Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest bardzo popularnym typem ruchu. Dziecko na karuzeli, kamień na sznurku,
punkt na wskazówce zegara  są to typowe przykłady tego rodzaju ruchu. Rozpatrzmy zatem punkt
materialny poruszający się po okręgu.
Zauważ, że wektor wodzący naszego punktu (którego Y
dą>0
wartość jest promieniem naszego okręgu) zachowuje się jak
wskazówka zegara: nie zmienia się jego długość, tylko kąt
nachylenia względem osi układu współrzędnych.
Dlatego taki ruch bardzo wygodnie jest analizować właśnie w
r
kontekście kąta jaki zakreśla wektor wodzący.
dą<0
ą
X
Zatem na użytek tego opisu wprowadzamy kinematyczne
wielkości kątowe, które oczywiście będą ściśle związane z
wcześniej poznanymi wielkościami liniowymi. Wielkości te
wielokrotnie przydadzą nam się póz
niej przy omawianiu na
przykład dynamiki ruchu obrotowego, a nawet przy ruchu
drgającym i falach!
Przypomnijmy z matematyki, że kąty odpowiadające obrotom
przeciwnym do wskazówek zegara uznajemy za dodatnie, a
zgodnym ze wskazówkami  ujemne.
Rozpatrzmy mały  różniczkowy obrót wektora wodzącego,
któremu odpowiada przyrost kąta . Narysowałem go na
sąsiednim rysunku. Następuje tutaj oczywiście zmiana
dr
wektora wodzącego, którą zaznaczam  tradycyjnie jako .
ds
Jak wiemy zmiana ta jest  wektorkiem idealnie pasującym
do różniczki drogi (jaką zakreśla koniec wektora
Y
dą
wodzącego). Zgodnie z matematyczną definicją kąta (jako
stosunku długości drogi zakreślanej przez koniec promienia
do długości tego promienia) możemy napisać:
Chciałbym Ci zwrócić uwagę, że właśnie z tego wzoru
wynika bezwymiarowa jednostka kąta  radian [rad]:
X
& bo przecież i wyrażamy w metrach.
Uwaga: legalne rachunki w fizyce wykonujemy właśnie w
radianach i takie jednostki podstawiamy pod wszystkie
przytaczane tutaj wzory. Jeżeli gdziekolwiek napotykamy
stopnie (i minuty), zamieniamy je na radiany przed
podstawieniem do wzorów!
Wcześniejsze równanie można też przekształcić:
Zauważ, że powyższe wzory łączą  świat przemieszczeń
35
Kinematyka
Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA
Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej
liniowych ( ) ze  światem przemieszczeń kątowych
( ). Jak widać ze wzoru  pomostem pomiędzy tymi
światami jest promień okręgu (wektorowo . Wystarczy
wielkość kątową (przesunięcie , prędkość ,
przyspieszenie ) przemnożyć przez promień (też
wektorowo), wówczas otrzymamy stosowną wielkość liniową
(przesunięcie , prędkość , przyspieszenie ) Z tego
 pomostu będziemy często korzystać! Za chwilę poznamy
(powyżej wspomniane) prędkości i przyspieszenia kątowe.
Jeszcze jedno przypomnienie z matematyki: w ogólności
różniczkę kąta możemy traktować jako wektor ! Ponieważ
kąt jest związany z obrotem wokół określonej osi, ten wektor
 leży właśnie na tej osi, a jego zwrot określamy zgodnie z
regułą śruby prawoskrętnej (lub korkociągu). Po prostu
wektor ma taki zwrot, jak wkręcałaby się śruba
prawoskrętna (lub korkociąg) obracająca się zgodnie z
przyrostem kąta .
Po prawej stronie pokazałem  w perspektywie przestrzennej
 obie możliwości kierunku obrotów wektora i
odpowiadające im orientacje wektorów
Z
Na rysunku umieściłem również układ współrzędnych. Jak
widzisz ruch ciała odbywa się w płaszczyz
nie XY, natomiast
osią obrotu jest Z.
Pamiętaj też, że zgodnie z matematyką wektorami są TYLKO Y
X
małe przyrosty  różniczki kątów . Większe kąty NIE
ZACHOWUJ
się jak wektory! Jest to jedna z ciekawych
sytuacji, w których  świat różniczek jest nieco inny, niż
świat dużych przyrostów.
