Zestaw pytań egzaminacyjnych z przedmiotu

Wstęp do Logiki i Teorii Mnogości

semestr zimowy, rok akad. 2013/2014

A. Podaj definicję i pokaż przykład:

(1) zdania logicznego.

(2) funkcji zdaniowej.

(3) funktora zdaniotwórczego.

(4) tautologii.

(5) prawa rachunku zdań.

(6) reguły wnioskowania.

(7) dowodu „a contrario”.

(8) kwadratu logicznego.

(9) kwantyfikatora ogólnego.

(10) kwantyfikatora szczegółowego.

(11) sumy zbiorów.

(12) przekroju zbiorów.

(13) różnicy zbiorów.

(14) różnicy symetrycznej zbiorów.

(15) produktu kartezjańskiego zbiorów.

(16) zbioru potęgowego.

(17) uniwersum.

(18) continuum.

(19) pary uporządkowanej.

(20) funkcji.

(21) injekcji.

(22) surjekcji.

(23) bijekcji.

(24) izomorfizmu.

(25) obrazu (przez funkcję).

(26) przeciwobrazu (przez funkcję).

(27) relacji zwrotnej.

(28) relacji przeciwzwrotnej.

(29) relacji symetrycznej.

(30) relacji przeciwsymetrycznej.

(31) relacji antysymetrycznej.

(32) relacji przechodniej.

(33) relacji spójnej.

(34) relacji równoważności.

(35) relacji porządkującej.

(36) elementu największego.

(37) elementu najmniejszego.

(38) elementu maksymalnego.

(39) elementu minimalnego.

(40) ograniczenia górnego.

(41) ograniczenia dolnego.

(42) kresu górnego.

(43) kresu dolnego.

(44) łańcucha.

(45) antyłańcucha.

(46) porządków izomorficznych.

(47) porządku liniowego.

(48) porządku gęstego.

(49) porządku ciągłego.

(50) dobrego porządku.

(51) selektora.

(52) podziału zbioru.

(53) partycji zbioru.

(54) klasy abstrakcji.

(55) zbioru ilorazowego.

B. Zapisz symbolicznie wyrażenie (wyrażenia przykładowe):

(1) Rodzina {A, B, C} jest rodziną rozłączną.

(2) Rodzina {A

τ

}

τ∈T

jest rodziną rozłączną.

(3) Rodzina A jest rodziną rozłączną.

(4) Każdy podzbiór zbioru A zawiera się w zbiorze B lub jest rozłączny ze zbiorem C.

(5) Każdy element rodziny A zawiera się w zbiorze B lub jest rozłączny ze zbiorem C.

(6) Każdy niepusty element rodziny A zawiera się w zbiorze B lub jest rozłączny ze zbiorem C.

(7) Każdy niepusty element rodziny A, który nie jest podzbiorem zbioru B, jest podzbiorem zbioru C.

(8) Każdy element zbioru A należy dokładnie do jednego ze zbiorów B i C.

(9) Zbiór A jest największym zbiorem, który zawiera się w każdym elemencie rodziny B.

(10) Zbiór A jest najmniejszym zbiorem, który zawiera każdy ze zbiorów B lub C.

(11) Warunkiem dostatecznym na to, by zbiór A był elementem rodziny B jest to, że A jest rozłączny

ze zbiorem C.

(12) Warunkiem koniecznym na to, by zbiór A był elementem rodziny B jest to, że A jest elementem

rodziny C.

(13) Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by zbiór A był rozłączny ze zbiorem B jest to, że

A jest podzbiorem zbioru C.

C. Określ moc zbioru:

(1) N×N× · · · ×N

(2) N×N×N× · · ·

(3) R×R× · · · ×R

(4) R×R×R× · · ·

(5) wszystkich ciągów zerojedynkowych.

(6) wszystkich nierosnących ciągów o wyrazach naturalnych.

(7) wszystkich malejących ciągów o wyrazach naturalnych.

(8) wszystkich ograniczonych ciągów o wyrazach naturalnych.

(9) wszystkich rosnących ciągów o wyrazach całkowitych.

(10) wszystkich malejących ciągów o wyrazach całkowitych.

(11) wszystkich ograniczonych ciągów o wyrazach całkowitych.

(12) wszystkich malejących ciągów o nieujemnych wyrazach rzeczywistych.

(13) wszystkich ograniczonych ciągów o nieujemnych wyrazach rzeczywistych.

D. (1) Czy relacja inkluzji jest relacją porządkującą w zbiorze potęgowym?

(2) Czy relacja porządku gęstego może być relacją dobrego porządku?

(3) Czy relacja inkluzji jest relacją porządku liniowego w zbiorze potęgowym?

(4) Czy relacja porządku ciągłego może być relacją dobrego porządku?

(5) Czy relacja inkluzji jest relacją dobrego porządku w zbiorze potęgowym?

E. Narysuj czytelny diagram Hassego zbioru (A, ≺) i wskaż elementy minimalne (maksymalne, najmniejsze,

największe), gdzie

(1) A = {2, 4, 6}

2

oraz (x, y) ≺ (a, b) ⇔ x|a ∧ b ¬ y.

F. Podaj treść i przykład zastosowania:

(1) Hipotezy Continuum.

(2) reguły symplifikacji.

(3) reguły tożsamości.

(4) reguły symplifikacji.

(5) reguły Dunsa Scotusa.

(6) reguły Claviusa.

(7) reguły odrywania.

(8) sylogizmu warunkowego.

(9) Lematu Kuratowskiego–Zorna.

(10) Twierdzenia Zermelo.

(11) aksjomatu wyboru.

G. Przedstaw konstrukcję zbioru Cantora. Jaka jest jego moc?

H. Podaj treść, przykład zastosowania i schemat dowodu:

(1) zasady abstrakcji.

(2) twierdzenia o rozszerzaniu funkcji.

(3) twierdzenia o izomorfizmie kanonicznym.

(4) lematu Banacha.

(5) twierdzenia Cantora.

(6) twierdzenia Cantora–Bersteina.

I. Przedstaw schemat dowodu tego, że:

(1) z lematu Kuratowskiego–Zorna wynika aksjomat wyboru.

(2) z lematu Kuratowskiego–Zorna wynika twierdzenie Zermelo.

(3) z aksjomatu wyboru wynika lemat Kuratowskiego–Zorna.

(4) z aksjomatu wyboru wynika twierdzenie Zermelo.

(5) z twierdzenia Zermelo wynika lemat Kuratowskiego–Zorna.

(6) z twierdzenia Zermelo wynika aksjomat wyboru.