Teoria Ergodyczna 2013 Baranski p13 slides

background image

Teoria ergodyczna

seminarium monograficzne
dla studentów matematyki

dr hab. Krzysztof Barański i prof. dr hab. Anna Zdunik

rok akad. 2013/14

background image

Teoria ergodyczna

Teoria ergodyczna

zajmuje się badaniem własności

układów

dynamicznych

z

miarą niezmienniczą

, np. przekształcenia

mierzalnego

f : X → X ,

gdzie (X , M, µ) jest przestrzenią ze skończoną miarą µ taką, że

µ(f

1

(A)) = µ(A)

dla A ∈ M.

Interesują nas stochastyczne własności

iteracji

f

n

(x ) = f ◦ · · · ◦ f (x )

punktów x ∈ X .

background image

Historia

L. Boltzmann (1844–1906): fizyka statystyczna

G. Birkhoff (1884–1944): twierdzenia ergodyczne

J. von Neumann (1903–1957): twierdzenia ergodyczne

A. Kołmogorow (1903–1987): entropia

background image

Teoria ergodyczna dzisiaj

Na szczytach...

H. Furstenberg (nagroda Wolffa 2006)
E. Lindenstrauss (medal Fieldsa 2010)
T. Tao (medal Fieldsa 2006)

W Polsce:

T. Downarowicz (PWr), K. Frączek (UMK),
E. Gutkin (UMK), M. Lemańczyk (UMK),
F. Przytycki (IMPAN),...

Zagadnienia teorii ergodycznej:

Teoria entropii, teoria spektralna,

ergodyczna analiza układów dynamicznych (wykładniki Lapunowa,
hiperboliczność, wymiar,...).

Zastosowania:

układy dynamiczne, teoria informacji, teoria liczb,

rachunek prawdopodobieństwa, analiza harmoniczna...

background image

Przykłady

Twierdzenie Poincarego o powracaniu

W układzie zachowującym miarę typowe punkty wracają
nieskończenie wiele razy do danego zbioru.

background image

Bywają też układy zupełnie chaotyczne...

background image

...gdzie występują dziwne atraktory...

background image

...gdzie występują dziwne atraktory...

background image

...gdzie występują dziwne atraktory...

background image

A może zająć się bilardem?

background image

Matematycznie, bilard to układ zachowujący miarę na przestrzeni
fazowej położenia × kąty.

Otwarty problem

Czy każdy bilard w wielokącie ma orbitę zamkniętą (okresową)?

Nieznane nawet dla trójkątów!!!

background image

Matematycznie, bilard to układ zachowujący miarę na przestrzeni
fazowej położenia × kąty.

Otwarty problem

Czy każdy bilard w wielokącie ma orbitę zamkniętą (okresową)?

Nieznane nawet dla trójkątów!!!

background image

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
KLUCZE TEORIA STYCZEN 2013
Baza pytań egzaminacyjnych z odpowiedziami teoria 1 05 2013
ćwiczenia1 teoria, 10 2013
KLUCZE TEORIA STYCZEN 2013
Teoria Ergodyczna WPPT IIIr kolokwium2 p2
Teoria Ergodyczna Frej
Prpgram Razem bezpieczniej, Bezpieczeństwo narodowe - UAM Poznań, I rok (2012-2013), Teoria Bezpiecz
instrukcja - stany nieustalone, Elektrotechnika AGH, Semestr III zimowy 2013-2014, semestr III, seme
klucz czerwiec 2013 teoria
Teoria podatku TEORIA PODATKU, WYKŁAD 4 (02.06.2013)
sprzężenia - sprawko, Elektrotechnika AGH, Semestr III zimowy 2013-2014, semestr III, semestr III, T
PiD spoko, Elektrotechnika AGH, Semestr IV letni 2013-2014, Teoria Sterowania i Technika Regulacji,
prąd stały - sprawozdanie, Elektrotechnika AGH, Semestr III zimowy 2013-2014, semestr III, semestr I

więcej podobnych podstron