o
napięciu U = 240V.
Obliczyć: 1. moc czynną P i cosĆ odbiornika, 2. reaktancję XC kondensatora taką, aby po włączeniu
kondensatora równolegle do z
ródła współczynnik mocy całego układu cosĆopt =0,8, 3. moc bierną
pobieraną prze układ oraz prąd dopływający ze z
ródła przy otwartym i zamkniętym wyłączniku W.
I1 I
IC
XC
U
R XL
W
Rys. 2.15
Odp.: 1. P = 7,2kW, cosĆ = 0,6, 2. XC = 13,7&!, 3. W otwarty: Q = 9,6kvar, I1 = 50A, W zamknięty: Q
= 5,4kvar, I1 = 37,5A.
21
3. Rozwiązywanie obwodów trójfazowych prądu sinusoidalnie zmiennego
Zadania
Zadanie 3.1
W symetrycznym układzie trójfazowym, którego schemat przedstawia rys. 3.1a wyznaczyć wskazania
woltomierzy oraz moc czynną, bierną i pozorną układu.
Dane: napięcie międzyfazowe sieci wynosi 400V, R = 100&!, XL = 173&!.
b) Uf1
Ip1 UR UL If1
a)
L1
V2
R XL
UV2
L1
Up1
R XL
V2
Up3
Ip2 Uf2 If2
L2
L2
R XL
R XL
V1
Up2 V1 UV1
Uf3
L3
Ip3 If3
R XL
L3
R XL
Rys. 3.1
RozwiÄ…zanie
Rozwiązywanie zadania zaczynamy od zastrzałkowania wszystkich prądów i napięć (rys. 3.1b), przy
czym symbolem Up oznaczamy napięcia międzyfazowe (międzyprzewodowe), Uf - napięcia fazowe,
Ip  prÄ…dy przewodowe, If - prÄ…dy fazowe. W ka\
dym symetrycznym układzie trójfazowym wartości
skuteczne napięć i prądów są sobie równe (Up1 = Up2 = Up3, Uf1 = Uf2 = Uf3 , Ip1 = Ip2 = If3, Ip1 = If2 =
2
If3) i przesunięte względem siebie o rad.

3
Ze schematu (rys. 3.1b) wynika, \
e woltomierz V1 wskazuje wartość napięcia międzyfazowego sieci
Up2, zatem wskazanie woltomierza V1 UV1 = 400V. Natomiast woltomierz V2 wskazuje wartość
spadku napięcia na cewce indukcyjnej UL. Aby wyznaczyć tę wielkość musimy rozwiązać obwód.
W symetrycznym układzie trójfazowym połączonym w gwiazdę pomiędzy wartościami skutecznymi
napięć i prądów zachodzą związki:
U = 3U ,
p f
I = I .
p f
U
400
p
StÄ…d U = = = 231V .
f
3 3
Znając napięcie fazowe, po wyznaczeniu impedancji fazowej
2
Z = R2 + X = 1002 +1732 = 200&! ,
f L
liczymy prÄ…d fazowy korzystajÄ…c z prawa Ohma:
U
231
f
I = = = 1,15A .
f
Z 200
f
A zatem wskazanie woltomierza V2 UV2 = XLIf = 173·1,15 = 199V.
Wzór na moc czynną układu ma postać:
P = 3U I cosÕ = 3U I cosÕ .
f f p p
Współczynnik mocy cosĆ mo\
emy wyznaczyć z trójkąta impedancji fazowej odbiornika:
R 100
cosÕ = = = 0,5 .
Z 200
f
A zatem moc czynna układu
P = 3Å" 231Å"1,15Å" 0,5 H" 398W .
Moc bierna układu z kolei wynosi:
22
Q = 3U I sinÕ = 3U I sinÕ,
f f p p
X 173
L
Q = 3U I = 3 Å" 400 Å"1,15Å" H" 689 var.
p p
Z 200
Moc pozorną układu obliczymy z trójkąta mocy:
S = P2 + Q2 = 3982 + 6892 H" 796V Å" A.
