IdĨ do

• Spis treĞci
• Przykáadowy rozdziaá
• Skorowidz

• Katalog online

• Dodaj do koszyka

• Zamów cennik

• Zamów informacje

o nowoĞciach

• Fragmenty ksiąĪek

online

Helion SA
ul. KoĞciuszki 1c
44-100 Gliwice
tel. [phone]
e-mail: [e-mail]

© Helion 1991–2011

Katalog ksiąĪek

Twój koszyk

Cennik i informacje

Czytelnia

Kontakt

• Zamów drukowany

katalog

Excel w obliczeniach
naukowych i inżynierskich.
Wydanie II

Autor: Maciej Gonet
ISBN: 978-83-246-3066-0
Format: 158×235, stron: 392

Sprawdź, jak Excel może pomóc Ci w skomplikowanych obliczeniach!

• Jak za pomocą arkusza rozwiązywać zaawansowane zadania matematyczne?
• Jak opisać równaniem wynik doświadczenia?
• Jak stworzyć prostą bazę danych w Excelu?
• Jak zaprojektować wykres animowany?
• Jak skorzystać z możliwości języka VBA?

Arkusz kalkulacyjny Excel to jedno z najbardziej cenionych narzędzi pakietu Microsoft Office.
Liczba jego zastosowań jest wprost proporcjonalna do pomysłowości użytkowników. Jednak
jego prawdziwą siłę można poznać wszędzie tam, gdzie konieczne jest żmudne przeliczanie
wielu kolumn liczb lub wykonywanie skomplikowanych obliczeń matematycznych. Excel nigdy
się nie nudzi, a do tego jest prawie nieomylny. Czas okiełznać te ogromne możliwości!

Właśnie dzięki tej książce szybko zapoznasz się z możliwościami narzędzia Microsoft Excel
w zakresie wykonywania obliczeń naukowych i technicznych. Sprawdzisz, jak wydajnie
rozwiązywać problemy o dowolnym stopniu złożoności. Nauczysz się obliczać całki oznaczone,
rozwiązywać równania nieliniowe i różniczkowe oraz układy równań. Brzmi groźnie? Ale nie
w Excelu! Przejrzyste przykłady oraz opisy "krok po kroku" sprawią, że rozwiązywanie tych
i wielu innych problemów nie będzie dla Ciebie najmniejszym kłopotem. Książka ta świetnie
sprawdzi się w rękach studentów, uczniów oraz pracowników naukowych.

• Podstawy pracy z arkuszem kalkulacyjnym Microsoft Excel
• Operowanie na tablicach
• Prezentacja danych w formie graficznej
• Różniczkowanie numeryczne
• Obliczanie całek oznaczonych
• Rozwiązywanie równań nieliniowych
• Rozwiązywanie układów równań
• Interpolacja danych
• Opis matematyczny danych pomiarowych
• Rozwiązywanie równań różniczkowych
• Działania na liczbach zespolonych
• Przygotowanie prostej bazy danych w arkuszu kalkulacyjnym
• Możliwości języka VBA

Wykorzystaj możliwości arkusza Excel

w skomplikowanych działaniach matematycznych!

Spis tre"ci

Rozdzia 1. Wst#p ............................................................................................. 7

Do kogo adresowana jest ta ksi+,ka? .............................................................................. 7
Co jest, a czego nie ma w tej ksi+,ce? ............................................................................. 9
Konwencje przyj7te w tek8cie ....................................................................................... 10
Rozwój arkusza kalkulacyjnego .................................................................................... 11

Rozdzia 2. Podstawowe operacje w arkuszu ................................................... 13

Typy danych wyst7puj+cych w arkuszu i ich identyfikacja ........................................... 13
Konstrukcja formu@ (wyra,eB) w Excelu ....................................................................... 16
Edycja, kopiowanie i przesuwanie zawarto8ci komórek ............................................... 26
Zasady interpretacji nazw i adresów w wyra,eniach w arkuszu i w formu@ach nazwanych ..... 29
Funkcje u@atwiaj+ce odczytywanie i wyliczanie adresów .............................................. 33

Rozdzia 3. Operacje i funkcje tablicowe .......................................................... 37

Podstawowe poj7cia dotycz+ce tablic i macierzy .......................................................... 37
Operacje tablicowe zaimplementowane w Excelu ........................................................ 38
Wprowadzanie i edycja formu@ tablicowych ................................................................. 41
Kopiowanie formu@ tablicowych ................................................................................... 43
Odwo@ania do elementów lub fragmentów tablic .......................................................... 44

U,ycie funkcji INDEKS ......................................................................................... 44
U,ycie funkcji PRZESUNIVCIE ............................................................................ 47
Bez u,ycia funkcji ................................................................................................... 48

Y+czenie tablic i tworzenie tablic mieszanych .............................................................. 48
Dynamiczne generowanie tablic o zadanym rozmiarze ................................................. 50
U,ywanie tablic generowanych dynamicznie ................................................................ 54
Zasady interpretacji nazw i adresów w wyra,eniach tablicowych

w arkuszu i w formu@ach nazwanych .......................................................................... 55

Odwo@ania strukturalne w tabelach ............................................................................... 57

Regu@y sk@adni odwo@aB strukturalnych .................................................................. 58
Elementy sk@adowe tabeli ....................................................................................... 58
Predefiniowane specyfikatory wierszy .................................................................... 59
Operatory odwo@ania ............................................................................................... 59
Odwo@ania strukturalne kwalifikowane i niekwalifikowane ................................... 59
Przyk@ady u,ycia odwo@aB strukturalnych ............................................................... 60
Praca z odwo@aniami strukturalnymi ....................................................................... 61

Rozdzia 4. Tablicowanie funkcji jednej i dwu zmiennych .................................. 65

Funkcje jednej zmiennej ................................................................................................ 65
Funkcja jednej zmiennej okre8lona w sposób niejawny (uwik@any) .............................. 68
Funkcje dwu zmiennych ................................................................................................ 69

4

Excel w obliczeniach naukowych i in$ynierskich

Rozdzia 5. Graficzna prezentacja danych ........................................................ 75

Rodzaje wykresów dost7pnych w Excelu ...................................................................... 75
Przygotowanie danych do wykresu punktowego ........................................................... 76
Wykonanie wykresu punktowego ................................................................................. 77
Dodawanie linii trendu (regresji) do wykresu ............................................................... 78
Wykresy radarowe ......................................................................................................... 80
Wykresy powierzchniowe ............................................................................................. 83
Wykresy dynamiczne .................................................................................................... 85
Ma@e wykresy dost7pne w Excelu 2010 ........................................................................ 86

Rozdzia 6. Ró$niczkowanie numeryczne .......................................................... 89

Poj7cie pochodnej ......................................................................................................... 89
Numeryczne obliczanie pochodnej funkcji danej wzorem ............................................ 91
Numeryczne ró,niczkowanie danych pomiarowych ..................................................... 92

Bezpo8rednie oszacowanie warto8ci pochodnych na podstawie danych pomiarowych .... 92
Obliczenie pochodnej za po8rednictwem funkcji aproksymuj+cej .......................... 93

Rozdzia 7. Obliczanie ca ek oznaczonych

z wykorzystaniem ich interpretacji geometrycznej .......................... 97

Poj7cie ca@ki oznaczonej ............................................................................................... 97
Sposoby obliczania ca@ek metod+ kwadratur ................................................................. 97
Obliczenia ca@ek w Excelu ............................................................................................ 99
Wykorzystanie operacji tablicowych do skrócenia zapisu obliczeB ............................ 102
Wykorzystanie iteracji i odwo@aB cyklicznych do obliczania ca@ek ............................ 108

Rozdzia 8. Obliczanie ca ek niew a%ciwych ................................................... 111

Poj7cie ca@ki niew@a8ciwej ........................................................................................... 111
Przyk@ad obliczenia ca@ki metod+ ekstrapolacji ........................................................... 112

Rozdzia 9. Obliczanie górnej granicy ca kowania ........................................... 115

Funkcja podca@kowa opisana wzorem ......................................................................... 116
Funkcja podca@kowa w postaci zbioru punktów pomiarowych ................................... 117

Rozdzia 10. Obliczanie ca ek oznaczonych

z wykorzystaniem szeregów pot#gowych ...................................... 121

Podstawowe poj7cia dotycz+ce ci+gów i szeregów ..................................................... 121
Obliczenia sum szeregów w Excelu ............................................................................ 123

Rozdzia 11. Uk ady równa& liniowych ............................................................. 131

Zapis uk@adu równaB i jego rozwi+zania w formie macierzowej ................................. 131
Przebieg rozwi+zania w Excelu ................................................................................... 132
Wykorzystanie Solvera do rozwi+zywania uk@adu równaB liniowych ........................ 133

Rozdzia 12. Rozwi'zywanie równa& nieliniowych ............................................. 135

Równanie kwadratowe ................................................................................................ 135
Graficzne oszacowanie pierwiastków ......................................................................... 139
Metoda iteracji prostej ................................................................................................. 140
Metoda siecznych („regula falsi”) ............................................................................... 143
Przyspieszenie zbie,no8ci metody siecznych .............................................................. 144
Metoda stycznych (Newtona) ...................................................................................... 145
Zmodyfikowana metoda stycznych ............................................................................. 146
Inny wariant metody siecznych ................................................................................... 147
Zamierzone u,ycie odwo@aB cyklicznych przy rozwi+zywaniu równaB ...................... 148
Wykorzystanie narz7dzi Szukaj wyniku i Solver ........................................................ 149

Rozdzia 13. Uk ady równa& nieliniowych ......................................................... 153

Uk@ady z@o,one z dwóch równaB ................................................................................ 153
Uk@ady z@o,one z trzech i wi7cej równaB .................................................................... 159

Spis tre%ci

5

Rozdzia 14. Wyszukiwanie danych w tablicach i interpolacja ........................... 163

Przeszukiwanie tablic funkcji jednej zmiennej ............................................................ 163
Interpolacja liniowa ..................................................................................................... 166
Trend liniowy .............................................................................................................. 169
Interpolacja kubiczna (wielomianem 3. stopnia) ......................................................... 170
Interpolacja liniowa w przypadku funkcji dwu zmiennych ......................................... 171
Interpolacja kubiczna w przypadku funkcji dwu zmiennych ....................................... 174

Rozdzia 15. Regresja liniowa .......................................................................... 177

Zakres zastosowania regresji liniowej ......................................................................... 177
Ocena statystyczna jako8ci dopasowania równania regresji ........................................ 179
Regresja liniowa w Excelu .......................................................................................... 181
Regresja liniowa w przypadku funkcji dwu zmiennych .............................................. 188

Rozdzia 16. Regresja nieliniowa ..................................................................... 193

Zakres zastosowania regresji nieliniowej .................................................................... 193
Ocena statystyczna jako8ci dopasowania równania regresji ........................................ 195
Regresja nieliniowa w Excelu z wykorzystaniem Solvera .......................................... 196
Korelacja liniowa i nieliniowa w Excelu ..................................................................... 200

Korelacja liniowa .................................................................................................. 201
Korelacja nieliniowa w Excelu z wykorzystaniem Solvera ................................... 203

Rozdzia 17. Równania ró$niczkowe zwyczajne ................................................. 207

