Ruch jednostajny po okręgu
Ruch jednostajny po okręgu
r r
"v = "vr
" = "
" = "
" = "
Punkt materialny obiega okrąg ze stałą prędkością (co do
wartości bezwzględnej). Zmiana prędkości przy przejściu od P do
P wynosi " zmiana kierunku, nie wartości prędkości!
"v
"
"
Ruch niejednostajny po okręgu
Ruch niejednostajny po okręgu
r r r
"v = "vr + "vt
" = " + "
" = " + "
" = " + "
Zmiana prędkości
" "
" "vr
" "
Wektor prędkości "v składa się z "
"v przy przejściu z
"
" "vt
"
"
"
zmienia swoją wartość oraz "
P do P
bezwzględną
Ruch niejednostajny po okręgu
Ruch niejednostajny po okręgu
W ruchu niejednostajnym po okręgu zmienia się zarówno wartość
(" "vr)
"vt), jak i kierunek prędkości ("
" "
" "
a = at + an
a a a
Całkowite przyspieszenie, jak w dowolnym ruchu krzywoliniowym,
jest sumą przyspieszenia stycznego at i prostopadłego do niego
a
przyspieszenia normalnego an
a
Zasady dynamiki Newtona
Zasady dynamiki Newtona
Dynamika zajmuje się warunkami i przyczynami ruchu ciał
Ciała materialne mają
zdolność do oddziaływania
ze sobÄ…
Ruch punktu
materialnego
zależy od rodzaju i
sposobu
rozmieszczenia ciał
stanowiÄ…cych otoczenie
tego punktu
Szukamy praw rządzących oddziaływaniami
Siła jest wielkością pozwalającą powiązać ruch ciała (punktu
Siła
materialnego) z jego otoczeniem
Siła  wpływ otoczenia na ciało
Siła
Każda siła musi być wywierana
przez jakieś ciało
Masa  opór, jaki stawia
Masa
przyspieszane ciało sile,
która na nie działa
I zasada dynamiki (zasada bezwładności):
I zasada dynamiki (zasada bezwładności):
 Każde ciało pozostaje w stanie spoczynku lub ruchu jednostajnego
po linii prostej dopóty, dopóki nie zostanie zmuszone, za pomocą
wywierania odpowiednich sił, do zmiany tego stanu (cytat)
Bezwładność  własność ciała objawiająca się tym, że ciało nie zmienia
Bezwładność 
ani kierunku, ani wartości swej prędkości, gdy nic na nie nie oddziałuje
Druga zasada dynamiki
Druga zasada dynamiki
Jeśli ruch ciała nie jest prostoliniowym ruchem jednostajnym, to
znaczy, że ciało podlega jakiemuś oddziaływaniu. Miarą
oddziaływania będzie pojawienie się przyspieszenia zmieniającego
wartość prędkości lub powodującego zakrzywienie toru ciała
Druga zasada dynamiki:
Druga zasada dynamiki
Siła działająca na ciało jest równa iloczynowi przyspieszenia i masy
tego ciała:
F = ma
F a
Siła F jest wektorem, tak jak przyspieszenie a  mają te same
Siła F a
kierunki i zwroty
Jeżeli na ciało działa jednocześnie kilka sił:
F = F1 + F2 + ....
F F F
to ciało porusza się pod wpływem wypadkowej siły F
Druga zasada dynamiki  zapis Newtona
Druga zasada dynamiki  zapis Newtona
Pęd ciała p  iloczyn masy ciała i jego prędkości
Pęd ciała p
p= mv
p v
Pęd jest wektorem skierowanym zgodnie z wektorem prędkości
dp
p
dv d(mv)
v v
F =
F = ma = m = F
F a
dt
dt dt
Siła działająca na ciało jest równa pochodnej pędu względem czasu
dp
p
F = 0 = 0 v = const I zasada dynamiki Newtona
v

F
dt
I zasada dynamiki określa ruch ciała, na które nic nie działa
II zasada dynamiki określa ruch pod wpływem oddziaływania innych ciał
III zasada dynamiki dotyczy właściwości samych oddziaływań
III zasada dynamiki:
III zasada dynamiki
Jeżeli ciało A działa na ciało B pewną siłą FAB, to ciało B działa na ciało A
F
siłą FBA równą co do wartości bezwzględnej, lecz przeciwnie skierowaną
F
FAB = - FBA
-
-
F - F
-
-
-
-
Jednakowe wskazania
dynamometrów
III zasada inaczej: akcja równa się reakcji
Niemożliwe jest istnienie jednej tylko siły