Mając zdefiniowane przesunięcie kątowe możemy  analogicznie jak to czyniliśmy dla wielkości liniowych 
definiować dalsze parametry kątowe: prędkość i przyspieszenie. Ponieważ operujemy na różniczkach, otrzymamy
chwilowe wartości prędkości i przyspieszeń kątowych. One też będą wektorami! Natomiast zrezygnujemy tutaj z
definiowania parametrów średnich.
36
Kinematyka
Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA
Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej
Prędkość kątowa (chwilowa) powstanie z podzielenia
różniczki kąta przez różniczkę czasu :
Jest to też wektor skierowany zgodnie z kierunkiem i
zwrotem wektora (bo czas jako dodatni skalar w tym
kontekście nic nie zmienia).
Poniżej przedstawiam jednostkę prędkości kątowej (która
wynika z podzielenia jednostki kąta przez sekundę):
Z
Prędkość kątową nazywa się też częstością (nie myl z
częstotliwością!). Czasami nazywa się ją częstością
kołową lub pulsacją.
Możemy też znalez
ć zależność pomiędzy prędkością
Y
kątową a liniową . Są to wektory wzajemnie
X
prostopadłe (zobacz rysunek po prawej). Wektor
prostopadły możemy uzyskać z pomocą iloczynu
wektorowego. Pomocą jest tutaj nasz  pomost (wektor
):
Lub w postaci skalarnej:
Nie dopisuję powyżej sinusa kąta pomiędzy wektorami
i ponieważ są prostopadłe (i sinus jest równy jeden).
Podczas dyskusji o iloczynie wektorowym, początki wszystkich wektorów umieszczaliśmy we wspólnym punkcie.
Tutaj prędkość jest  przyczepiona do poruszającego się ciała. Ale nie jest to żadem błąd, gdyż pamiętaj, że wektory
możemy swobodnie przesuwać, byle zachować ich kluczowe atrybuty (kierunek, zwrot, wartość).
Z kolei przyspieszenie kątowe będzie pochodną prędkości
kątowej po czasie:
Jest to też wektor skierowany zgodnie z kierunkiem i
zwrotem wektora (tutaj czas ponownie nic nie
zmienia).
Poniżej przedstawiam jednostkę przyspieszenia kątowego
(która wynika z podzielenia jednostki prędkości kątowej
przez sekundę):
Z
Analogiczne możemy też znalez
ć zależność pomiędzy
przyspieszeniem kątowym a liniowym . Są to również
Y
wektory wzajemnie prostopadłe (zobacz rysunek).
X
 Tradycyjnie pomocą jest tutaj nasz  pomost (wektor
):
37
Kinematyka
Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA
Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej
Lub w postaci skalarnej:
Nie dopisuję powyżej sinusa kąta pomiędzy wektorami i
ponieważ są prostopadłe.
Jak widzisz uzyskane przyspieszenie (co wynika z
iloczynu wektorowego) jest zawsze prostopadłe do
wektorów i , zatem styczne do prędkości i toru ruchu
(zerknij na rysunek). Zatem tak obliczone przyspieszenie
styczne (zgodnie z tym co mówiliśmy o przyspieszeniu
stycznym i normalnym) może wpływać na zmiany
wartości wektora .
Jak powiedzieliśmy powyżej, przyspieszenie styczne wpływa na zmiany wartości wektora prędkości. Natomiast nie
reprezentuje zmian kierunku tego wektora  z którymi wiąże się przyspieszenie normalne . Jak je obliczyć? Ogólnie
przyspieszenie obliczamy jako pochodną prędkości po czasie:
Wprowadz
my tutaj powyżej uzyskany wzór na prędkość: :
Mamy tutaj do czynienia z pochodną iloczynu. Prędkość kątowa może się zmieniać w czasie pod wpływem
wcześniej opisanego przyspieszenia kątowego. Również promień zmienia się w czasie ponieważ wiruje i swym
końcem  tropi nasze ciało w ruchu. Zatem oba wektory ( i ) mogą się zmieniać w czasie. Mamy tutaj do czynienia
z pochodną z iloczynu dwóch funkcji. Taką pochodną liczymy zgodnie z zasadą:
Musimy też  uszanować wektorowy aspekt równania i przepisywać mnożenie wektorowe z zachowaniem kolejności
czynników. Nie jest to trudne  trzeba tylko być systematycznym. Otrzymujemy zatem:
W naszym równaniu rozpoznajemy poznane wielkości: przyspieszenie kątowe: oraz prędkość: .