Poj7cie równania ró,niczkowego ................................................................................ 207
Rozwi+zywanie zagadnienia pocz+tkowego metod+ Eulera ........................................ 208
Modyfikacje metody Eulera ........................................................................................ 213
Metoda Rungego-Kutty ............................................................................................... 217
Porównanie dok@adno8ci metod ca@kowania równaB ró,niczkowych .......................... 219
Zagadnienie brzegowe równania ró,niczkowego zwyczajnego .................................. 220
Metoda strza@ów .......................................................................................................... 221
Metoda ró,nic skoBczonych ........................................................................................ 224

Rozdzia 18. Równania ró$niczkowe cz'stkowe ................................................ 227

Przyk@ady równaB ró,niczkowych cz+stkowych ......................................................... 227
Równania eliptyczne ................................................................................................... 228
Równania paraboliczne ............................................................................................... 234

Rozdzia 19. Konwersja liczb i jednostek ......................................................... 243

Konwersja liczb w ró,nych systemach pozycyjnych ................................................... 243
Konwersja jednostek miar ........................................................................................... 245

Konwersja jednostek z@o,onych ............................................................................ 247

Rozdzia 20. Liczby i funkcje zespolone ........................................................... 249

Podstawowe wzory i definicje ..................................................................................... 250
Interpretacja geometryczna liczby zespolonej i jej postaa trygonometryczna ............. 251
Wzór Eulera i wyk@adnicza postaa liczby zespolonej .................................................. 252
Równo8a liczb zespolonych ........................................................................................ 252
Dzia@ania arytmetyczne na liczbach zespolonych ........................................................ 252
Pot7gowanie i pierwiastkowanie ................................................................................. 253
Funkcje elementarne z argumentem zespolonym ........................................................ 255
Format wy8wietlania liczb zespolonych ...................................................................... 256
Zastosowanie liczb zespolonych w elektrotechnice .................................................... 257

Rozdzia 21. Proste bazy danych ..................................................................... 261

Sortowanie i filtrowanie .............................................................................................. 262
Zakres kryteriów ......................................................................................................... 266
U,ycie filtra zaawansowanego .................................................................................... 269

6

Excel w obliczeniach naukowych i in$ynierskich

U,ycie funkcji do odzyskiwania danych z tabeli lub listy ........................................... 270
Funkcje podsumowaB .................................................................................................. 274
U,ycie funkcji z grupy bazy danych ........................................................................... 278

Rozdzia 22. Elementy j#zyka VBA (Visual Basic for Applications) .................... 281

Podstawowe informacje o j7zyku programowania VBA ............................................. 281
Struktura podprogramów w VBA ................................................................................ 284
Makropolecenie utworzone w wyniku rejestracji ........................................................ 284
Skoroszyt makr osobistych i folder AddIns ................................................................. 286
Uruchamianie makropoleceB ....................................................................................... 286
Wprowadzanie kodu VBA w edytorze ........................................................................ 287
Prosta funkcja w VBA ................................................................................................. 288
Zmienne — typy i deklaracje ...................................................................................... 289
Wyra,enia ................................................................................................................... 291
Obiekty, w@a8ciwo8ci i metody .................................................................................... 295
Wymiana informacji mi7dzy arkuszem a kodem VBA ............................................... 298
U,ycie tablic w Visual Basicu ..................................................................................... 300
Wi7cej o funkcjach definiowanych przez u,ytkownika .............................................. 302
Sterowanie wykonaniem kodu .................................................................................... 305

Instrukcje warunkowe i instrukcja wyboru ........................................................... 305
Instrukcje p7tli ...................................................................................................... 308

Stosowanie komentarzy ............................................................................................... 310
Uruchamianie i testowanie makroinstrukcji i funkcji .................................................. 310
Przyk@ady funkcji i makroinstrukcji w VBA ............................................................... 312

Obliczanie warto8ci wielomianu ........................................................................... 312
Obliczanie pierwiastków równania kwadratowego ............................................... 313
Wykorzystanie funkcji VBA w Excelu ................................................................. 314
Ca@kowanie numeryczne ....................................................................................... 316
Rozwi+zywanie równaB nieliniowych z wykorzystaniem metody GoalSeek ........ 318
Przekszta@cenie tablicy dwuwymiarowej w jednowymiarow+ .............................. 320
Rozwi+zanie równania ró,niczkowego metod+ Rungego-Kutty ........................... 322
Funkcje u,ytkownika podobne do funkcji standardowych .................................... 323
Operacje na komórkach sformatowanych w okre8lony sposób ............................. 326
Wy8wietlanie tekstów formu@ w arkuszu .............................................................. 327

Rozdzia 23. Graficzne elementy steruj'ce (kontrolki ekranowe, formanty) ....... 329

Rodzaje graficznych elementów steruj+cych i ich przeznaczenie ............................... 329
Dodawanie kontrolek (formantów) do arkusza ........................................................... 330

Formanty formularza ............................................................................................. 333
Formanty ActiveX ................................................................................................. 336
Nieudokumentowane formanty pola tekstowego .................................................. 341

Makroinstrukcje przypisywane do formantów w arkuszu ........................................... 343
Przyk@ad wykorzystania formantów w arkuszu ........................................................... 344

Rozdzia 24. Wybrane funkcje wbudowane w Excelu ......................................... 347

Dodatek A Literatura cytowana i uzupe niaj'ca ............................................. 375

Skorowidz ................................................................................... 377

Rozdzia 6.

Ró%niczkowanie
numeryczne

Poj1cie pochodnej

Pochodna jest miar+ szybko8ci zmian wielko8ci funkcji w stosunku do zmian jej argu-
mentu. Formalnie definiuje si7 j+ jako granic7 ilorazu ró,nicowego, gdy przyrost argu-
mentu maleje do zera. Operacj7 obliczania pochodnej nazywa si7 ró'niczkowaniem.

Je,eli y = f(x), to pochodna oznaczana symbolem y' = f'(x) w punkcie x = x

0

jest równa

(alternatywnym symbolem pochodnej jest stosunek dy/dx):

0

0

0

0

lim

lim

x

x

y

y

x

y

dx

dy

y

x

x

x

"

#

#

"

"

$

%

%

#

W przypadku funkcji ci+g@ych nie ma znaczenia, czy x > x

0

, czy odwrotnie, granica ma

tak+ sam+ warto8a. Gdy dysponujemy tylko warto8ciami funkcji w wybranych punktach,
mo,emy wyznaczya przybli,enie pochodnej, obliczaj+c iloraz ró,nicowy, czyli stosunek
zmiany warto8ci funkcji #y do odpowiadaj+cej jej zmiany warto8ci argumentu #x. Im
mniejsza warto8a #x, tym lepsze przybli,enie pochodnej mo,na wyznaczya (przy za@o-
,eniu, ,e obliczenia odbywaj+ si7 na podstawie dok@adnych wzorów, a nie obarczonych
b@7dami wyników pomiarów).

Je8li funkcja jest opisana wzorem, to jej pochodn+ tak,e mo,na opisaa pewnym wzorem.
Czasem jednak wzór ten mo,e bya bardzo z@o,ony i niedogodny do obliczeB. Wtedy wy-
godniej jest zastosowaa ró,niczkowanie numeryczne. Drugi przypadek, kiedy stosuje si7
ró,niczkowanie numeryczne, zachodzi wtedy, gdy funkcja dana jest jako zbiór punktów,
na przyk@ad wyników pomiarów.

Przy ró,niczkowaniu numerycznym b7dzie mia@o znaczenie, czy obliczaj+c warto8a po-
chodnej w punkcie x = x

0

, korzystamy z punktów o warto8ci argumentu mniejszej, czy

wi7kszej od x

0

. W zwi+zku z tym stosuje si7 trzy rodzaje ilorazów ró,nicowych: oparte

90

Excel w obliczeniach naukowych i in$ynierskich

na ró,nicach

wstecznych

,

przednich

i

centralnych

. Je8li zastosujemy indeksy –1 i 1

odpowiednio do punktu poprzedzaj+cego x

0

i nast7puj+cego po x

0

, otrzymamy aproksy-

macje pochodnej w punkcie x

0

wyra,one trzema sposobami:

za pomoc+ ró,nic wstecznych

1

0

1

0

"

#

#

x

x

y

y

x

y

za pomoc+ ró,nic przednich

0

1

0

1

x

x

y

y

x

y

"

#

#

za pomoc+ ró,nic centralnych

1

1

1

1

"

#

#

x

x

y

y

x

y

Teoretycznie w przypadku funkcji ci+g@ej, gdy #x o 0, te trzy oszacowania powinny
dawaa taki sam wynik. W rzeczywisto8ci #x ma zawsze warto8a skoBczon+, wi7c warto-
8ci ilorazów ró,nicowych mog+ si7 ró,nia. Które oszacowanie nale,y zatem wybraa? Je8li
dysponujemy punktami po@o,onymi symetrycznie wokó@ x

0

, najdok@adniejszym oszaco-

waniem pochodnej w punkcie x

0

jest zwykle to oparte na ró,nicach centralnych. Cz7sto

jednak w trakcie obliczeB warto8ci x i f(x) s+ wyliczane sukcesywnie i znane s+ tylko
warto8ci wcze8niejsze. Wtedy z konieczno8ci stosujemy ró,nice wsteczne.

Analogicznie do pochodnych pierwszego rz7du mo,na aproksymowaa pochodne drugiego
i wy,szych rz7dów. Oszacowanie drugiej pochodnej anga,uje wspó@rz7dne trzech punk-
tów. Stosuj+c oznaczenia takie jak poprzednio, mo,na zapisaa oszacowania drugiej po-
chodnej wzorami:

za pomoc+ ró,nic wstecznych

2

1

0

2

1

0

2

2

)

(

2

&

"

#

#

x

x

y

y

y

x

y

za pomoc+ ró,nic przednich

2

0

1

0

1

2

2

2

)

(

2

x

x

y

y

y

x

y

&

"

#

#

za pomoc+ ró,nic centralnych

2

1

1

1

0

1

2

2

)

(

25

,

0

2

'

&

"

#

#

x

x

y

y

y

x

y

W powy,szych wzorach za@o,ono, ,e punkty s+ równoodleg@e, tzn. x

2

–x

1

= x

1

–x

0

w przy-

padku ró,nic przednich, x

–1

–x

–2

= x

0

–x

–1

w przypadku ró,nic wstecznych oraz x

1

–x

0

= x

0

–x

–1

w przypadku ró,nic centralnych. Gdy ten warunek nie jest spe@niony, wzory s+ bardziej
rozbudowane. Przyk@adowo w przypadku ró,nic wstecznych nale,y u,ya wzoru:

)

)(

(

2

)

)(

(

2

)

)(

(

2

2

0

2

1

2

2

1

1

0

1

2

0

1

0

0

2

2

&

"

#

#

x

x

x

x

y

x

x

x

x

y

x

x

x

x

y

x

y

Drug+ pochodn+ mo,emy te, traktowaa po prostu jak pochodn+ pochodnej i zastosowaa
dwukrotnie wzory na pierwsz+ pochodn+.

Z regu@y obiektem najwi7kszego zainteresowania s+ punkty, w których pochodne przyj-
muj+ warto8a zero lub osi+gaj+ ekstremum. S+ to tzw.

punkty krytyczne

. Przyk@adowo

punkt, w którym druga pochodna osi+ga warto8a zero, nazywany jest

punktem przegi2cia

.