Zadanie 3.2
W symetrycznym układzie trójfazowym, którego schemat przedstawia rys. 3.2a wyznaczyć wskazanie
amperomierza A2 oraz woltomierzy V1 i V2 oraz moc wydzielanÄ… na rezystancjach.
Dane: R=120&!, XL=160&!, wskazanie amperomierza A1 wynosi 3,5A.
b) Ip1
a)
L1
If1
L1
A2
Up1 V1 UV1
XL UV2
V1
Uf1 V2
Ip2
R R V2 L2 A1 Uf3 XL R
L2 A1
Up3
XL
R
Up2
XL
A2
Ip3 If3 XL R
L3 L3
R XL
Uf2 If2
Rys. 3.2
RozwiÄ…zanie
Zastrzałkujmy wszystkie napięcia i prądy (rys. 3.2b). Ze schematu wynika, \
e amperomierz A1
wskazuje prÄ…d przewodowy Ip2, a amperomierz A2 natÄ™\
enie prÄ…du fazowego If3.
W symetrycznym układzie trójfazowym połączonym w trójkąt pomiędzy wartościami skutecznymi
napięć i prądów zachodzą związki:
U = U ,
p f
I = 3I .
p f
Stąd wartość skuteczna prądu fazowego, a tym samym wskazanie amperomierza A2 wynosi:
I
3,5
p
I = = = 2A.
f
3 3
Woltomierz V1 pokazuje napięcie międzyfazowe Up1, zaś woltomierz V2 wartość napięcia fazowego
Uf1.
Napięcie fazowe mo\
emy wyznaczyć z zale\
ności:
U = Z I = R2 + X Å" I = 1202 +1602 Å" 2 = 400V .
f f f L f
Zatem amperomierz A2 wskazuje 2A, woltomierz V1 400V i woltomierz V2 400V.
Moc wydzielana na rezystancjach jest równa mocy czynnej układu:
2
P = 3U I cosÕ = 3U I cosÕ = 3RI ,
p p f f f
P = 3Å"120 Å" 22 = 1440W.
Zadanie 3.3
W symetrycznym układzie trójfazowym, którego schemat przedstawia rys. 3.3 wyznaczyć impedancję
odbiornika Z, wskazania woltomierzy V1 i V3 oraz moc gromadzonÄ… w cewkach.
Dane: współczynnik mocy układu cosĆ = 0,6, wskazanie amperomierza A wynosi 5,5 A, woltomierza
V2 380 V.
23
L1
A
L
R
V1
L2
L
R
V2
L3
L
R
V3
Rys. 3.3
Odp.: Z = 40&!, wskazanie woltomierza V1 wynosi 176V, V3 219V, moc gromadzona w cewkach
równa mocy biernej układu Q = 2,9kvar.
Zadanie 3.4
W układzie symetrycznym przedstawionym na rys. 3.4 wyznaczyć wskazania wszystkich przyrządów
oraz moc biernÄ… obwodu.
Dane: moc czynna obwodu P = 2880W, napięcie międzyfazowe wynosi 400V, prąd przewodowy 7A.
L1 A
R R
L2
XL XL
V1
V2
L3
R XL
Rys. 3.4
Odp. A = 7A, V1 = 400V, V2 = 320V, Q = 3880var.
Zadanie 3.5
W symetrycznym układzie trójfazowym przedstawionym na rys. 3.5 wyznaczyć wskazania wszystkich
przyrządów.
Dane: R = 240&!, XL = 180&!, napięcie międzyfazowe sieci wynosi 415V.
