Modelowanie przetwornika elektromagnetycznego

Parametry przetwornika:
m = 0,25[kg]; k = 600; b = 3*10

-3

[m]; D = 0,015; a = 1*10

-3

[m]; z = 50; S = 400*10

-6

[m

2

];

R = 5[Ω]; U = 20[V]; μ

0

= 4π10

-7

;

Długość szczeliny powietrznej:

l

 x=2 ab−x

Indukcyjność cewki:

L

 x=

z

2

R



=

z

2

R



0

R



Fe

≈

z

2

R



0

=

z

2



0

S

l

 x

=

z

2



0

S

2

ab−x

Model matematyczny przetwornika:

m

d

2

x

dt

2

kxD

dx
dt

−F

em

=0

d

 x ,t 

dt

iR−U =0

przy czym:

 x , t=L  x , t it

d



dt

=L  x

di
dt



d L

 x 

dt

i

W powyższym równaniu występują różniczki dwóch zmiennych po czasie dokonując podstawienia:

dt

=

dx
v

otrzymuje się postać:

d



dt

= L x 

di
dt



dL

 x

dx

i v

pochodna indukcyjności względem zmiennej x wynosi:

dL

 x

dx

=

z

2



0

S

2

 ab− x

2

Siłę F

em

występującą w równaniu mechanicznym wylicza się z pochodnej koenergii magnetycznej cewki:

F

em

=

dW

 x '

dx

Koenergia zgromadzona w cewce:

W

 x'=

1

2

L

 x i

2

Zatem siła F

em

wynosi:

F

em

=

1
2

dL

 x

dx

i

2

=

z

2



0

S

4

 ab− x

2

i

2

Siłę F

em

można także wyznaczyć ze wzoru na ciśnienie magnetyczne p

m

:

F

em

=2 pm S

gdzie

pm

=

B

2

2



0

Indukcję B można wyznaczyć z prawa Gausa:

B

=



S

=



R

 0

S

=

i z

l



0

S

S

=

i z



0

2

ab− x

zatem wzór na siłę F

em

będzie miał postać:

F

em

=2

i z

0



2

4

ab−x

2

1

2



0

S

=

z

2



0

S

4

ab−x 

2

i

2

Jak widać obie metody wyznaczania siły F

em

prowadzą do identycznej zależności.

Uwzględniając powyższe, równania stanu opisujące model będą miały postać:

dx

dt

=v

dv

dt

=

F

em

−k x−D v

m

di
dt

=

U

−R i−

dL

 x

dx

i v

L

 x

Całkując numerycznie powyższe równania dostaje się przebiegi prądu i drogi z których można także wyliczyć przebieg
siły i indukcyjności.

Skrypt Matlaba całkujący powyższe równania ma następującą postać:

% ---- Elektromagnes 2007.03.01 -----------------------

clear

all

; clc; close

all

;

global

a b D k m R U mi0 S z

% ---- Dane -------------------------------------------

m = 0.25; k = 600; b = 3e-3; D = 0.015; a = 1e-3;
z = 50; S = 400e-6; R = 5; U = 20; mi0 = 4e-7*pi;

% ---- calkowanie -------------------------------------

t0=0; tk=0.5;

ts=[t0 tk];
x0=[0 0 0];

options=odeset(

'RelTol'

,1e-2);

tic

[t,y]=ode45(

'model'

,ts,x0,options);

toc

% ----Obliczanie wynikow ---------------------------------

x=y(:,1); v=y(:,2); i=y(:,3);

L = (z^2*S*mi0)/2./(a+b-x);
Fe=(z^2*S*mi0)/4./((a+b-x).^2).*(i.^2);

% ---- Prezentacja wynikow -------------------------------

figure(1); plot(t,b-x); grid;

xlabel(

'Czas [s]'

);

ylabel(

'Odleglosc zwory od rdzenia [m]'

);

title(

'Przebieg czasowy odleglosci zwory'

);

figure(2); plot(b-x,L); grid;

xlabel(

'Odleglosc zwory od rdzenia [m]'

);

ylabel(

'Indukcyjnosc [H]'

);

title(

'Zaleznosc indukcyjnosci od odleglosci zwory'

);

figure(3); plot(t,i); grid;

xlabel(

'Odleglosc zwory od rdzenia [m]'

);

ylabel(

'Prad [A]'

);

title(

'Zaleznosc pradu cewki od odleglosci zwory'

);

figure(4); plot(b-x,Fe); grid;

xlabel(

'Odleglosc zwory od rdzenia [m]'

);

ylabel(

'Sila [N]'

);

title(

'Zaleznosc sily przyciagania od odleglosci zwory'

);

function

dy = model( t, y )

dy=zeros(3,1);

global

a b D k m R U mi0 S z

x=y(1); v=y(2); i=y(3);

L = (z^2*S*mi0)/(2*(a+b-x));
dL =(z^2*S*mi0)/(2*(a+b-x)^2);

u=U*sin(2*pi*50*t);

Fe=((z^2*S*mi0)/(4*(a+b-x)^2))*i^2;

% ---- Rownania rozniczkowe --------------

if

x<=b

dy(1) = v;

dy(2) = (Fe-k*x-D*v)/m;

else

dy(1) = 0;
dy(2) = 0;

end

dy(3) = (U-R*i-dL*i*v)/L;

% -----------------------------------------