1 

 

Implied (risk neutral) probabilities, and betting odds 

 

Fabrizio Cacciafesta      (University of Rome "Tor Vergata") 

 
 

ABSTRACT  -  We show that the well known equivalence between the "fundamental theorem of asset pricing" 
and the "dutch book argument" consists, in reality, of two parts: the first concerning the existence of a risk free 
investment,  and  the  second  the  possibility  of  arbitrages.  We  show  how  the  "implied  probabilities"  of  an  odds 
system may be used to rate the bookmaker's fairness.  

 
 
1. 

Reference  is  to  the  well  known  analogy  between  the  "dutch  book"  argument, 

according to which a system of betting odds allows no sure wins if and only if the "implied 
probabilities" are formally coherent, and the  fundamental theorem of  assets pricing (FTAP). 
This  last  states  that  in  a  market  where  one  euro  may  be  alternatively  invested  to  give  the 
random  amount  S  or  the  certain  amount  r,  no  arbitrage  is  possible  if  and  only  if  a  (risk 
neutral

: "r.n.") probability distribution exists for which 

  
(1) 

 

 

 

           

   E[S] = r 

 
and for which the non zero probability events are the really possible ones. Moreover, there is 
only one such distribution if and only if the market is "complete". 
 

We consider the typical (although not the most general) case, in which an odds system 

{q

i

}

 

corresponding  to  some  "partition  of  reality"  {E

i

}  is  given:  a  family  of  n  mutually 

exclusive events is defined, one of which must necessarily occur; and someone offers to pay 
q

i

 (>1) euro if event E

i

 occurs to anyone that has bet one euro on this fact. Then, the implied 

probabilities

  are defined as 

 
(2) 

 

 

 

 

p

i

 = Prob(E

i

) = 1/q

i

               (i= 1, 2, …, n).  

 
Under our hypothesis every p

i

 is in (0, 1), but nothing insures that  P = ∑p

i

 is 1

1

. 

 

Now, the bets portfolio made up by betting, for every i, 

 

(3) 

 

 

 

 

a

i

 = 

∑ ∏

∏

≠

≠

h

h

j

j

i

j

j

q

q

 

 
euro  on  the  event  E

i

,  has  cost  1,  and  the  winning  that  it  yields  is  in  any  case  1/P:  so,  if  it 

happens that P ≠ 1 (i.e., the "implied probabilities" are not formally  "probabilities") there is 
some  space  for  a  sure  gain  for  some  one.  The  quantity  1/P  has  the  meaning  of  a  risk-free 
accumulation factor (although not necessarily bigger than 1).  
 

If 1/P is bigger than 1, a "dutch book" can be created: whoever bets according to the 

proportions (3) will receive more than the amount paid. If, conversely, 1/P is smaller than 1, 
the  situation  is  more  questionable:  by  selling  that  portfolio,  an  operator  receives  more  than 
what  he  will  have  to  pay.  To  adopt  this  strategy,  he  must  be  allowed  to  accept  bets  at  the 
given  prices,  but  in  the  exact  quantities  he  wishes  (which  is  not  possible  for  a  professional 

                                                 

1

 This is the only condition of coherence we must care about, because we are considering bets on mutually 

exclusive events.  

 

2 

bookmaker).  This  reminds  one  of  the  possibility  of  selling  the  risk  free  asset  short  in  a 
financial market. 
 

If we accept this as true, we conclude that in a bets market, the implied probabilities 

exist if and only if there is no possibility for a riskless investment

2

.  

 

  

 
2. 

Now, let us think of a bookmaker who forecasts that, for any i, c

i

 euro will be bet on 

the  event  E

i

.  If  he  wants  to  keep  for  himself  the  fraction  1−k  of  the  total  income,  his 

equilibrium will be safe if he offers odds according to the equalities: 
 
(4) 

 

 

 

 

k

 ∑ c

i

 = q

1

c

1

 = ... = q

n

c

n

. 

 
 

Quantity k is connected to the implied probabilities by the elementary relation 

 

  

(5) 

 

 

 

 

 

k

 = 1/P.  

