Płaszczyzna w przestrzeni
1. Napisać równania (ogólne i odcinkowe) płaszczyzn:
1. przechodzącej przez P0 = (1, -2, 3) i prostopadłej do = [2, 3, -2];
n
2. przechodzącej przez P0 = (2, -2, 3) i równoległej do wektorów

= [2, 3, -1], b = [-3, 2, 0]
a
3. przechodzącej przez punkty P1 = (1, 0, 2), P2 = (3, -2, 1), P3 = (0, 4, -3).
3. Znalez
ć równanie płaszczyzny odcinającej na osiach układu odcinki pro-
porcjonalne do liczb 1,2,3 i oddalonej od punktu M(3, 5, 7) o 4.
4. Znalez
ć rzut punktu P = (1, 2, 4) na płaszczyznę x - 3y + 4z - 3 = 0.
5. Znalez
ć punkt B symetryczny do punktu A(5, 2, -1) względem płaszczy-
zny 2x - y + 3z + 23 = 0.
6. Znalez
ć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(2, -1, 3),
B(3, 1, 2) i równoległej do wektora = [-3, 1, 4]. Odp. 9x - y + 7z - 40 = 0.
a
7. Znalez
ć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A(-1, 5, 7) i rów-
noległej do płaszczyzny 2x - y + 5z - 1 = 0. Odp. 2x - y + 5z - 28 = 0.
8. Znalez
ć równanie płaszczyzny przechodzącej przez początek układu i pro-
stopadłej do płaszczyzn x - 2y + 5z - 7 = 0, 2x + y - z + 8 = 0. Odp.
3x - 11y - 5z = 0.
9. Dany jest czworościan o wierzchołkach A(5, 1, 3), B(1, 6, 2), C(5, 0, 4) i
D(4, 0, 6). Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez, krawędz
AB i
równoległej do krawędzi CD. Odp. 10x + 9y + 5z - 74 = 0.
10. Obliczyć odległość między równoległymi płaszczyznami 30x-32y+24z-
3
75 = 0, 15x - 16y + 12z - 25 = 0. Odp. .
2
11. Obliczyć odległość płaszczyzn 2x + 5y - z + 7 = 0, 2x + 5y - z + 12 = 0.
12. Znalez
ć równanie płaszczyzny odcinającej na osiach układu odcinki pro-
porcjonalne do liczb 1,2,3 i oddalonej od punktu M(3, 5, 7) o 4.
Odp. 6x + 3y + 2z - 19 = 0, 6x + 3y + 2z - 75 = 0.
13. Sprawdzić, czy płaszczyzna 4x - 8y + 17z - 8 = 0 należy do pęku płasz-
czyzn ą(5x - y + 4z - 1) + �(2x + 2y - 3z + 2) = 0.
14. Na krawędzi przecięcia płaszczyzny 2x - 3y + 4z - 5 = 0 z płaszczyzną
"
xOz znalez
ć punkt P oddalony o 6 od płaszczyzny 2x + y - z + 3 = 0.
15. Znalez
ć punkt B symetryczny do punktu A(5, 2, -1) względem płaszczy-
zny 2x - y + 3z + 23 = 0.
Prosta w przestrzeni
1. Napisać równania parametryczne prostej l przechodzącej przez punkty
P0 = (4, -2, -6), P1 = (2, -2, 3).
x-2 y+1 z-3
2. Znalez
ć punkty, w których prosta = = przecina płaszczyzny
-3 4 2
układu współrzędnych.
3. Wyznaczyć rzut punktu P = (2, 0, -3) na prostą x = 1+2t, y = 2-t, z =
18
1 + 4t. Odp. P = (-8, , -9).
7 7 7
4. Napisać równania prostych przechodzących przez punkty przecięcia płasz-
czyzny 3x - 2y + 6z - 6 = 0 z osiami układu współrzędnych.
5. Znalez
ć rzut punktu A(1, -2, 1) na prostą
x + 1 y + 8 z - 2
= = .
1 -1 2
6. Na prostej 2x + y + z + 8 = 0, x - 4y - 2z - 5 = 0 znalez
ć punkt P
oddalony o 5 od płaszczyzny 3x - 6y + 2z - 10 = 0.
7. Jakie kąty tworzy prosta
x - 2y + z = 0
2x + y - z = 0
z osiami układu współrzędnych?
8. Obliczyć kąt między prostymi l1 i l2:
x - 1 y - 2 z - 4 x - 3 y + 4 z - 4
l1 : = = , l2 : = = .
1 -3 2 4 3 5
3
"
Odp. � = arc cos H" 55ć%.
2 7
12. Napisać równania prostych przechodzących przez punkty przecięcia płasz-
czyzny 3x - 2y + 6z - 6 = 0 z osiami układu współrzędnych.
13. Znalez
ć rzut punktu A(1, -2, 1) na prostą
x + 1 y + 8 z - 2
= = .
1 -1 2
14. Na prostej 2x + y + z + 8 = 0, x - 4y - 2z - 5 = 0 znalez
ć punkt P
oddalony o 5 od płaszczyzny 3x - 6y + 2z - 10 = 0.