Siły akcji i reakcji, które zawsze występują parami, działają na różne
różne
ciała. Gdyby działały na to samo ciało  to wypadkowa siła byłaby
równa 0
Dynamika ruchu punktu materialnego po okręgu
Dynamika ruchu punktu materialnego po okręgu
I zasada dynamiki: tylko ruch jednostajny prostoliniowy może zachodzić
bez działania sił
Ruch ciała po okręgu wymaga istnienia siły! Dotyczy również ruchu
jednostajnego po okręgu
Przyspieszenie normalne (dośrodkowe):
2 v
bo v = ÉÅ" Ò! É =
= ÉÅ"r Ò! É =
= ÉÅ" Ò! É =
= ÉÅ" Ò! É =
an = É2r = v
É
É
É
r
r
Na ciało poruszające się jednostajnie po okręgu działa siła:
v2
skierowana do środka
Fn = man = mÉ2r = m
É
É
É
r
okręgu  siła dośrodkowa
siła dośrodkowa
III zasada dynamiki:
Siła dośrodkowa Fn działa na ciało w
ruchu, a siła odśrodkowa Fr działa na
więzy utrzymujące ciało na okręgu
Gdy na ciało poruszające się po okręgu przestaje działać siła dośrodkowa,
to ruch ciała nie ustaje, lecz trwa dalej jako ruch jednostajny i
prostoliniowy wzdłuż stycznej do toru kołowego (I zasada dynamiki)
Praca pod działaniem stałej siły
Praca pod działaniem stałej siły
Pod działaniem stałej siły F punkt materialny ulega prostoliniowemu
F
przesunięciu s
s
Praca W stałej siły F wyraża się iloczynem (skalarnym) siły F i wektora
F F
przesunięcia s , czyli
s
Praca W jest wielkością skalarną
W = F " s
F s
W = Fs cosÕ (z def. iloczynu skalarnego)
Õ
Õ
Õ
gdzie Õ - kÄ…t miÄ™dzy kierunkami
Õ
Õ
Õ
siły i przesunięcia
Praca może przyjmować zarówno wartoÅ›ci dodatnie, jak i ujemne cosÕ
Õ
Õ
Õ
Praca jest dodatnia, gdy Õ < 90°, a ujemna, gdy Õ > 90°
Õ Õ
Õ Õ
Õ Õ
Praca jest równa zeru, gdy kierunek siły jest prostopadły
do kierunku przesuniÄ™cia (Õ
Õ=90°)
Õ
Õ
Rzut siÅ‚y na kierunek przesuniÄ™cia Ft = F cos Õ
Õ
Õ
Õ
W = Ft s
Pracę wykonuje tylko składowa styczna Ft do przesunięcia s
Praca pod działaniem zmiennej siły
Praca pod działaniem zmiennej siły
s
W a" "W =
a" " =
a" " =
a" " =
+"dW
+"
+"
+"
0
Wartość siły zależy od położenia ciała: Ft(s)
s
Praca
W = Ft s
dW = Ft ds
W = Ft ds
+"
+"
+"
+"
na drodze ds
0
W przypadku zmiennej siły praca wyraża się całką oznaczoną:
s
W = ds
=
=
=
t
+"
+"F
+"
+"
0
def
dy "y
"
"
"
f'(x) a" = lim
a" =
a" =
a" =
"x0
"
"
"
Moc
Moc
dx "x
"
"
"
Moc  wielkość wskazująca, jaką pracę może wykonać dany układ
Moc
w jednostce czasu
"W
"
"
Åšrednia moc:
Pśr = "
"t
"
"
"
"W dW
"
"
"
jest pochodnÄ… pracy
Moc chwilowa:
P = lim =
"t dt
"
"
"
względem czasu
"t 0
"
"
"
dW Ft ds
P = = = Ft v
dt dt
W zapisie wektorowym (iloczyn skalarny):
P = F " v
F v
Moc danej siły jest proporcjonalna do prędkości
Energia
Energia
W mechanice rozróżniamy
energię kinetyczną  określoną przez masy ciał i prędkości oraz
energię kinetyczną prędkości
energię potencjalną  określoną przez masy ciał i ich wzajemne położenia
energię potencjalną wzajemne położenia
Energia kinetyczna
Energia kinetyczna
Rozważmy ruch prostoliniowy punktu materialnego zachodzący pod
wpływem działania stałej siły F
Praca siły F na drodze s zwiększa prędkość punktu z v1 do v2
F s v v
W = Ft s = mas
Z kinematyki ruchu jednostajnie przyspieszonego:
v2 = v1 + at t = (v2  v1)/a
v2 = v1 + at t = (v2  v1)/a
{
s = v1t + ½ at2 = v1((v2  v1)/a) + ½ a((v2  v1)/a)2
s = v1t + ½ at2 = v1((v2  v1)/a) + ½ a((v2  v1)/a)2
v22  v12
s =
2a
mv12
mv22
v22  v12
W = ma =  = Ek2  Ek1
2
2a 2
EnergiÄ™ kinetycznÄ… punktu materialnego
mv2
o masie m poruszajÄ…cego siÄ™ z
Ek =
2
prędkością v określamy wzorem:
Przyrost energii kinetycznej jest ujemny, gdy siła jest skierowana