Rozdzia 6. ( Ró$niczkowanie numeryczne

91

Numeryczne obliczanie
pochodnej funkcji danej wzorem

W przypadku funkcji danej wzorem bezpo8rednie zastosowanie ilorazu ró,nicowego jako
przybli,enia pochodnej nie stanowi problemu i mo,e bya efektywnie wykorzystane do
obliczenia pochodnych w sytuacji, gdy trudno jest znaleqa odpowiedni+ formu@7 funkcji
pochodnej. Jedynym problemem jest dobór optymalnej warto8ci #x. Obliczenia wykonywa-
ne s+ w Excelu z dok@adno8ci+ do oko@o 15 cyfr znacz+cych, w zwi+zku z tym zastoso-
wanie bardzo ma@ej warto8ci #x mo,e prowadzia do niedok@adno8ci wywo@anej ograniczo-
n+ dok@adno8ci+ stosowanej arytmetyki. Z kolei du,e warto8ci #x powoduj+ b@+d zwi+zany
z pomini7ciem w rozwini7ciu funkcji w szereg Taylora wyrazów wy,szych rz7dów.

Rozwini7cie funkcji w szereg Taylora ma postaa:

&

#

&

&

#

$$

&

#

$

&

"

#

&

n

n

x

n

x

f

x

x

f

x

x

f

x

f

x

x

f

!

)

(

!

2

)

(

!

1

)

(

)

(

)

(

)

(

2

Je,eli z tego rozwini7cia wyznaczymy I pochodn+, otrzymamy:

&

#

#

$$

#

#

&

"

$

1

)

(

!

)

(

!

2

)

(

)

(

)

(

)

(

n

n

x

n

x

f

x

x

f

x

x

f

x

x

f

x

f

Wynik ten pokazuje, ,e przybli,enie pochodnej ilorazem ró,nicowym, obliczanym z u,y-
ciem ró,nic przednich, generuje b@+d proporcjonalny w przybli,eniu do #x. Lepszym roz-
wi+zaniem jest zastosowanie ró,nic centralnych. Mamy bowiem

&

#

&

&

#

$$

&

#

$

"

#

n

n

n

x

n

x

f

x

x

f

x

x

f

x

f

x

x

f

!

)

(

)

1

(

!

2

)

(

!

1

)

(

)

(

)

(

)

(

2

sk+d pierwsza pochodna wyra,a si7 wzorem:

&

#

#

$$$

#

#

#

&

"

$

1

)

(

2

!

)

(

!

3

)

(

2

)

(

)

(

)

(

n

n

x

n

x

f

x

x

f

x

x

x

f

x

x

f

x

f

W tym wzorze wyst7puj+ tylko cz@ony z nieparzystymi warto8ciami n. Widaa, ,e b@+d
oszacowania pochodnej za pomoc+ ró,nic centralnych jest w przybli,eniu proporcjo-
nalny do #x

2

.

W praktyce trzeba poszukaa kompromisu mi7dzy tymi uwarunkowaniami. Przyk@adowe
obliczenia przeprowadzono dla wielomianu 3. stopnia. Wyniki tych obliczeB widaa na ry-
sunku 6.1. W przypadku przybli,enia z ró,nicami przednimi najmniejszy b@+d wzgl7dny
obliczeB uzyskano dla #x v 1·10

–8

|x|, z tym ,e dla |x| < 1 nale,y przyj+a #x v 1·10

–8

.

W przypadku przybli,enia z ró,nicami centralnymi najmniejszy b@+d wzgl7dny obliczeB
uzyskano dla #x v 1·10

–5

|x|, z tym ,e dla |x| < 0,1 nale,y przyj+a #x v 1·10

–6

.

92

Excel w obliczeniach naukowych i in$ynierskich

Rysunek 6.1. Ocena dok%adno&ci oszacowania pochodnej za pomoc( ilorazu ró*nicowego

Numeryczne ró%niczkowanie
danych pomiarowych

Je,eli warto8ci funkcji pochodz+ z pomiarów, to trzeba miea 8wiadomo8a, ,e b@7dy po-
miarów w sposób bardzo istotny wp@ywaj+ na oszacowanie pochodnej. Iloraz ró,nicowy
jest stosunkiem ró,nic warto8ci funkcji i argumentu w pobliskich punktach, a wi7c jest to
stosunek dwu ma@ych, w porównaniu z warto8ci+ funkcji, liczb. Je,eli b@7dy pomiarów
maj+ przeciwne znaki, mo,e nast+pia kumulacja b@7dów i w efekcie b@+d oszacowania po-
chodnej b7dzie bardzo du,y. Dlatego bezpieczniej jest przeprowadzia najpierw aproksy-
macj7 badanej funkcji na przyk@ad wielomianem i obliczya pochodn+ wielomianu aprok-
symacyjnego zamiast bezpo8redniego obliczania pochodnej z danych do8wiadczalnych.

Bezpo%rednie oszacowanie warto%ci pochodnych
na podstawie danych pomiarowych

Jako przyk@ad bezpo8redniego ró,niczkowania rozpatrzymy typow+ w chemii analitycznej
krzyw+ miareczkowania kwasowo-zasadowego. Jest to zale,no8a pH roztworu od ilo8ci
dodanego odczynnika miareczkuj+cego. Charakterystyczne punkty tej zale,no8ci wyka-
zuj+ najszybsz+ (lokalnie) zmian7 pH. Na krzywej pochodnej wyst+pi+ w tych punktach
maksima, a na wykresie drugiej pochodnej b7d+ punkty zerowe. Dok@adna lokalizacja
tych punktów pozwoli okre8lia zawarto8a sk@adników w badanej próbce. Dane liczbowe
przyk@adu zamieszczono na rysunku 6.2.

Rozdzia 6. ( Ró$niczkowanie numeryczne

93

Rysunek 6.2.
Numeryczne
obliczenia pierwszej
i drugiej pochodnej
na przyk%adzie krzywej
miareczkowania

Przyk ad 6.1.

Tabelka przedstawia krzyw+ miareczkowania próbki 20 cm

3

mieszaniny roztworów s@a-

bego i mocnego kwasu 0,1-molowym roztworem NaOH. Wykonano wykres zale,no8ci
pH od obj7to8ci dodanego odczynnika miareczkuj+cego oraz wykres ilorazu ró,nicowego
#pH/#V jako funkcji V, który jest przybli,eniem pochodnej. Warto8a ilorazu ró,nicowe-
go przypisano do 8rodka przedzia@u V, dla którego zosta@a obliczona. Wykonano równie,
wykres drugiej pochodnej. Z wykresów odczytano, przy jakich warto8ciach V pH zmienia
si7 najszybciej. Na wykresie I pochodnej na osi rz7dnych zastosowano skal7 logarytmiczn+.

Na wykresach mo,na zauwa,ya dwa punkty krytyczne, pierwszy skok pH wyst7puje przy
V = 24,4 cm

3

i jest prawie niewidoczny przy zastosowaniu skali liniowej na wykresie po-

chodnej. Dopiero u,ycie skali logarytmicznej ujawnia ten punkt krytyczny. Drugi skok pH
jest bardzo wyraqny i wyst7puje przy V = 55,0 cm

3

. Na wykresie II pochodnej skal7 na osi

rz7dnych celowo ograniczono do ±1, aby mo,na by@o zauwa,ya pierwszy ma@y skok pH.

Aproksymacj7 pochodnej ilorazem ró,nicowym stosunkowo rzadko wykorzystuje si7 do
obróbki danych do8wiadczalnych ze wzgl7du na ryzyko kumulacji b@7dów, natomiast
do8a cz7sto w przypadku funkcji okre8lonych wzorem. Powrócimy do tego zagadnienia
przy okazji metod numerycznych rozwi+zywania równaB algebraicznych i ró,niczkowych.

Obliczenie pochodnej

za po%rednictwem funkcji aproksymuj'cej

Gdy zachodzi potrzeba wyznaczenia pochodnej zale,no8ci okre8lonej przez wyniki do-
8wiadczeB, rozwi+zaniem lepszym od bezpo8redniego ró,niczkowania jest aproksymacja
badanej zale,no8ci odpowiednio dobran+ funkcj+, na przyk@ad wielomianem, a nast7pnie

94

Excel w obliczeniach naukowych i in$ynierskich

zró,niczkowanie funkcji aproksymuj+cej. (Kwesti7 aproksymacji zale,no8ci do8wiadczal-
nej omówiono dok@adnie w rozdziale 15. „Regresja liniowa”). Potrzebne b7d+ warto8ci
liczbowe wspó@czynników, musimy wi7c u,ya funkcji

REGLINP

lub

REGEXPP

.

Je,eli do aproksymacji wybierzemy wielomian n-tego stopnia

)

"

"

&

&

&

&

"

n

k

k

k

n

n

x

a

x

a

x

a

x

a

a

x

f

0

2

2

1

0

)

(

to po wyznaczeniu wspó@czynników a

i

mo,emy @atwo obliczya pochodne a, do n-tego

rz7du. Najcz78ciej potrzebne s+ pierwsza i druga pochodna:

)

"

"

&

&

&

&

"

$

n

k

k

k

n

n

x

ka

x

na

x

a

x

a

a

x

f

1

1

1

2

3

2

1

3

2

)

(

)

"

"

&

&

'

&

'

&

"

$$

n

k

k

k

n

n

x

ka

k

x

na

n

x

a

x

a

a

x

f

2

2

2

2

4

3

2

)

1

(

)

1

(

4

3

3

2

2

)

(

W przypadku gdy do aproksymacji danych chcemy u,ya wielomianu 3. stopnia, pierwsz+
pochodn+ mo,emy obliczya w Excelu w nast7puj+cy sposób (zapisy dotycz+ wersji 2007
i wcze8niejszych, w wersji 2010

;

w sta@ej tablicowej nale,y zamienia na

\

):

= SUMA(REGLINP(znane_y; znane_x^{1;2;3})*x^{2;1;0;0}*{3;2;1;0})

a drug+ pochodn+:

= SUMA(REGLINP(znane_y; znane_x^{1;2;3})*x^{1;0;0;0}*{6;2;0;0})

znane_y

i

znane_x

reprezentuj+ zbiory danych pomiarowych zmiennych

y

i

x

, ka,dy z tych

zakresów musi stanowia kolumn7 danych;

x

jest warto8ci+ argumentu, dla której obli-

czamy pochodn+. Przy obliczeniach tego typu mo,e wyst+pia problem, gdy

x

=

0

. Pojawia

si7 tu bowiem symbol nieokre8lony 0

0

i Excel sygnalizuje b@+d. Aby go unikn+a, trzeba

do zerowego argumentu dodaa jak+8 bardzo ma@+ sta@+, na przyk@ad 10

–8

(

1E-08

), która

nie b7dzie mia@a wp@ywu na wyniki obliczeB.