a)
Uf1 If1
Ip1 *
IAW
b)
* -Uf1 Uf3
L1 W
If3=Ip3 Up1
R L
Up1
Uf2 If2 Up3 Ą Ć
Uf1s Ip2 UVW -Uf2
6
Ä„
L2
6
L
Ć Uf1
Up2 Up3 Uf2s V1 UV1 R Uf3 If3
Ip3
If2=Ip2 Ć
L3 A Ä„ If1=Ip1
6
R L
UV3
If2
Uf3s V2 UV2
V3
Up2
-Uf3
N
Rys. 3.5
RozwiÄ…zanie
Zastrzałkujmy wszystkie prądy i napięcia (rys. 3.5a). Napięcia fazowe sieci, równe ró\
nicy
potencjałów pomiędzy poszczególnymi przewodami fazowymi a przewodem neutralnym, oznaczono
na schemacie symbolem Ufs i, zgodnie z II prawem Kirchhoffa, są one równe odpowiednim napięciom
fazowym odbiornika Uf. Znając parametry impedancji odbiornika oraz napięcie międzyfazowe Up
wyznaczmy napięcie fazowe Uf odbiornika oraz prądy przewodowe Ip i fazowe If.
24
U
415
p
U = = = 240V ,
f
3 3
U U
240
f f
I = = = = 0,8A = I .
f p
2
Z 300
R2 + X
L
Amperomierz A wskazuje natÄ™\
enie prądu Ip3 = If3 =0,8A, woltomierz V1 napięcie UV1 = Up2 = 415V,
woltomierz V2 napięcie UV2 = Uf3s = Uf3 = 240V, woltomierz V3 napięcie UV3 = Uf3 =240V.
Wskazanie watomierza jest proporcjonalne do napięcia UVW (napięcie na zaciskach cewki napięciowej
watomierza) prądu IAW (prąd płynący przez cewkę prądową watomierza) oraz cosinusa kąta między
napięciem UVW oraz prądem IAW.
UVW = Up1 = 415V, IAW = Ip1 = 0,8A.
W celu wyznaczenia kąta przesunięcia fazowego narysujmy wykres wektorowy napięć i prądów (rys.
3.5b). Najpierw rysujemy wykres wektorowy napięć fazowych, przy czym długości wektorów jako
2
proporcjonalne do wartości skutecznych i przesunięte względem siebie o kąt rad. W celu

3
wyznaczenia napięć międzyfazowych odejmujemy geometrycznie odpowiednie napięcia fazowe:
r r r r r r r r r
U = U - U ,U = U - U ,U = U - U .
p1 f 1 f 2 p 2 f 2 f 3 p3 f 3 f 1
Następnie rysujemy prądy fazowe opóz
nione w stosunku do napięć fazowych o kąt Ć (opóz
nione, bo
odbiornik o charakterze indukcyjnym), które są równocześnie prądami przewodowymi. Z wykresu
wynika, \
e kąt pomiędzy napięciem Up1 oraz prądem Ip1 równy jest sumie kąta Ć oraz 30o. Kąt Ć
mo\
emy wyznaczyć z trójkąta impedancji fazowej odbiornika:
R 240
Õ = arc = = 36,87o .
Z 300
Zatem wskazanie watomierza:
PW = 415·0,8·cos36,87o = 265,6W.
Zadanie 3.6
W symetrycznym układzie trójfazowym przedstawionym na rys. 3.6 wyznaczyć wskazanie
amperomierza A2, woltomierzy V1 i V2, współczynnik mocy cosÕ ukÅ‚adu; napiÄ™cie miÄ™dzyfazowe
sieci Up, prąd przewodowy Ip, napięcie fazowe Uf i prąd fazowy If odbiornika; narysować wykres
wektorowy wszystkich prądów i napięć oraz obliczyć wskazanie watomierza W.
Dane: wskazanie amperomierza A1 wynosi 3,5A, R = 120&!, XL = 160&!.
*
L1 * W
XL
V1
R R V2
L2 A1
XL
A2
L3 A1
R XL
Rys. 3.6
Odp.: wskazanie amperomierza A2 wynosi 2A, woltomierza V1 400V, woltomierza V2 400V, cosÕ =
0,6, Up = 400V, Ip = 3,5A, Uf = 400V, If = 2A, wskazanie watomierza W równe jest 1,1kW.
Zadanie 3.7
Dwa odbiorniki 3-fazowe o jednakowych impedancjach i jednakowych współczynnikach mocy
włączono do tej samej sieci o symetrycznych napięciach zasilających (rys.3.7). Amperomierz A1
wskazuje 1A. Ile wska\
Ä… amperomierze A2 i A3.