Wpiszmy je do równania na przyspieszenie:
Pierwsze mnożenie wektorowe to znane już przyspieszenie styczne: &
& w takim razie drugie musi być kolejną składową całego
przyspieszenia  czyli przyspieszeniem normalnym
(prostopadłym do toru): . Zwróć uwagę na
rysunek po prawej. Wynik tak skonstruowanego iloczynu
wektorowego musi być zawsze prostopadły do prędkości
i toru ruchu. Zatem rzeczywiście jest to składowa
normalna przyspieszenia . Jest też zawsze przeciwnie
38
Kinematyka
Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA
Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej
skierowana do promienia czyli ciągle skierowana do
środka okręgu. Z tego powodu nazywamy ją też
przyspieszeniem dośrodkowym :
Lub w postaci skalarnej:
Ponownie nie przepisujemy sinusa kąta pomiędzy
wektorami oraz ponieważ są wzajemnie prostopadłe.
Jest to  pełnoprawne przyspieszenie o stosownej dla tej Z
wielkości jednostce:
Y
X
Przypomnijmy, że prędkość liniową zapisaliśmy wcześniej za pomocą prędkości kątowej: stąd: . Na
podstawie tych wzorów można wyrażać przyspieszenie dośrodkowe (normalne) tylko z pomocą lub (i oczywiście
promienia ):
Zwróć uwagę, że do  istnienia przyspieszenia dośrodkowego  wystarczy prędkość i promień okręgu . Zatem
pojawia się ono zawsze, gdy tylko ciało porusza się ruchem krzywoliniowym.
Nic dziwnego  przecież przyspieszenie dośrodkowe zdaje sprawę ze zmian kierunku wektora prędkości a to zawsze
ma miejsce gdy ciało przestaje się poruszać po linii prostej.
W ogólności powyższe równania można zastosować do
innych ruchów krzywoliniowych, ponieważ zawsze do
toru takiego ruchu (linia niebieska na rysunku obok)
r
można lokalnie dopasować łuk (przerywana linia
czerwona) o określonym promieniu .
Ale wróćmy do  czystego ruchu po okręgu. Jest to ruch okresowy  ponieważ co jakiś czas ciało
wraca do punktu wyjścia  czyli ten czas odpowiada jednemu pełnemu obiegowi ciała po okręgu.
Nazywamy go okresem i wyrażamy w jednostkach czasu . Odwrotność tego czasu nazywamy
częstotliwością :
39
Kinematyka
Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA
Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej
Jak widzisz pojawiła się tutaj nowa jednostka: herc równa odwrotności sekundy. Poznane
powyżej parametry ( i ) przydają się nie tylko w opisie ruchu po okręgu ale też (podobnie jak
inne poznane powyżej wielkości) w ruchu drgającym i falach. Dlatego warto je zapamiętać. Uwaga:
nie myl wcześniej poznanej częstości ( ) z częstotliwością ( ). Ich nazwy są podobne, ale inne!
Niemniej oczywiście są od siebie zależne.
Jeżeli wartość prędkości jest stała (liniowa i kątowa ) wówczas okres ( ) i częstotliwość ( )
również się nie zmieniają. Można za ich pomocą wyrazić prędkość liniową i kątową oraz
przyspieszenie normalne (dośrodkowe). Pokazuję to poniżej:
W czasie jednego okresu ciało pokonuje cały okrąg o długości . Zatem wartość prędkości
liniowej można zapisać jako stosunek drogi do czasu:
Wiedząc, że częstotliwość jest odwrotnością okresu można też napisać:
Analogicznie możemy napisać wzory na prędkość kątową (w czasie jednego okresu ciało
pokonuje drogę kątową równą ):
& lub za pomocą częstotliwości:
Jak widzisz powyższe wzory pięknie spełniają zależność: ( pomost pomiędzy światem
liniowym i kątowym).