Z konieczno8ci+ obliczenia pochodnej spotkaa si7 mo,emy na przyk@ad przy obliczeniach
cz+stkowych wielko8ci molowych w chemii fizycznej. Jako ilustracj7 rozpatrzymy pro-
cedur7 wyznaczania cz+stkowych obj7to8ci molowych etanolu i wody w mieszaninie
tych sk@adników. Dana jest zale,no8a 8redniej obj7to8ci molowej mieszaniny V od u@am-
ka molowego etanolu x

1

. Obj7to8ci molowe czystych sk@adników V

1

(etanol) i V

2

(woda)

s+ znane. Nale,y wyznaczya cz+stkowe obj7to8ci molowe sk@adników w funkcji sk@adu
roztworu. Wielko8ci te wylicza si7 ze wzorów:

1

1

1

)

1

(

dx

dV

x

V

V

&

"

1

1

2

dx

dV

x

V

V

"

Rozdzia 6. ( Ró$niczkowanie numeryczne

95

Wi7ksz+ dok@adno8a mo,na osi+gn+a, je,eli zamiast obj7to8ci molowej V jako zmienn+ ro-
bocz+ weqmie si7 zmian7 obj7to8ci mieszaniny na skutek zmieszania, czyli wielko8a
#V

mix

= V–x

1

V

1

–x

2

V

2

. Uwzgl7dniaj+c, ,e x

1

+x

2

= 1, @atwo wykazaa, ,e

2

1

1

1

)

(

V

V

dx

dV

dx

V

d

mix

&

"

#

i dalej

1

1

1

1

)

(

)

1

(

dx

V

d

x

V

V

V

mix

mix

#

&

#

&

"

1

1

2

2

)

(

dx

V

d

x

V

V

V

mix

mix

#

#

&

"

#V

mix

= 0 na koBcach przedzia@u zmienno8ci dla x

1

= 0 i dla x

2

= 0. Zatem je8li #V

mix

przedstawimy w postaci wielomianu, to x

1

i x

2

s+ pierwiastkami tego wielomianu.

#V

mix

= x

1

x

2

y(x

1

)

y(x

1

) jest pomocniczym wielomianem, którego pochodn+ b7dziemy chcieli wyznaczya

w nast7puj+cy sposób:

1

2

1

1

2

1

2

1

1

)

(

)

(

dx

dy

x

x

y

x

y

x

dx

y

x

x

d

dx

V

d

mix

&

"

"

#

a wi7c

1

2

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

dx

dy

x

x

y

x

x

y

x

y

x

x

V

V

&

&

&

"

**

+

,

--

.

/

&

&

"

1

1

2

2

1

1

dx

dy

x

y

x

V

V

Podobnie

**

+

,

--

.

/

&

&

"

1

2

1

1

2

1

2

1

2

2

dx

dy

x

x

y

x

y

x

x

y

x

x

V

V

**

+

,

--

.

/

&

"

1

2

2

1

2

2

dx

dy

x

y

x

V

V

Zadanie obliczenia cz+stkowych obj7to8ci molowych sprowadza si7 do obliczenia po-
chodnej funkcji pomocniczej y wzgl7dem x

1

.

Funkcj7 y aproksymowano odcinek po odcinku wielomianami 3. stopnia, bior+c pod uwag7
za ka,dym razem cztery kolejne punkty. Wyznaczone wspó@czynniki wielomianu uwzgl7d-
niono przy obliczaniu pochodnej w dwóch punktach wewn7trznych przedzia@u, dla którego

96

Excel w obliczeniach naukowych i in$ynierskich

zosta@y wyznaczone. Zatem poza skrajnymi dwoma pierwszymi i dwoma ostatnimi punkta-
mi, dla których jest dost7pny tylko jeden zestaw wspó@czynników, dla pozosta@ych punktów
dost7pne s+ po dwa zestawy wspó@czynników, które u8redniono. Wyniki obliczeB pokazano
na rysunku 6.3. Do obliczenia pochodnych zastosowano wzory podobne do proponowa-
nych powy,ej. Przyk@adowo (zapis dotyczy wersji 2007 i wcze8niejszych, w wersji 2010

;

w sta@ej tablicowej nale,y zamienia na

\

):

= SUMA(REGLINP($D$7:$D$10; $A$7:$A$10^{1;2;3})*A8^{2;1;0;0}*{3;2;1;0})

Rysunek 6.3. Wyniki obliczenia pochodnej z wykorzystaniem wspó%czynników wielomianu aproksymacyjnego

Warto8ci funkcji pomocniczej y na koBcach przedzia@u, czyli dla x

1

= 0 i x

1

= 1, nie mo,na

obliczya bezpo8rednio (symbol nieoznaczony 0/0). W tym przypadku oszacowano warto8ci
funkcji na podstawie aproksymacji wielomianem 3. stopnia warto8ci funkcji w punktach
s+siednich, a nast7pnie wzi7to warto8ci tych wielomianów w punktach x

1

= 0 i x

1

= 1.

W pierwszym przypadku jest to wyraz wolny wielomianu (zapisy dotycz+ wersji 2007
i wcze8niejszych, w wersji 2010

;

w sta@ej tablicowej nale,y zamienia na

\

):

= INDEKS(REGLINP(D$7:D$10; A$7:A$10^{1;2;3}); 4)

a w drugim suma wspó@czynników:

= SUMA(REGLINP(D$22:D$25; A$22:A$25^{1;2;3}))

Dane do tego przyk@adu i koncepcj7 rozwi+zania zaczerpn+@em z ksi+,ki [10].

Skorowidz

####, 15
#ADR!, 29, 35
#ARG!, 24, 31, 138, 288, 313
#DZIEL/0!, 24
#LICZBA!, 24, 25
#N/D!, 49, 56, 165, 346
%, 23
[#Dane], 59
[#Nag@ówki], 59
[#Sumy], 59
[#Ten wiersz], 59
[#Wszystko], 59

A

A1, 34, 296
Abs, 294
ABS, 350
Activate, 297
ActiveCell, 298
AddIns, 286
ADDRESS, 353
ADR.POƒR, 35, 51, 102, 118, 125, 186, 353
ADRES, 34, 353
adresy komórek, 17

adresy absolutne, 28
adresy bezwzgl7dne, 28
adresy mieszane, 28, 30, 56
adresy wzgl7dne, 28, 30

adsorpcja par na sta@ych adsorbentach, 204
AGGREGATE, 348
AGREGUJ, 276, 278, 348
aktywna komórka, 298
algorytm Rungego-Kutty, 322
Alignment, 337
Analiza symulacji, 150
Analysis Toolpak, 66
And, 293
AND, 353
Application, 295, 298

Application.Transpose, 302
Application.Version, 325
Application.Volatile, 315
ARG.LICZBY.ZESP, 251, 369
argumenty, 24, 284
argumenty operacji, 23
argumenty wyra,eB tablicowych, 55
arkusz kalkulacyjny, 7, 8
arkusze, 13
Array, 304, 313
As, 289, 290
Asc, 293, 294
ASCII, 24, 269
ASIN, 348
ASINH, 348
ATAN, 348
ATAN2, 348
ATANH, 348
Atn, 294
Autofiltr, 262, 265
Autokszta@ty, 341
autouzupe@nianie formu@, 25
AVEDEV, 358
AVERAGE, 365
AVERAGEA, 365
AVERAGEIF, 365
AVERAGEIFS, 365
awaryjne wyj8cie z p7tli, 309

B

BackColor, 337
backslash, 38
baza danych, 261

filtrowanie, 262
formularze, 261
funkcje, 278
funkcje podsumowaB, 274
indeksy, 262
operatory relacji, 266

378

Excel w obliczeniach naukowych i in$ynierskich

baza danych

pola, 261
rekordy, 261
sortowanie, 262
zakres kryteriów, 266

BD.ILE.REKORDÓW, 280, 368
BD.ILE.REKORDÓW.A, 368
BD.ILOCZYN, 369
BD.MAX, 279, 369
BD.MIN, 369
BD.ODCH.STANDARD, 369
BD.ODCH.STANDARD.POPUL, 369
BD.POLE, 274, 279, 369
BD.SUMA, 369
BD.ƒREDNIA, 280, 369
BD.WARIANCJA, 369
BD.WARIANCJA.POPUL, 369
BESSEL.I, 369
BESSEL.J, 370
BESSEL.K, 370
BESSEL.Y, 370
BESSELI, 369
BESSELJ, 370
BESSELK, 370
BESSELY, 370
BETA.DIST, 360
BETA.INV, 360
BETADIST, 360
BETAINV, 360
BIN2DEC, 370
BIN2HEX, 370
BIN2OCT, 370
BINOM.DIST, 361
BINOM.INV, 359, 361
BINOMDIST, 361
Boolean, 290
BorderColor, 337
BorderStyle, 337
BoundColumn, 338
BRAK, 354
Breakpoints, 287
Button, 331
Byte, 290

C

Call, 305
Call Stack, 311
ca@ki niew@a8ciwe, 111

obliczanie metod+ ekstrapolacji, 112

ca@ki oznaczone, 97

obliczanie, 99
obliczanie metod+ 3/8, 99
obliczanie metod+ kwadratur, 97
obliczanie metod+ parabol, 98
obliczanie metod+ Simpsona, 98
obliczanie metod+ trapezów, 98

ca@kowanie numeryczne, 316
Caption, 337, 338, 341
Case Else, 308
cecha, 14
CELL, 355
Cells, 298, 299
Change, 345
CHAR, 293, 368
Chart, 295
CheckBox, 331
CHI.TEST, 365
CHIDIST, 360
CHIINV, 360
CHISQ.DIST, 360
CHISQ.DIST.RT, 360
CHISQ.INV, 360
CHISQ.TEST, 365
CHITEST, 365
CHOOSE, 354
Chr, 293, 294
ci+g funkcyjny, 122
ci+g liczbowy, 121
ci8nienie osmotyczne roztworu, 183
Clear, 297
CODE, 293, 367
COLUMN, 353
ColumnCount, 338
ColumnHeads, 338
COLUMNS, 353
Columns.Count, 302
ColumnWidths, 338
COMBIN, 349
ComboBox, 331
CommandButton, 331
COMPLEX, 137, 250, 251, 254, 371
CONCATENATE, 368
CONFIDENCE, 366
CONFIDENCE.NORM, 366
CONFIDENCE.T, 366
CONVERT, 245, 247, 371

jednostki, 246

Copy, 321
CORREL, 366
Cos, 294
COS, 348
COS.LICZBY.ZESP, 256, 370
COSH, 349
COUNT, 356
COUNTA, 356
COUNTBLANK, 356
COUNTIF, 356
COUNTIFS, 357
COVAR, 356
COVARIANCE.P, 356
COVARIANCE.S, 356
CRITBINOM, 359
Currency, 290
CVErr, 305

Skorowidz

379

CZ.CAYK.DZIELENIA, 349
CZ.RZECZ.LICZBY.ZESP, 250, 370
CZ.UROJ.LICZBY.ZESP, 250, 370
CZAS, 373
CZAS.WARTOƒ‡, 373
czcionki, 298
CZVSTOƒ‡, 356
cz78a rzeczywista, 250
cz78a urojona, 250
CZY.ADR, 354
CZY.BY, 354
CZY.BYˆD, 354
CZY.BRAK, 355
CZY.LICZBA, 355
CZY.LOGICZNA, 355
CZY.NIE.TEKST, 355
CZY.NIEPARZYSTE, 355
CZY.PARZYSTE, 355
CZY.PUSTA, 355
CZY.RÓWNE, 370
CZY.TEKST, 355

D

dane, 13
DATA, 373
DATA.WARTOƒ‡, 373
Date, 290
DATE, 373
DATEVALUE, 373
DAVERAGE, 369
DCOUNT, 368
DCOUNTA, 368
Debug, 311
DEC2BIN, 243, 370
DEC2HEX, 244, 371
DEC2OCT, 370
definiowanie

funkcje, 302
nazwy, 20
tabele, 57

Definiuj nazw7, 18, 20, 25, 118
DEGREES, 351
deklaracja

tablice, 300
zmienne, 289

Delay, 339, 340
DELTA, 370
Design Mode, 311
DEVSQ, 357
DGET, 369
Dim, 289, 290, 300
DY, 367
DMAX, 369
DMIN, 369
Do Until…Loop, 309
Do While…Loop, 309
Do...Loop, 309
Do…Loop Until, 310