25
A1
A3
Z Z Z
A2
Rys. 3.7
Odp.: amperomierz A2 wskazuje 1,73A, amperomierz A3 3A.
Zadanie 3.8
Trzy oporniki o jednakowych rezystancjach R = 5&! połączono w gwiazdę i włączono do symetrycznej
sieci trójfazowej o napięciu międzyfazowym Up = 220V.
Wyznaczyć prądy fazowe odbiornika If i moc układu. Jak zmieni się moc układu je\
eli oporniki
zostaną połączone w trójkąt. Narysować wykres wektorowy prądów i napięć dla obu przypadków.
Odp.: If = 25,4A, odbiornik pobiera tylko moc czynną, która wzrośnie z 9680W do 29040W.
Zadanie 3.9
W elektrycznym trójfazowym piecu oporowym zasilanym z symetrycznej sieci o napięciu
międzyfazowym Up = 380V, rezystancja ka\
dej z faz wynosi Rf = 38&!, a fazy połączone są w trójkąt
(rys. 3.8a).
Wyznaczyć: prądy przewodowe Ip i fazowe If oraz moc pieca P. Jak zmienią się wartości tych
wielkości, gdy nastąpi przerwa w zasilaniu jednej z faz np. L2 (rys. 3.8b).
b)
a)
Ip1
Ip1
L1
L1
If 31 If 12 If 31 If 12
Ip2
Ip2
L2
Rf L2 Rf
Rf Rf
Rf
Ip3 Ip3
If 23 Rf
L3 L3
If 23
Rys. 3.8
Odp.: If = 10A, Ip = 17,3A, P = 11,4kW; po otwarciu wyłącznika If31 = 10A, If12 = If23 = 5A, Ip1 = Ip3 =
15A, Ip2 = 0A, P = 5,7kW.
Zadanie 3.10
W symetrycznym układzie trójfazowym przedstawionym na rys. 3.9 wyznaczyć pojemność ka\
dego z
kondensatorów do poprawy współczynnika mocy do wartości cosĆopt = 0,9, w przypadku połączenia
kondensatorów: 1) w gwiazdę, 2) w trójkąt.
Dane: napięcie międzyfazowe sieci wynosi 400V, R = 50&!, XL = 50&!.
26
Ip1
L 1
If1
U
p1
U
Ip2 U L f1
f3
R
L 2
U R
p3
U
p2
L
If3
L
Ip3 R
L 3
If2
U
f2
C
2 C
2
C C C
1 1 1
C
2
Rys. 3.9
RozwiÄ…zanie
Pojemność jednego kondensatora do poprawy współczynnika mocy (kompensacji mocy biernej
indukcyjnej) w układzie trójfazowym wyznaczamy z zale\
ności:
P
(tgÕ - tgÕopt )
3
C = .
2
2 fU
2
U U
R R
f f
P = 3U I cosÕ = 3U Å" Å" cosÕ = 3 Å" = 4800W ,
f f f
2 2
Z Z
R2 + X R2 + X
f f
L L
1. kondensatory połączone w gwiazdę:
1600 Å" 0,484
C1 = = 0,0000462F,
.
314 Å" 2312
C1 = 46,2µF.
2. kondensatory połączone w trójkąt:
1600 Å" 0,484
C2 = = 0,0000154F,
314 Å" 4002
C2 = 15,4µF.
Zadanie 3.11
W symetrycznym układzie trójfazowym przedstawionym na rys. 3.10 wyznaczyć wartość skuteczną
napięcia międzyfazowego sieci Up, prądu fazowego Ip, napięcia fazowego Uf i prądu fazowego If
odbiornika oraz pojemność C ka\
dego z kondensatorów, przy której współczynnik mocy układu
wzrósłby do 1.
Dane: Z = 86,5&!, cosÕ = 0,6, P = 0,623kW.
L1
Z
L2
Z
L3
Z
C C
C
Rys. 3.10
Odp.: Up = 300V, Ip = 2A, Uf = 173V, If = 2A, C = 9,8µF.
27