 

 

So, if we normalize the (p

i

) by putting 

 
(6) 

 

 

 

 

 

p

i

* = kp

i

 

 
we get a set of "probabilities" (p

i

*

) (they add up to 1 also when the p

i

 don't) for which it 

results 
 
(7) 

 

 

 

 

p

i

*q

i 

= k            for every i. 

 

  

 

This shows that the mean value - calculated with respect to the (p

i

*) - of the winning a 

bettor that has placed one euro on one (whichever) of the (E

i

) can expect is equal to the risk-

free accumulation factor 1/P. Then the normalized implied probabilities appear to correspond 
to the r.n. probabilities of the FTAP. 
 
 
3.    

As for the relations between existence of r.n. probabilities and possibilites of arbitrage 

in a bets market: we remember that the FTAP gives a necessary and sufficient condition for 
the existence of (at least) one probability distribution satisfying the equation (1), in which the 
factor r and the random  quantity S  are supposed  to be  given.  If, in much  the same way, we 
look for the existence of a solution for the system of n+1 equations: 
 

(8) 

 

 

 

 

 







=

=

=

∑

)

,...,

2

,

1

(

*

1

*

n

i

k

q

p

p

i

i

i

i

 

 
where (q

i

) and k are given and (p

i

*) are the unknown, we find that a necessary and sufficient 

condition for it is given by: 
 

(9) 

 

 

 

 

 

k

 = 

∑ ∏

∏

≠

h

h

j

j

j

j

q

q

. 

 

                                                 

2

 We mean: an investment that yields in any case the same non zero rate of return. 

 

3 

 

This relation is also a condition of "no arbitrage". To see this, we must suppose that an 

odds  system  (q

i

)  is  proposed  within  a  bets  market  in  which  the  parameter  k  is  given 

independently  from  those  odds:  imagine  a  situation  in  which  two  different  bookmakers 
propose their odds for the same partition of the reality, so that one can compare the k given 
(via (9)) by one system, with the odds of the other. 
 

In this situation, consider an operator which can freely buy and sell bets according the 

two different bet odds: no arbitrage is actually possible for him if and only if (9) holds. 
 

The analogies with the FTAP framework may be completed as follows.  

 

Suppose  that,  in  (8),  some  (two  at  least)  of  the  (q

i

)  are  0.  Then  the  system  will 

generally  admit  more  than  a  solution.  This  situation  corresponds  to  that  of  a  non  complete 
financial market. 
 

Suppose now that the system (8) is to be considered in a situation in which the actually 

possible  events  E

i 

are  in  number  of  m  ≠  n.  In  this  case,  the  implied  probabilities  are  not 

"equivalent" to the real  ones, and  arbitrages are  possible (for  m>n, in some case the bookie 
will pay 0; for m<n, the same bookie will have to pay with a bigger probability than he had 
accounted for). 
 
 
4.  

Conclusions are: "implied probabilities" exist if and only if no operator can count on a 

sure  winning;  "normalized  implied  probabilities"  always  exist,  but  the  question  is,  whether 
they are or not coherent with the - exogeneously given - parameter k. 
 

When  they  exist,  implied  probabilites  have  the  exact  meaning  of  the  "risk  neutral" 

probabilities  the  FTAP  deals  about.  So,  some  doubts  about  their  informative  content  is 
legitimate.  They  are  indeed  directly  connected  with  how  the  bettors  distribute  their 
preferences, and not with what would maybe more interesting to know: that is, some kind of 
"objective",  or  "real",  or  in  any  case  in  no  way  biased  by  the  operators'  risk  aversion, 
probability of the events. 
 

It is maybe more meaningful to use k to rate the bookmaker's fairness. It is a parameter 

every one can calculate. The quantity 1−k has the meaning of price at which the bookmaker 
sells the risk the bettors buy. 
 
 
 
 

Bibliography 

 

N.H. BINGHAM - R. KIESEL, Risk Neutral Valuation, Springer (1998) 
M.L. EATON - D.A. FREEDMAN, Dutch Book against some 'Objective' Prior, Bernoulli 
(10) 2004 
D.P. ELLERMAN,  Arbitrage Theory: a Mathematical Introduction; SIAM Review (26)