Do…Loop While, 310
dodawanie kontrolek do arkusza, 330
Double, 290
DPRODUCT, 369
DropButtonStyle, 340
DSTDEV, 369
DSTDEVP, 369
DSUM, 369
DVAR, 369
DVARP, 369
DWÓJK.NA.DZIES, 370
DWÓJK.NA.ÓSM, 370
DWÓJK.NA.SZESN, 370
dyfuzyjny transport wody, 234
dynamiczne generowanie tablic o zadanym

rozmiarze, 50

dzia@ania arytmetyczne na liczbach zespolonych, 252
DZIES.NA.DWÓJK, 370
DZIES.NA.ÓSM, 370
DZIES.NA.SZESN, 244, 371
DZIƒ, 373

E

E, 38
edycja

komórki, 26
nazwy, 18

Edytowanie nazwy, 20, 57
ekstrapolacja rozwi+zania równania Laplace’a, 232
elektrolizer, 229
elektrotechnika, 257
elementy tablicy, 37
Else, 306, 307
ElseIf, 306, 307
End Function, 288
End If, 306, 307
End Select, 307, 308
End Sub, 284
Eqv, 293
ERF, 371
ERF.PRECISE, 371
ERFC, 371
ERFC.PRECISE, 371
ERROR.TYPE, 355
Etykieta, 331, 333, 337
Evaluate, 315, 317
EXACT, 367
Excel, 7, 11
Exit Do, 310
Exit For, 309
Exit Function, 305
Exit Sub, 305
Exp, 294
EXP, 25, 106, 122, 349
EXP.LICZBY.ZESP, 255, 371
EXPON.DIST, 361
EXPONDIST, 361

380

Excel w obliczeniach naukowych i in$ynierskich

F

F.DIST, 361
F.DIST.RT, 361
F.INV, 362
F.INV.RT, 361
F.TEST, 365
FACT, 350
FACTDOUBLE, 350
FAYSZ, 14, 23
FDIST, 361
Filtr, 265
Filtr zaawansowany, 262, 269
filtrowanie, 262
Find, 297
FIND, 368
FINV, 361
FISHER, 362
FISHERINV, 362
FIXED, 368
folder AddIns, 286
Font, 298, 337
For Each ... Next, 309, 313
For...Next, 308
FORECAST, 360
ForeColor, 337
formanty, 329, 344

dodawanie formantów do arkusza, 330
makroinstrukcje, 332, 343
nazwy, 332
w@a8ciwo8ci, 332
zdarzenia, 330

formanty ActiveX, 330, 331, 336

Etykieta, 337
Obraz, 340
Pasek przewijania, 339
Pole kombi, 340
Pole listy, 338
Pole tekstowe, 339
Pole wyboru, 337
Przycisk opcji, 338
Przycisk pokr7t@a, 339
Przycisk polecenia, 337
Przycisk prze@+cznika, 341
w@a8ciwo8ci, 336

formanty formularza, 330, 331, 333

Etykieta, 333
Pasek przewijania, 335
Pokr7t@o, 334
Pole grupy, 335
Pole kombi, 335
Pole listy, 334
Pole wyboru, 333
Przycisk, 333
Przycisk opcji, 334

Format, 294
format wy8wietlania liczb zespolonych, 256
Formatuj formant, 332

Formatuj jako tabel7, 57
Formula, 296, 327
FormulaLocal, 296, 327
FormulaR1C1, 296
FormulaR1C1Local, 296
formularze, 261
formu@y, 16

adresy komórek, 17
autouzupe@nianie formu@, 25
funkcje, 24
nazwy, 21
obliczanie, 15
odwo@ania, 18
operatory, 21
pierwszeBstwo dzia@aB, 22
tryb wy8wietlania, 16
wprowadzanie adresu, 17
wynik obliczeB, 16
wy8wietlanie tekstów formu@ w arkuszu, 327
zmiana kolejno8ci wykonywania operacji, 25

formu@y nazwane, 8, 29

argumenty wyra,eB tablicowych, 55

formu@y tablicowe, 16, 41

edycja, 42
kopiowanie, 43
nazwy, 43
poszerzanie obszaru, 42
tabele, 62
wprowadzanie, 42

FRAGMENT.TEKSTU, 367
FREQUENCY, 356
FTEST, 365
Function, 283, 284, 288
funkcja autouzupe@niania formu@, 61
funkcja podca@kowa opisana wzorem, 116
funkcja podca@kowa w postaci zbioru punktów

pomiarowych, 117

FUNKCJA.BY, 371
FUNKCJA.BY.DOKY, 371
funkcje, 17

argumenty, 24
Array, 313
funkcje agreguj+ce, 274
funkcje bazodanowe, 278, 368
funkcje daty i czasu, 373
funkcje dwu zmiennych, 69
funkcje informacyjne, 354
funkcje in,ynierskie, 369
funkcje jednej zmiennej, 65
funkcje jednej zmiennej okre8lone w sposób

niejawny (uwik@any), 68

funkcje logiczne, 352
funkcje matematyczne, 348
funkcje odwo@aB, 354
funkcje operuj+ce na liczbach zespolonych, 249
funkcje podsumowaB, 274
funkcje statystyczne, 356, 358
funkcje tekstowe, 367

Skorowidz

381

funkcje wyszukiwania, 354
konwencje zapisu, 25
parametry, 284
wywo@anie, 24
zagnie,d,anie funkcji, 24

funkcje definiowane przez u,ytkownika, 302

funkcje podobne do funkcji standardowych, 323
parametry, 303
sterowanie wykonaniem kodu, 305
typ wyniku, 303
zakoBczenie wykonywania, 305
zmienna liczba argumentów, 303

funkcje VBA, 283, 284, 288, 294

Array, 304
Asc, 293
Chr, 293
CVErr, 305
IsArray, 324
IsObject, 324
LBound, 301
Log, 293
metody, 295
nazwy, 287
Sqr, 288, 293
stosowanie w Excelu, 314
Ubound, 301
Val, 314
w@a8ciwo8ci, 295
wywo@anie rekurencyjne, 284

G

GAMMA.DIST, 362
GAMMA.INV, 362
GAMMADIST, 362
GAMMAINV, 362
GAMMALN, 362
GAMMALN.PRECISE, 363
GCD, 350
generowanie planu eksperymentu czynnikowego

typu 2

k

, 52

GEOMIN, 365
GESTEP, 372
GoalSeek, 297, 318
GODZINA, 373
górna granica ca@kowania, 115
graficzna prezentacja danych, 75
graficzne elementy steruj+ce, 329
graficzne szacowanie pierwiastków równania, 139
GroupBox, 331
GroupName, 338
GROWTH, 359

H

HARMEAN, 365
Height, 337, 344
HEX2BIN, 373

HEX2DEC, 373
HEX2OCT, 373
HLOOKUP, 354
HOUR, 373
HYPGEOM.DIST, 362
HYPGEOMDIST, 362

I

If, 306, 307
IF, 352
IFERROR, 352
ILE.LICZB, 117, 356
ILE.NIEPUSTYCH, 356
ILE.WIERSZY, 345, 353
ILOCZYN, 349
iloczyn macierzowy, 41
ILOCZYN.LICZB.ZESP, 254
ILORAZ.LICZB.ZESP, 371
IMABS, 251, 372
Image, 331
IMAGINARY, 250, 370
IMARGUMENT, 369
IMCONJUGATE, 250, 372
IMCOS, 256, 370
IMDIV, 253, 371
IMEXP, 371
IMLN, 255, 371
IMLOG10, 255, 371
IMLOG2, 255, 372
Immediate Window, 311
Imp, 293
IMPOWER, 254, 372
IMPRODUCT, 253, 254, 371
IMREAL, 250, 370
IMSIN, 256, 372
IMSQRT, 254, 372
IMSUB, 253, 372
IMSUM, 253, 373
INDEKS, 32, 44, 50, 54, 62, 96, 103, 166, 271, 353
indeksy, 262
INDEX, 353
INDIRECT, 353
INFO, 355
InputBox, 321
Inspekcja formu@, 15
instrukcja przypisania, 291
instrukcja wyboru, 305
instrukcje warunkowe, 305
Int, 294
INT, 352
Integer, 290
INTERCEPT, 358
interpolacja, 163
interpolacja kubiczna, 170

funkcje dwu zmiennych, 174

interpolacja liniowa, 166

funkcje dwu zmiennych, 171

382

Excel w obliczeniach naukowych i in$ynierskich

interpretacja adresów, 29
interpretacja geometryczna, 97

liczby zespolone, 251

interpretacja nazw, 29
Is, 292, 308
IsArray, 294, 324
IsDate, 294
IsEmpty, 294
ISEMPTY, 355
ISERR, 354
IsError, 294
ISERROR, 354
ISEVEN, 355
ISLOGICAL, 355
IsMissing, 294
ISNA, 355
ISNONTEXT, 355
IsNull, 294
ISNUMBER, 355
IsNumeric, 294
IsObject, 294, 324
ISODD, 355
ISREF, 354
ISTEXT, 355
izoterma Langmuira, 185, 204

J

jednostka urojona, 250
jednostki miar, 245
JEŒELI, 52, 85, 136, 137, 352
JEŒELI.BYˆD, 352
j7zyk VBA, 8, 281

K

KOD, 269, 367
kod ASCII, 24, 269
kod VBA, 287
kolejno8a dzia@aB, 23
kolumny, 13, 31
KOMBINACJE, 349
komentarze VBA, 310
KOMÓRKA, 326, 355
komórki, 13
KOMP.FUNKCJA.BY, 371
KOMP.FUNKCJA.BY.DOKY, 371
komunikaty o b@7dzie, 24, 305
kontrolki ekranowe, 329
konwencja zapisu funkcji, 25
konwersja jednostek miar, 245

CONVERT, 246
konwersja jednostek z@o,onych, 247
KONWERTUJ, 246

konwersja liczb, 243

Analysis Toolpak, 243
liczby szesnastkowe, 244

konwersja tabeli na zakres, 63

konwersja tablicy dwuwymiarowej

w jednowymiarow+, 320

konwersja zakresu na tabel7, 63
KONWERTUJ, 245, 247, 371

jednostki, 246

Konwertuj na zakres, 63
kopiowanie

formu@y tablicowe, 43
komórki, 27
odwo@ania strukturalne, 62
zawarto8a komórek, 26

Kopiuj, 27
korelacja liniowa, 200, 201
korelacja nieliniowa, 200

Solver, 203

KOWARIANCJA, 356
KOWARIANCJA.POPUL, 356
KOWARIANCJA.PRÓBKI, 356
kryterium statystyczne Fishera, 180
kryterium statystyczne t Studenta, 180
krzywa logistyczna, 194
krzywa miareczkowania kwasowo-zasadowego, 92
krzywe Lissajous, 85
KURT, 356
KURTOZA, 356
kwadrat wspó@czynnika korelacji R

2

, 79

kwalifikowane odwo@ania do zakresu, 18
KWARTYL, 356
KWARTYL.PRZEDZ.OTW, 278, 356
KWARTYL.PRZEDZ.ZAMK, 278, 356

L

L, 355
Label, 331
LARGE, 357
LargeChange, 340
LBound, 294, 301, 302
LCM, 350
Left, 337
LEFT, 367
LEN, 367
LEWY, 34, 367
LICZ.JEŒELI, 356
LICZ.PUSTE, 356
LICZ.WARUNKI, 357
LICZBA, 314
liczba sprz7,ona, 250
liczba stopni swobody, 179
LICZBA.CAYK, 349
LICZBA.KOLUMN, 353
LICZBA.ZESP, 137, 250, 251, 254, 371
liczby, 14

formaty, 14
Liczbowy, 14
liczby bez znaku, 15
liczby dziesi7tne, 14
liczby szesnastkowe, 244

Skorowidz

383

Naukowy, 14
Procentowy, 14
U@amkowy, 14
zapis naukowy, 14

liczby zespolone, 137, 249, 250

argument, 251
cz78a rzeczywista, 250
cz78a urojona, 250
dzia@ania arytmetyczne, 252
format wy8wietlania, 256
funkcje elementarne z argumentem

zespolonym, 255

funkcje operuj+ce na liczbach zespolonych, 250
funkcje trygonometryczne, 255
interpretacja geometryczna, 251
jednostka urojona, 250
logarytm zespolony, 255
modu@, 251
pierwiastkowanie, 253
postaa trygonometryczna, 251
postaa wyk@adnicza, 252
pot7gowanie, 253
równo8a liczb zespolonych, 252
stosowanie w elektrotechnice, 257
warto8a g@ówna logarytmu, 255
wzór Eulera, 252

Like, 292
LINEST, 360
linia trendu, 78
LinkedCell, 337, 338, 339, 341, 345
ListBox, 331
ListFillRange, 338
ListStyle, 338, 340
ListWidth, 340
listy, 261
litera@y tablicowe, 38
LN, 123, 349
LN.LICZBY.ZESP, 255, 371
Locals, 311
Locals Window, 311
Log, 293, 294
LOG, 349
LOG10, 349
LOG10.LICZBY.ZESP, 255, 371
LOG2.LICZBY.ZESP, 255, 372
logarytm zespolony, 255
LOGEST, 359
LOGINV, 363
LOGNORM.DIST, 363
LOGNORM.INV, 363
LOGNORMDIST, 363
Long, 290, 339
LOOKUP, 354
Loop, 310
LOS, 349
LOS.ZAKR, 349
Lotus 1-2-3, 36
LUB, 267, 269, 352

L

Y+cze komórki, 334
@+czenie tablic, 48

M

macierz jednostkowa, 38

generowanie, 52

macierz kwadratowa, 37

elementy diagonalne, 37
g@ówna przek+tna, 37

MACIERZ.ILOCZYN, 41, 132, 349
MACIERZ.ODW, 41, 132, 349
macierze, 37

elementy, 37
macierz diagonalna, 38
macierz odwrotna, 41, 132
macierz symetryczna, 38
mno,enie skalarne, 40
transpozycja, 41
uk@ad równaB liniowych, 131
wektor, 37
wyznacznik, 38, 41

makra, 282, 283

skoroszyt makr osobistych, 286

Makra, 286
makroinstrukcje, 282
makropolecenia, 282, 283

nazwy, 287
przypisanie do formantów, 343
rejestracja, 284
testowanie, 310
uruchamianie, 283, 286, 310

Maksymalna liczba iteracji, 86
Maksymalna zmiana, 86
mantysa, 14
MATCH, 353
MatchEntry, 340
MatchRequired, 340
Max, 339
MAX, 146, 357
MAX.A, 357
MAX.K, 278, 357
MAXA, 357
MaxChange, 319
MaxLength, 339, 340
MDETERM, 352
MEDIAN, 357
MEDIANA, 357
Mened,er nazw, 19, 20, 21, 30
methods, 295
metoda 3/8, 99
metoda ekstrapolacji, 112
metoda Eulera, 208

modyfikacje, 213

metoda GoalSeek, 318
metoda iteracji prostej, 140

384

Excel w obliczeniach naukowych i in$ynierskich

metoda kwadratur, 98
metoda nadrelaksacji, 230
metoda Newtona, 115, 145
metoda Newtona-Raphsona, 160
metoda parabol, 98, 99
metoda prostok+tów, 98, 99
metoda ró,nic skoBczonych, 224, 228
metoda Rungego-Kutty, 217, 322
metoda siatek, 228
metoda siecznych, 143, 147

przyspieszenie zbie,no8ci, 144

metoda Simpsona, 98, 101
metoda strza@ów, 221
metoda stycznych, 145

zmodyfikowana metoda stycznych, 146

metoda trapezów, 98, 99
metody, 295, 297
metody analitycznego rozwi+zywania równaB

ró,niczkowych, 207

Microsoft Excel, 7
Microsoft Office, 11
MID, 367
MIESIˆC, 374
Min, 339
MIN, 357
MIN.A, 357
MIN.K, 278, 357
MINA, 357
minimalna suma kwadratów, 177, 193
minimum, 155
MINUTA, 374
MINUTE, 374
MINVERSE, 349
MMULT, 349
mno,enie macierzy, 41
MOD, 190, 349
MODE, 367
MODE.MULT, 367
MODE.SNGL, 367
modu@ liczby zespolonej, 251
MODUY.LICZBY, 23, 123, 124, 137, 138, 350
MODUY.LICZBY.ZESP, 251, 372
modu@y, 285
MONTH, 374
MROUND, 352
MultiLine, 339
MULTINOMIAL, 352
MultiSelect, 338, 340

N

N, 355
NA, 354
NACHYLENIE, 181, 202, 357
nadawanie nazw, 19
nadawanie warto8ci zmiennym, 291
nadrelaksacja, 230

NAJMN.WSP.WIEL, 350
najmniejsza suma kwadratów, 78
NAJW.WSP.DZIEL, 350
Name, 337
Narz7dzia tabel/Projektowanie, 57
Naukowy, 14
nawiasy klamrowe, 38, 42
nawiasy okr+g@e, 25
nazwy, 18, 29, 43, 287

definiowanie, 20
nadawanie, 19
nazwy kwalifikowane, 19
stosowanie, 32

nazwy formu@, 21
nazwy tabel, 19
nazwy tablic, 39
Nazwy zdefiniowane, 21
negacja, 23
NEGBINOM.DIST, 361
NEGBINOMDIST, 361
Next, 308, 309
NIE, 353
nieudokumentowane formanty pola tekstowego, 341
NORM.DIST, 363
NORM.INV, 363
NORM.S.DIST, 363
NORM.S.INV, 363
NORMALIZUJ, 357
NORMDIST, 363
NORMINV, 363
NORMSDIST, 363
NORMSINV, 363
Not, 293
NOT, 353
NOW, 374
Nowe makro, 284
NR.BYVDU, 355
NR.KOLUMNY, 33, 51, 353
NumberFormat, 296
numeryczne obliczanie pochodnej funkcji danej

wzorem, 91

numeryczne ró,niczkowanie danych pomiarowych, 92

O

obiekty, 295

Application, 298
Range, 295
w@a8ciwo8ci, 295

Object, 290
objects, 295
OBLICZ, 109
obliczanie ca@ek niew@a8ciwych, 111

metoda ekstrapolacji, 112

obliczanie ca@ek oznaczonych, 97, 99, 121

iteracje, 108
metoda kwadratur, 97
metody, 97, 99

Skorowidz

385

odwo@ania cykliczne, 108
operacje tablicowe, 102
szereg pot7gowy, 121

obliczanie górnej granicy ca@kowania, 115

funkcja podca@kowa opisana wzorem, 116
funkcja podca@kowa w postaci zbioru punktów

pomiarowych, 117

metoda Newtona, 116
Solver, 116

obliczenia, 16

obliczanie pierwiastków równania

kwadratowego, 313

obliczanie sum szeregów, 123
obliczanie warto8ci wielomianu, 312
obliczenia cz+stkowe wielko8ci molowych, 94

obliczenia iteracyjne, 127

iteracje, 109

obracanie wykresu, 83
Obraz, 331, 340
Obrót 3-W, 83
obs@uga zdarzeB, 345
obszary, 17, 37
obwody elektryczne pr+du zmiennego, 257
OCT2BIN, 372
OCT2DEC, 243, 372
OCT2HEX, 372
ODCH.KWADRATOWE, 357
ODCH.STAND.POPUL, 357
ODCH.STANDARD.POPUL, 357
ODCH.STANDARD.PRÓBKI, 358
ODCH.STANDARDOWE, 358
ODCH.STANDARDOWE.A, 358
ODCH.ƒREDNIE, 358
ODCIVTA, 181, 358
odczytywanie adresów, 33
odwo@ania, 18, 29, 34

odwo@ania do elementów tablic, 44
odwo@ania do fragmentów tablic, 44

odwo@ania cykliczne, 8, 109, 230

obliczanie ca@ek oznaczonych, 108
rozwi+zywanie równaB nieliniowych, 148

odwo@ania strukturalne, 57, 58

czytelno8a, 62
funkcja autouzupe@niania formu@, 61
kopiowanie, 62
odwo@ania do wybranych elementów, 62
odwo@ania strukturalne kwalifikowane, 59
odwo@ania strukturalne niekwalifikowane, 59
przenoszenie, 62
sk@adnia, 58
stosowanie, 60
wype@nianie, 62
zewn7trzne odwo@ania strukturalne, 61

odzyskiwanie danych z tabeli lub listy, 270
Offset, 299, 316
OFFSET, 353
ogólne rozwi+zania równania ró,niczkowego, 207
Ogólny, 14, 15

okno obliczeB bezpo8rednich, 311
okno podgl+du zmiennych, 311
okno zmiennych lokalnych, 311
Opcje obliczania, 85
operacje na komórkach sformatowanych w okre8lony

sposób, 326

operacje tablicowe, 38, 102
operatory, 21

%, 23
operatory arytmetyczne, 23
operatory odwo@ania, 59
operatory relacji, 23
pierwszeBstwo dzia@aB, 22
VBA, 292

Option Base, 300, 303
Option Explicit, 291
Optional, 303
OptionButton, 331
Or, 293
OR, 352
ORAZ, 267, 353
Orientation, 339
osadzanie w arkuszu plików graficznych, 340
OSAD, 342

Ó

ÓSM.NA.DWÓJK, 372
ÓSM.NA.DZIES, 372
ÓSM.NA.SZESN, 372

P

ParamArray, 303
parametry, 284, 303

parametry opcjonalne, 303

pasek narz7dzi Debug, 311
Pasek przewijania, 331, 335, 339
PasswordChar, 339
PEARSON, 358
PERCENTILE, 358
PERCENTILE.EXC, 358
PERCENTILE.INC, 358
PERCENTRANK, 359
PERCENTRANK.EXC, 359
PERCENTRANK.INC, 359
PERCENTYL, 358
PERCENTYL.PRZEDZ.OTW, 278, 358
PERCENTYL.PRZEDZ.ZAMK, 278, 358
PERMUT, 358
PERMUTACJE, 358
Personal.xls, 286
p7tle, 308

Do...Loop, 309
For Each ... Next, 309
For...Next, 308
wyj8cie awaryjne z p7tli, 309

386

Excel w obliczeniach naukowych i in$ynierskich

PI, 24, 350
Picture, 337, 338, 340, 341
PictureAlignment, 340
PicturePosition, 337, 338, 341
PictureSizeMode, 340
PictureTiling, 341
PIERW.PI, 324, 350
PIERWIASTEK, 82, 137, 157, 293, 350
PIERWIASTEK.LICZBY.ZESP, 254, 372
pierwiastki równania kwadratowego, 313
pierwszeBstwo dzia@aB, 22
plan ca@kowitego eksperymentu czynnikowego, 53
pochodna, 89
PODAJ.POZYCJV, 126, 165, 167, 168, 271, 272, 353
podprogramy, 282, 283, 284
PODSTAW, 34, 109, 367
POISSON, 364
POISSON.DIST, 364
Poka, formu@y, 15
Pokr7t@o, 331, 334
pola, 261
Pole grupy, 331, 335
Pole kombi, 331, 335, 340
Pole listy, 331, 334, 338
Pole nazwy, 19
pole skalarne, 228
Pole tekstowe, 331, 339
pole trójk+ta, 288
Pole wyboru, 331, 333, 337
PORÓWNAJ, 269, 367
porównywanie

teksty, 24
warto8ci logiczne, 24

postaa trygonometryczna liczby zespolonej, 251
poszukiwanie minimum, 155
POTVGA, 350
POTVGA.LICZBY.ZESP, 254, 372
POWER, 350
POWT, 367
POZYCJA, 358
POZYCJA.NAJW, 358
POZYCJA.ƒR, 359
PRAWDA, 14, 23
PRAWDPD, 359
prawo Ficka, 234
prawo rozcieBczeB Ostwalda, 199
PRAWY, 367
predefiniowane specyfikatory wierszy, 59
Preserve, 301
PROB, 359
PROC.POZ.PRZEDZ.OTW, 359
PROC.POZ.PRZEDZ.ZAMK, 359
procedura obs@ugi zdarzenia, 345
PROCENT.POZYCJA, 359
Procentowy, 14
procesy transportu masy lub ciep@a, 234
PRODUCT, 349
properties, 295

Properties, 336
ProportionalThumb, 340
PRÓG.ROZKYAD.DWUM, 359
przechowywanie makropoleceB, 286
przeci+gnij i upu8a, 27
Przegl+darka Projektów, 285
przenoszenie

formu@y, 29
komórki, 28
odwo@ania strukturalne, 62

PRZESUNIVCIE, 47, 62, 118, 168, 345, 353
przesuwanie zawarto8ci komórek, 26
przeszukiwanie tablic, 163
przewodnictwo molowe, 184
Przybornik formantów, 331
Przycisk, 331, 333
Przycisk opcji, 331, 334, 338
Przycisk pokr7t@a, 331, 339
Przycisk polecenia, 283, 331, 337
Przycisk prze@+cznika, 331, 341
Przypisz makro, 343
pu@apki programowe, 287, 311
punkt przegi7cia, 90

Q

QUARTILE, 356
QUARTILE.EXC, 356
QUARTILE.INC, 356
Quick Watch, 311
QUOTIENT, 349

R

R.KWADRAT, 181, 359
R1C1, 17
RADIANS, 350
RADIANY, 350
RAND, 349
RANDBETWEEN, 349
Range, 295, 296, 297, 301, 303

Count, 296
Formula, 296
NumberFormat, 296
Select, 298
Value, 296

RANK, 358
RANK.AVG, 359
RANK.EQ, 358
ReDim, 301
REGBYSTD, 359
REGEXPP, 94, 359
REGEXPW, 359
REGLINP, 94, 96, 170, 175, 176, 181, 182, 183,

202, 360

REGLINW, 169, 170, 173, 176, 188, 191, 360
REGLINX, 167, 169, 188, 360

Skorowidz

387

regresja, 78

regresja quasi-liniowa, 193
regresja wielokrotna, 187

regresja liniowa, 177, 181

funkcja liniowa jednej zmiennej, 181
funkcje dwu zmiennych, 188
NACHYLENIE, 181
ocena statystyczna jako8ci dopasowania

równania regresji, 179

ODCIVTA, 181
R.KWADRAT, 181
zastosowanie, 177

regresja nieliniowa, 193

ocena statystyczna jako8ci dopasowania

równania regresji, 195

Solver, 194, 196
zasada minimalnej sumy kwadratów, 193
zastosowanie, 193

regula falsi, 143, 147
Rejestrator MakropoleceB, 284
rejestrowanie makropoleceB, 284
rekordy, 261
relacje, 23
REPLACE, 368
REPT, 367
RIGHT, 367
Rnd, 294
ROK, 374
ROUND, 352
ROUNDDOWN, 352
ROUNDUP, 352
ROW, 354
ROWS, 353
Rows.Count, 302
ROZKY.BETA, 360
ROZKY.BETA.ODWR, 360
ROZKY.CHI, 360
ROZKY.CHI.ODWR, 360
ROZKY.CHI.PS, 360
ROZKY.DWUM, 361
ROZKY.DWUM.ODWR, 359, 361
ROZKY.DWUM.PRZEC, 361
ROZKY.EXP, 361
ROZKY.F, 361
ROZKY.F.ODWR, 362
ROZKY.F.ODWR.PS, 361
ROZKY.F.PS, 361
ROZKY.GAMMA, 362
ROZKY.GAMMA.ODWR, 362
ROZKY.HIPERGEOM, 362
ROZKY.LOG, 363
ROZKY.LOG.ODWR, 363
ROZKY.NORMALNY, 363
ROZKY.NORMALNY.ODWR, 363
ROZKY.NORMALNY.S, 363
ROZKY.NORMALNY.S.ODWR, 363
ROZKY.POISSON, 364
ROZKY.T, 364

ROZKY.T.DS, 364
ROZKY.T.ODWR, 364
ROZKY.T.ODWR.DS, 364
ROZKY.T.PS, 364
ROZKY.WEIBULL, 364
ROZKYAD.BETA, 360
ROZKYAD.BETA.ODW, 360
ROZKYAD.CHI, 360
ROZKYAD.CHI.ODW, 360
ROZKYAD.DWUM, 361
ROZKYAD.DWUM.PRZEC, 361
ROZKYAD.EXP, 361
ROZKYAD.F, 361
ROZKYAD.F.ODW, 361
ROZKYAD.FISHER, 362
ROZKYAD.FISHER.ODW, 362
ROZKYAD.GAMMA, 362
ROZKYAD.GAMMA.ODW, 362
ROZKYAD.HIPERGEOM, 362
ROZKYAD.LIN.GAMMA, 113, 362
ROZKYAD.LIN.GAMMA.DOKY, 363
ROZKYAD.LOG, 363
ROZKYAD.LOG.ODW, 363
ROZKYAD.NORMALNY, 363
ROZKYAD.NORMALNY.ODW, 363
ROZKYAD.NORMALNY.S, 363
ROZKYAD.NORMALNY.S.ODW, 363
ROZKYAD.POISSON, 364
ROZKYAD.T, 364
ROZKYAD.T.ODW, 364
ROZKYAD.WEIBULL, 364
rozmiar tablicy, 302
rozwi+zywanie równaB nieliniowych, 135

graficzne szacowanie pierwiastków, 139
metoda GoalSeek, 318
metoda iteracji prostej, 140
metoda Newtona, 145
metoda siecznych, 143, 147
metoda stycznych, 145
odwo@ania cykliczne, 148
przyspieszenie zbie,no8ci metody siecznych, 144
regula falsi, 143
Solver, 149, 151
Szukaj wyniku, 149
wyró,nik, 135
zmodyfikowana metoda stycznych, 146

rozwi+zywanie równaB ró,niczkowych

cz+stkowych, 228

rozwi+zywanie równaB ró,niczkowych metod+

Rungego-Kutty, 217, 322

rozwi+zywanie uk@adu równaB liniowych, 41, 132

Solver, 133

rozwi+zywanie uk@adu równaB nieliniowych, 156

metoda minimalizacji sumy kwadratów, 154
metoda Newtona-Raphsona, 160
zmienna pomocnicza, 157

rozwi+zywanie zagadnienia pocz+tkowego

metod+ Eulera, 208

388

Excel w obliczeniach naukowych i in$ynierskich

równania kwadratowe, 135

pierwiastki, 313

równania nieliniowe, 135
równania ró,niczkowe, 207

dok@adno8a rozwi+zania, 217
metoda Rungego-Kutty, 322
metody analitycznego rozwi+zywania

równaB ró,niczkowych, 207

rz+d równania, 207
warunki brzegowe, 207
warunki pocz+tkowe, 207
zagadnienie pocz+tkowe, 208

równania ró,niczkowe cz+stkowe, 227

metoda nadrelaksacji, 230
metoda ró,nic skoBczonych, 228
metoda siatek, 228
metody numeryczne oparte na schematach

ró,nicowych, 236

równania eliptyczne, 228
równania hiperboliczne, 228
równania mieszane, 227
równania paraboliczne, 228, 234
schemat jawny, 236
schemat niejawny Cranka-Nicolsona, 237

równania ró,niczkowe zwyczajne, 207

dok@adno8a metod ca@kowania równaB

ró,niczkowych, 219

dopasowanie warunku brzegowego, 221
metoda ró,nic skoBczonych, 224
metoda Rungego-Kutty, 217
metoda strza@ów, 221
modyfikacje metody Eulera, 213
rozwi+zywanie zagadnienia pocz+tkowego

metod+ Eulera, 208

zagadnienie brzegowe, 220

równanie izotermy Langmuira, 185, 204
równanie kinetyki chemicznej, 208
równanie Laplace’a, 228
równanie van der Waalsa, 84
równo8a liczb zespolonych, 252
RӌN.LICZB.ZESP, 372
ró,niczkowanie numeryczne, 89

aproksymacje, 90, 93
bezpo8rednie oszacowanie warto8ci pochodnych

na podstawie danych pomiarowych, 92

dane pomiarowe, 92
funkcje aproksymuj+ce, 93
obliczanie pochodnej funkcji danej wzorem, 91
pochodna, 89
pochodne drugiego i wy,szych rz7dów, 90
punkt przegi7cia, 90
punkty krytyczne, 90
ró,nice centralne, 90
ró,nice przednie, 90
ró,nice wsteczne, 90
szereg Taylora, 91

RSQ, 359
rz+d równania ró,niczkowego, 207

S

schemat Hornera, 312
schemat jawny, 236
schemat niejawny Cranka-Nicolsona, 237
ScrollBar, 331
ScrollBars, 339, 340
SEARCH, 367
SECOND, 374
SEKUNDA, 374
Select, 297, 298
Select Case, 307
Selection, 298, 321
SERIESSUM, 126, 351
Set, 300
ShowDropButtonWhen, 340
SIGN, 352
SILNIA, 25, 112, 124, 350
SILNIA.DWUKR, 350
Sin, 294
SIN, 350
SIN.LICZBY.ZESP, 256, 372
Single, 290
SINH, 350
skalarne mno,enie macierzy, 40
SKEW, 365
sk@adnia odwo@aB strukturalnych, 58
sk@adniki szeregu, 121
skoroszyt, 13

arkusze, 13
skoroszyt makr osobistych, 286

SKOƒNOƒ‡, 365
SLOPE, 357
SMALL, 357
SmallChange, 339
Solver, 115, 150, 158

korelacja nieliniowa, 203
regresja nieliniowa, 196
rozwi+zywanie równaB nieliniowych, 149, 151, 159
rozwi+zywanie uk@adu równaB liniowych, 133

sortowanie, 262
SpinButton, 331
Spinner, 331
sposób wy8wietlania danych, 15
SPRAWD.PRÓG, 372
SPRZVŒ.LICZBY.ZESP, 250, 372
Sqr, 288, 294
SQRT, 293, 350
SQRTPI, 324, 350
sta@a dysocjacji K

c

kwasu azotowego w metanolu, 199

sta@e liczbowe, 14, 16
sta@e logiczne, 14, 16
sta@e tablicowe, 17, 30, 38
sta@e tekstowe, 17
STANDARDIZE, 357
STDEV, 358
STDEV.P, 357
STDEV.S, 358

Skorowidz

389

STDEVA, 358
STDEVP, 357
Step, 308
Step Into, 311
Step Out, 311
Step Over, 311
sterowanie wykonaniem kodu, 305
STEYX, 359
STOPNIE, 82, 351
stos wywo@aB procedur, 311
Str, 294
String, 290
struktura tabeli, 58
styl A1, 34, 296
styl adresowania komórek, 17
styl R1C1, 17
styl W1K1, 17, 34, 296
Style, 340
Sub, 283, 284
SUBSTITUTE, 367
SUBTOTAL, 351
SUM, 351
SUMA, 24, 43, 54, 138, 351
suma regresyjna, 180, 182
suma resztkowa, 179
suma szeregów, 123
SUMA.ILOCZYNÓW, 56, 172, 351
SUMA.JEŒELI, 351
SUMA.KWADRATÓW, 55, 133, 351
SUMA.LICZB.ZESP, 373
SUMA.SZER.POT, 351
SUMA.WARUNKÓW, 351
SUMA.X2.M.Y2, 351
SUMA.X2.P.Y2, 351
SUMA.XMY.2, 198, 351
SUMA_KOLOR, 326
SUMIF, 351
SUMIFS, 351
SUMPRODUCT, 351
SUMSQ, 351
SUMX2MY2, 351
SUMX2PY2, 351
SUMXMY2, 351
SUMY.CZVƒCIOWE, 274, 275, 351
SUMY.POƒREDNIE, 274, 275, 351
system dwójkowy, 243
system liczbowy, 243
system ósemkowy, 243
system pozycyjny, 243
system szesnastkowy, 243
szczególne rozwi+zania równania ró,niczkowego, 207
szereg funkcyjny, 122
szereg geometryczny, 121
szereg liczbowy, 121
szereg Maclaurina, 122
szereg naprzemienny, 122
szereg pot7gowy, 121, 122, 126
szereg Taylora, 91, 122

SZESN.NA.DWÓJK, 373
SZESN.NA.DZIES, 244, 373
SZESN.NA.ÓSM, 373
Szukaj wyniku, 115, 116, 150, 158

rozwi+zywanie równaB nieliniowych, 149

SZUKAJ.TEKST, 367

?

8redni b@+d warto8ci, 179, 195
ƒREDNIA, 29, 365
ƒREDNIA.A, 365
ƒREDNIA.GEOMETRYCZNA, 365
ƒREDNIA.HARMONICZNA, 365
ƒREDNIA.JEŒELI, 365
ƒREDNIA.WARUNKÓW, 365
ƒREDNIA.WEWN, 365
8rednik, 24, 38

T

T, 368
T.DIST, 364
T.DIST.2T, 364
T.DIST.RT, 364
T.INV, 364
T.INV.2T, 364
T.TEST, 365
Tabela, 67
Tabela danych, 67
tabele, 19, 57, 215, 261

definiowanie, 57
dodawanie kolumn i wierszy, 61
elementy sk@adowe, 58
formu@y tablicowe, 62
INDEKS, 62
@+czenie specyfikatorów kolumn, 59
odwo@ania strukturalne, 57, 58
operatory odwo@ania, 59
predefiniowane specyfikatory wierszy, 59
PRZESUNIVCIE, 62
ukrywanie nag@ówków kolumn, 61
usuwanie kolumn i wierszy, 61
wstawianie, 57
zmiana nazwy tabeli, 61

tablice, 37, 300

adresy skrajnych komórek, 38
deklaracja, 300
dynamiczne generowanie tablic o zadanym

rozmiarze, 50

elementy, 37
indeks pocz+tkowy, 300
konwersja tablicy dwuwymiarowej

w jednowymiarow+, 320

@+czenie tablic, 48
nazwy, 38, 39
odwo@ania do elementów, 44
odwo@ania do pocz+tkowych elementów, 48

390

Excel w obliczeniach naukowych i in$ynierskich

tablice

operacje, 38, 39
rozmiar tablicy, 301, 302
separatory, 38
tablice wielowymiarowe, 300
transpozycja, 41
wprowadzanie, 38
zakres indeksów, 301

tablice dynamiczne, 52

stosowanie, 54

tablice funkcji dwu zmiennych, 69
tablice funkcji jednej zmiennej, 65, 163

przeszukiwanie, 163
tablice funkcji jednej zmiennej okre8lonej

w sposób niejawny (uwik@any), 68

tablice mieszane, 48
Tan, 294
TAN, 351
TANH, 351
TDIST, 364
tekst, 15
TEKST, 368
Tekstowy, 15
TERAZ, 374
TEST.CHI, 365
TEST.F, 365
TEST.T, 365
TEST.Z, 366
testowanie makropoleceB, 310
TEXT, 368
TextAlign, 337, 339, 341
TextBox, 331
Then, 306, 307
TIME, 373
TIMEVALUE, 373
TINV, 364
To, 308
TODAY, 373
Toggle Breakpoint, 311
ToggleButton, 331
Top, 337
TRANSPONUJ, 41, 52, 353
transport masy lub ciep@a, 234
TRANSPOSE, 353
transpozycja macierzy, 41
TREND, 360
trend liniowy, 169
TRIMMEAN, 365
TripleState, 337, 341
TRUNC, 349
tryb projektowania, 311
tryb wy8wietlania formu@, 16
TTEST, 365
tworzenie

tablice funkcji dwu zmiennych, 69
tablice funkcji jednej zmiennej, 65
tablice funkcji jednej zmiennej okre8lonej

w sposób niejawny (uwik@any), 68

tablice mieszane, 48
wykresy punktowe, 77

TYP, 355
TYPE, 355
typy danych, 13

VBA, 290

U

UBound, 294, 301, 302
UFNOƒ‡, 366
UFNOƒ‡.NORM, 366
UFNOƒ‡.T, 366
uk@ad równaB liniowych, 41, 131

macierze, 131
rozwi+zanie, 131, 132
zapis uk@adu równaB, 131

uk@ad równaB nieliniowych, 153

metoda minimalizacji sumy kwadratów, 154
metoda Newtona-Raphsona, 160
minimum, 155
rozwi+zanie, 156
Solver, 159
uk@ad z@o,ony z dwu równaB, 153
uk@ad z@o,ony z trzech i wi7cej równaB, 159

uko8niki, 14
uko8niki wsteczne, 38
ukrywanie nag@ówków kolumn, 61
u@amki algebraiczne, 26
U@amkowy, 14
Union, 297
uruchamianie makropoleceB, 283, 286, 310
usuwanie nazwy, 18
Utwórz z zaznaczenia, 19, 20

V

Val, 314, 325
Value, 295, 339, 341
VALUE, 368
VAR, 366
VAR.P, 366
VAR.S, 366
VARA, 366
Variant, 290, 304, 324
VARP, 366
VARPA, 366
VBA, 8, 281

And, 293
argumenty, 284
As, 289, 290
Dim, 289, 290
Do...Loop, 309
Eqv, 293
For Each ... Next, 309
For...Next, 308
Function, 283
funkcje, 283, 284, 288, 294

Czytaj dalej...

Skorowidz

391

funkcje definiowane przez u,ytkownika, 302
If, 306
Imp, 293
instrukcja przypisania, 291
instrukcje warunkowe, 305
Is, 292, 308
komentarze, 310
komórka aktywna, 298
komunikaty b@7dów, 305
koniec linii, 287
Like, 292
makropolecenia, 283
metody, 297
modu@y, 285
nazwy, 287
Not, 293
obiekty, 295
operatory, 292
operatory porównania, 308
Option Explicit, 291
Or, 293
parametry, 284
pasek narz7dzi Debug, 311
p7tle, 308
podprogramy, 282, 283, 284
ReDim, 301
Select Case, 307
Sub, 283, 284
tablice, 300
testowanie makropoleceB, 310
Then, 306
typy danych, 290
uruchamianie makropoleceB, 310
wprowadzanie kodu, 287
wymiana informacji z arkuszem, 298
wyra,enia, 291
wywo@anie rekurencyjne, 284
Xor, 293
zaznaczenie, 298
zmienne, 289
zmienne lokalne, 288

Visual Basic, 281
Visual Basic for Applications, 8, 281
VLOOKUP, 354

W

W1K1, 17, 34, 296
WARIANCJA, 366
wariancja pomiaru, 179
wariancja resztkowa, 179
WARIANCJA.A, 366
WARIANCJA.POPUL.A, 366
WARIANCJA.PRÓBKI, 366
warto8ci logiczne, 15
WARTOƒ‡, 368
Watch, 311
Watch Window, 311

WEIBULL, 364
WEIBULL.DIST, 364
wektor, 37
wersja Excela, 11, 325
Width, 337, 344
WIELOMIAN, 352
wielomian interpolacyjny, 170
wielomian Lagrange’a, 170, 175
WIERSZ, 33, 51, 102, 118, 125, 354
wiersze, 13, 31
Wklej, 27
w@a8ciwo8ci, 295

tylko do odczytu, 295

WordWrap, 337, 339, 341
Workbook, 295
Worksheet, 295
WorksheetFunction, 295, 325
wprowadzanie

formu@y tablicowe, 42
kod VBA, 287

WSP.KORELACJI, 366
wspó@czynnik determinacji, 79, 180
wspó@rz7dne biegunowe, 80
Wstaw funkcj7, 24, 289
wstawianie tabeli, 57
WYBIERZ, 49, 136, 354
wyk@adnicza postaa liczby zespolonej, 252
wykresy, 75

linia trendu, 78
model linii trendu, 79
regresja, 78
wykresy liniowe, 76
wykresy radarowe, 76, 80, 81
wykresy XY, 76

wykresy dynamiczne, 85

krzywe Lissajous, 85

wykresy powierzchniowe, 76, 83

p@aski wykres izolinii, 83
zredukowane równanie stanu gazu van der

Waalsa, 83

wykresy przebiegu w czasie, 86

wielko8a wykresu, 87
wygl+d wykresu, 87
zmienno8a g7sto8ci pierwiastków, 87

wykresy punktowe, 76

przygotowanie danych, 76
punkty po@+czone lini+, 78
tworzenie, 77

wyliczanie adresów, 33
wymiana informacji mi7dzy arkuszem a kodem VBA,

298

wype@nianie odwo@aB strukturalnych, 62
wyra,enia, 16, 291
wyró,nik rozwi+zywanie równania kwadratowego, 135
WYST.NAJCZVƒCIEJ, 367
WYST.NAJCZVƒCIEJ.TABL, 367
WYST.NAJCZVƒCIEJ.WART, 367
WYSZUKAJ, 126, 164, 273, 354