Z pomocą powyższych wzorów można również wyrazić przyspieszenie normalne:
Przypomnijmy, że przyspieszenie powyższe zdaje sprawę ze zmian kierunku wektora prędkości,
które mają zawsze miejsce w ruchu po okręgu.
Czas na przykład.
40
Kinematyka
Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA
Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej
Minutowa wskazówka zegara na wieży ma długość 3 m. Oblicz wszystkie możliwe parametry kinematyczne dla
punktu znajdującego się na końcu wskazówki.
Wypisujemy wielkości dane:
(długość wskazówki jest równa długości promienia
wodzącego naszego punktu)
Określamy wielkości szukane:
Mamy tutaj do czynienia z ruchem, w którym wartości
prędkości (liniowych i kątowych) się nie zmieniają. Zatem
możemy obliczać następujące wielkości:
 okres
 częstotliwość
 wartość prędkości liniowej
 wartość prędkości kątowej
 przyspieszenie normalne (dośrodkowe).
Natomiast przyspieszenia styczne i kątowe są z definicji równe
zero:
Rozwiązujemy zadanie. Rachunki są na tyle proste, że po wyrażeniu na danych ogólnych od razu podstawiam liczby i
przedstawiam jednostki:
Wskazówka minutowa dokonuje jednego obrotu w ciągu godziny (60 minut, każda po 60 sekund). Jest to szukany
okres:
Częstotliwość będzie jego odwrotnością:
Oczywiście okres i częstotliwość są parametrami wspólnymi dla wszystkich punktów wskazówki.
Wartość prędkości liniowej możemy obliczyć na podstawie poznanego wzoru:
Podobnie obliczamy wartość prędkości kątowej:
Zauważ, że prędkość kątowa nie zależy od odległości punktu od środka obrotu zatem jest wspólna dla wszystkich
punktów wskazówki.
Obliczmy jeszcze przyspieszenie normalne (dośrodkowe):
Staramy się uzyskać najpierw wynik na danych ogólnych (symbolach). Podstawimy do powyższego równania
wcześniej uzyskany wzór na prędkość liniową: :
41
Kinematyka
Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA
Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej
Jak skierowane są obliczone wektory?
- prędkość liniowa jest skierowana stycznie do toru
naszego punktu i leży w płaszczyz
nie tarczy zegara
- przyspieszenie normalne (dośrodkowe)
również leży w płaszczyz
nie tarczy zegara i ma kierunek
omawianej wskazówki zegara ale zwrot skierowany do
środka tarczy.
- prędkość kątowa jest skierowana prostopadle do
płaszczyzny tarczy zegara i ma zwrot (zgodnie z regułą
śruby prawoskrętnej lub korkociągu) do wnętrza zegara
Jak widzisz wcześniej podane równania są stosunkowo proste w zastosowaniach. Orientacje
obliczonych wielkości wektorowych są oczywiście zgodne z wcześniejszymi rysunkami.
Jak już powiedzieliśmy, powyżej poznane parametry ruchu po okręgu warto zapamiętać, gdyż
znajdują zastosowanie nie tylko w kinematyce punktu materialnego.
Chciałbym podkreślić, że wszystkie równania pisaliśmy dla przypadku, gdy oś wokół której wiruje
ciało nie zmienia się  jest ustalona w przestrzeni. Możliwe są również inne sytuacje i wówczas
pokazane zależności ulegają stosownym modyfikacjom.
Pamiętaj, że opis ruchu obrotowego jest w pełni możliwy przy użyciu wcześniej poznanych
wielkości liniowych (promień wodzący, przemieszczenie , prędkość , przyspieszenie ). Ale
dla większej wygody opisu wprowadza się parametry kątowe ułatwiające rachunki
(przemieszczenie , prędkość i przyspieszenie kątowe ). Są one wzajemnie w pełni
analogiczne. Podsumujmy je w tabeli (w formie skalarnej):
Wielkość kinematyczna liniowa kątowa
42
Kinematyka
Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA
Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej
Przesunięcie
(przemieszczenie)
Prędkość
Przyspieszenie
Ponieważ pomiędzy tymi wielkościami istnieją ścisłe zależności ( pomostem jest promień)  dla
danego typu ruchu  równania  w świecie kątowym piszemy analogicznie jak równania  w
świecie liniowym.
43
Kinematyka
Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA
Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej