Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powiela-
nie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przy-
padku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia
praw autorskich.
Copyright © Wydawnictwo Maurycy
MATEMATYKA
WYDZIAA
MATEMATYKI  TEST 2
Poniższy test składa się z 50 pytań wielokrotnego wyboru (każde z nich może mieć jed-
no, dwa, trzy lub brak prawidłowego rozwiązania). Czas na rozwiązanie 120 minut.
1. Suma cyfr liczby całkowitej N jest równa 87654321. Wynika z tego, że liczba N jest po-
dzielna przez:
a) 3;
b) 6;
c) 9.
2. Liczba płaszczyzn symetrii czworościanu foremnego jest równa:
a) 3;
b) 6;
c) 9.
3. W kąt o wierzchołku A wpisano okrąg o środku O styczny do ramion kąta w punktach K i
L. Wynika z tego, że:
a) w czworokąt OKAL można wpisać okrąg;
b) na czworokącie OKAL można opisać okrąg;
c) czworokÄ…t OKAL ma dwie osie symetrii.
n2 + a +1
4. Ciąg nieskończony (an), gdzie an = , jest:
2 - n2
a) rosnÄ…cy;
b) ograniczony;
c) zbieżny.
5 Funkcja f dana jest wzorem f (x) = x + x3 + x5 + ... + x50. Wtedy:
ëÅ‚1öÅ‚
a) f e" 1;
ìÅ‚2÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚1öÅ‚ 2
b) f d" ;
ìÅ‚2÷Å‚
3
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚1öÅ‚ 1.
c) f e"
ìÅ‚2÷Å‚
3
íÅ‚ Å‚Å‚
6. Wielościan W ma osiem ścian i wszystkie krawędzie długości 1. Wynika z tego, że:
a) wszystkie jego ściany są trójkątami;
b) wszystkie jego ściany są wielokątami foremnymi;
c) jego objętość jest większa od 1.
186
Ä„
ëÅ‚0; öÅ‚
7. Równanie logsin2 cos2x = 1 w przedziale :
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
a) nie ma rozwiązań;
b) ma dokładnie jedno rozwiązanie
c) ma nieskończenie wiele rozwiązań.
8. Okręgi o1 i o2 przecinają się. Styczne do tych okręgów, poprowadzone w jednym z ich
punktów przecięcia są prostopadłe. Wynika z tego, że:
a) środek jednego z okręgów leży na drugim okręgu;
b) środek jednego z okręgów leży wewnątrz drugiego okręgu;
c) prosta przechodząca przez oba punkty przecięcia okręgów o1 i o2 jest symetralną
odcinka łączącego ich środki.
9. Kąty trójkąta ABC spełniają warunek sin " ABC = 2sin "ACB. Wynika z tego, że stosunek:
a) miar pewnych dwóch kątów trójkąta ABC jest równy 2;
b) miar pewnych dwóch kątów trójkąta ABC jest większy od 2;
c) długości pewnych dwóch boków trójkąta ABC jest równy 2.
10. Niech a = log1110, b = log1310, c = log710. Suma odwrotności liczb a, b i c jest liczbą:
a) całkowitą;
b) większą od 3;
c) mniejszÄ… od 4.
11. Na to, by dwa stożki były bryłami podobnymi wystarczy, żeby:
a) miały te same objętości;
b) ich przekroje osiowe były figurami podobnymi;
c) ich podstawy były figurami podobnymi.
12. Funkcja f dana wzorem f (x) = cos 2x + 2 sin2 x  1:
2Ä„
a) jest równa 1 dla x = ;
3
b) dla każdego x spełnia warunek f (x) = f ( x);
c) dla każdego x spełnia warunek f (x) =  f ( x).
13. Rzucamy jeden raz kostką do gry. Zdarzenie A to wyrzucenie liczby oczek będącej liczbą
pierwszą, zdarzenie B to wyrzucenie nieparzystej liczby oczek. Wówczas:
a) P(A) = P(B);
b) zdarzenia A i B są niezależne;
c) P(A \ B) = P (B \ A).
14. Na płaszczyz
nie umieszczono okręgi o1 i o2 o różnych promieniach r1 i r2 w taki sposób,
że każda prosta przecinająca okrąg o1 w dwóch punktach przecina też okrąg o2. Wynika
stąd, że:
a) r1 < r2;
b) okręgi o1 i o2 nie mają żadnego punktu wspólnego;
c) r1 > r2.
15. Dane są liczby a = 1999!, b = 199 + 9, c = 1! + 9! + 9! + 9!, d = 191999!. Wynika z tego, że:
a) a + b + c + d jest liczbÄ… nieparzystÄ…;
b) abcd jest liczbÄ… nieparzystÄ…;
c) prawdziwe są nierówności a < b < c < d.
187
16. Trójkąt prostokątny równoramienny o polu 1 jest obracalny wokół prostej zawierającej
jedną z przyprostokątnych. W wyniku obracania powstaje bryła B. Wynika z tego, że:
a) objętość bryły B jest większa od 2 2 ;
b) objętość bryły B jest mniejsza od Ą ;
c) pole powierzchni całkowitej bryły B jest większe od 4Ą.
17. Na to, by trójmian kwadratowy ax2 + bx + c miał dwa pierwiastki rzeczywiste różnych
znaków:
a) potrzeba i wystarcza, by ac < 0;
b) potrzeba i wystarcza, by ac < 0 i b2  4ac > 0;
c) wystarcza, by c < 0.
18. Reszta z dzielenia wielomianu x1999  1 przez wielomian x2  1 jest:
a) równa x  1;
b) wielomianem o współczynnikach wymiernych;
c) równa reszcie z dzielenia wielomianu x2001  1 przez wielomian x2  1.
19. Liczba n jest całkowita i dodatnia. Wynika z tego, że:
a) n2 + n + 1 jest liczbÄ… pierwszÄ…;
b) n2 + n + 2 jest liczbą złożoną;
c) n2 + 2n + 3 nie jest kwadratem liczby całkowitej.
20. W czworokÄ…cie ABCD suma miar przeciwlegÅ‚ych kÄ…tów jest równa 180°. Wynika z tego,
że:
a) " ADB = " ACB;
b) " ACD = " CDA;
c) " BAC + " CBD + " DCB = 180°.
21. Dane są trzy płaszczyzny, z których żadne dwie nie są równoległe. Wynika z tego, że:
a) istnieje dokładnie jedna kula styczna do wszystkich tych płaszczyzn;
b) istnieje nieskończenie wiele kul stycznych do wszystkich tych płaszczyzn;
c) istnieje punkt wspólny wszystkich tych płaszczyzn.
Ä„
22. Ciąg nieskończony (an), gdzie an = sin jest:
1+ n
a) ograniczony;
b) zbieżny;
c) malejÄ…cy.
23. Liczba pierwiastków równania |x2 + m| + x + m = 0, gdzie m jest parametrem:
a) zależy od m;
b) dla pewnej wartości m jest równa 0;
c) dla pewnej wartości m jest równa 4.
24. Wielomian w(x) jest równy x3 + 14x + 10. Wtedy wielomian:
a) f (x) = w(x)  w(5) ma pierwiastek, który jest liczbą całkowitą;
b) w(x) ma pierwiastek, który jest liczbą całkowitą;
c) g(x) = w(x) + 5 ma pierwiastek, który jest liczbą całkowitą.
188
1 1
25. W zbiorze liczb rzeczywistych równanie + = a, gdzie a jest parametrem:
sin2 x cos2 x
a) ma co najmniej 3 różne pierwiastki dla a = 1999;
b) ma co najmniej 1999 różnych pierwiastków dla a = 4;
c) nie ma pierwiastków dla a < 4.
26. Długość boków trójkąta ABC są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie q,
który jest liczbą wymierną. Wynika z tego, że:
a) trójkąt ABC jest równoboczny;
b) kosinus co najmniej jednego z kątów jest liczbą wymierną;
5 +1.
c) q <
2
27. Powierzchnia boczna stożka S, po rozcięciu i rozprostowaniu na płaszczyz
nie jest połową
pewnego kąta. Wynika z tego, że:
a) kÄ…t nachylenia tworzÄ…cej stożka S do pÅ‚aszczyzny podstawy ma miarÄ™ 60°;
b) stosunek powierzchni bocznej stożka S do pola jego podstawy jest równy 2;
c) przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym.
28. Liczba 22 Å" 33 Å" 55 ma:
a) 48 różnych dzielników parzystych;
b) nieparzystą liczbę wszystkich dzielników;
c) niewymierny pierwiastek kwadratowy.
29. Dane są dwa nieskończone rosnące ciągi arytmetyczne liczb naturalnych, pierwszy o róż-
nicy r1, drugi o różnicy r2. Żadna liczba nie należy jednocześnie do obu ciągów. Wynika z
tego, że:
a) r1 = r2;
b) r1 i r2 sÄ… obie parzyste lub obie nieparzyste;
c) r1 i r2 nie mają wspólnych dzielników różnych od 1.
30. Funkcja f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem
f (x) = x2 sin a - 2xcosa - sin a, gdzie a jest parametrem. Wynika z tego, że:
a) funkcja f ma przynajmniej jedno miejsce zerowe;
b) istnieje taka wartość a, że f przyjmuje każdą wartość rzeczywistą;
c) funkcja f dla każdej wartości a ma dokładnie dwa miejsca zerowe.
31. Układ równań
Å„Å‚
x +1 + a = y
òÅ‚
2
ółx + 2x + y = 0
gdzie a jest parametrem, jest spełniony:
a) dla każdej ujemnej wartości a przez co najmniej jedną parę liczb rzeczywistych (x,
y);
b) dla pewnej wartości a przez co najmniej 4 pary liczb rzeczywistych
(x, y);
c) dla a " (-1; 1) przez dokładnie dwie pary liczby rzeczywistych (x, y).
189
32. Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu arytmetycznego są liczbami niewymiernymi.
Wynika z tego, że:
a) jego różnica jest liczbą niewymierną;
b) suma jego stu początkowych wyrazów jest liczbą niewymierną;
c) iloraz jego dowolnych dwóch wyrazów jest liczbą wymierną.
33. Trzy spośród czterech dwusiecznych kątów wewnętrznych czworokąta ABCD przecinają
się w punkcie P. Wynika z tego, że:
a) ABCD jest równoległobokiem;
b) czwarta dwusieczna przechodzi przez P;
c) na czworokącie ABCD można opisać okrąg.
34. Niech r = 1  sin 108°, s = sin 54° - cos 54°. Wynika z tego, że:
a) r e" s2;
b) r < |s|;
c) s < 0.
35. Wykresy funkcji f i g danych wzorami f (x) = x2  1 i g(x)  1  x2 dzielą płaszczyznę na
pięć części. Pole części zawierającej punkt (0, 0) jest:
a) mniejsze od 1;
b) większe od 2;
c) mniejsze od 4.
36. Losujemy kolejno (bez zwracania) dwie krawędzie czworościanu foremnego. Prawdopo-
dobieństwo wylosowania dwóch krawędzi o wspólnym końcu jest:
2;
a) większe od
3
3;
b) mniejsze od
4
4.
c) równe
5
37. Istnieje wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi,
mającymi dokładnie:
a) cztery wierzchołki;
b) pięć wierzchołków;
c) siedem wierzchołków.
38. Dla dowolnych wartości parametrów a, b, c wykres funkcji f danej wzorem
f (x) = x3 + ax2 + bx + c :
a) ma pionowÄ… oÅ› symetrii;
b) ma środek symetrii;
c) przecina pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych.
39. Wśród dowolnych 1999 różnych liczb naturalnych istnieją dwie liczby a i b o tej własno-
ści, że liczba 1999 jest dzielnikiem:
a) liczby a + b;
b) liczby a  b;
c) liczby a2  b2.
190
40. Kula o promieniu r jest styczna do każdej ze ścian wielościanu o powierzchni całkowitej
P. Wynika z tego, że objętość tego wielościanu:
a) jest równa 1 rP;
3
b) jest większa od Ą r3;
c) jest mniejsza od 4Ä„ r3.
KLUCZ ODPOWIEDZI
1. a,c 11. b 21. żadna 31. b,c
2. b 12. b,c 22. a,b,c 32. żadna
3. a,b 13. a,c 23. a,b,c 33. b
4. b,c 14. a 24. a,c 34. a,b
5. b,c 15. a 25. a,b,c 35. b,c
6. żadna 16. a,b,c 26. b,c 36. a,c
7. b 17. a,b 27. a,b 37. a,b,c
8. żadna 18. a,b,c 28. a,c 38. b,c
9. b,c 19. b,c 29. ż 39. c
10. b,c 20. a,c 30. a,b 40. a,b
191