przeciwnie do prędkości, np. siła tarcia, czy siła oporu powietrza
Siły zachowawcze
Siły zachowawcze
W polu ciężkości przesuwa się punkt materialny po torze zamkniętym
polu ciężkości
ABCDA
Stała siła F=mg
Droga s=AB+BC+CD+DA
Praca W=FÅ"
Å"s
Å"
Å"
Praca siły ciężkości F po torze zamkniętym ABCDA:
WAB =  mgh WBC = 0 WCD = mgh WDA = 0
WABCDA = WAB+WBC+WCD+WDA=  mgh+0+mgh+0 = 0
Siłę nazywamy zachowawczą albo potencjalną, jeżeli jej praca po
dowolnym torze zamkniętym jest równa zeru
F " ds = 0
F s
+"
+"
+"
+"
Siły zachowawcze
Siły zachowawcze
Praca po zamkniętym torze O1P2O
F " ds = 0
F s
+"
+"
+"
+"
dla siły zachowawczej jest równa zeru
WO1P2O = WO1P + WP2O = 0
Praca przy przeciwnym kierunku
1
przesunięcia różni się tylko znakiem:
WP2O =  WO2P
WO1P  WO2P = 0
czyli
WO1P = WO2P
Praca siły zachowawczej nie zależy od kształtu drogi, a tylko od
wyboru punktu początkowego i końcowego (czyli punktu O i P)
Przykłady sił zachowawczych: siła ciężkości, siła sprężystości
zachowawczych
Siły nie zachowawcze: siła tarcia, siły oporu powietrza i cieczy
nie zachowawcze
Energia potencjalna
Energia potencjalna
Energią potencjalną ciała w punkcie P względem punktu O nazywamy
pracę, jaką wykonuje siła zachowawcza przy przesunięciu tego ciała
siła zachowawcza
od punktu O do punktu P
Wartość energii potencjalnej zależy od wyboru punktu odniesienia O!
Grawitacyjna energia potencjalna:
Grawitacyjna energia potencjalna
jest to praca siły ciężkości mg na pionowym torze o wysokości h
Ep = W = F·s = mgh
Energia potencjalna sprężystości
Energia potencjalna sprężystości
Ep rozciągniętej sprężyny jest równa pracy,
jaką wykonuje siła sprężystości przywracająca
sprężynę do początkowej długości (położenia
równowagi x = 0)
F = -kx
= -
= -
= -
s
0
x
W = Fds = ( kx)dx = k xdx = ½ kx2
+"
+"
+"
+"
+"
+"
+"
+"
+"
+"
+"
+"
0
x
0
Energia potencjalna sprężystoÅ›ci Ep = ½ kx2
Ep = ½ kx2
a
Å‚
i
s
a
Å‚
a
t
S
a
Å‚
i
s
a
n
n
e
i
m
Z
INFORMATYKA
INFORMATYKA
Plan wykładu
ELEMENTY MECHANIKI KLASYCZNEJ
ELEMENTY MECHANIKI KLASYCZNEJ
Dynamika układu punktów materialnych
Twierdzenie o ruchu środka masy
Dynamika bryły sztywnej
Analogia między ruchem postępowym i ruchem
obrotowym
Zasady zachowania w mechanice
Inercjalne i nieinercjalne układy odniesienia
Układ punktów materialnych
Układ punktów materialnych = układ ciał (np. planetarny), które można
Układ punktów materialnych
rozważać jako punkty zaniedbując ich rozmiary
Zał: układ jest złożony z n punktów materialnych o masach m1, m2, ...mn
Zał
Środkiem masy układu punktów materialnych nazywamy punkt S,
Åšrodkiem masy
którego współrzędne x, y, z są wyrażone przez:
"
"m xi ys = " i "m zi
" "m yi zs = "
" i " i i  wskaz
nik sumowania;
" " "
xs = = =
= =
= = =
= =
i = 1, 2,..., n
"m "m "m
" " "
" i " i " i
" " "
Åšrodek masy w zapisie wektorowym:
wektorowym
r
r
r
r1, r2, ...., rn  wektory wodzące punktów
r
r
r
rr
"m rr
"
" i i
"
materialnych; rs  promień wodzący środka
=
=
=
=
s
masy
"m
"
" i
"
Przykład:
Środek masy dwóch mas m1 i m2 leży na prostej
łączącej masy w punkcie C w odległości xśr.m. od
początku układu
m1x1 + m2x2
+
+
+
xśr.m. =
=
=
=
m1 + m2
+
+
+
Środek masy ciała rozciągłego
Położenie środka masy ciała rozciągłego   dzielimy ciało na n małych
części o masach " "m2, ..., "
"m1, " "mn; stosujemy wzór dla układu punktów
" " "
" " "
materialnych:
r
r
r
r
r
r
r r
r r
r r
r r
r
r
r r
r r
r r r r
r r r r
r r
r r
dm
"m
"
" gdy liczba n części ""m
" ""
"" i i
""
"m ""m +"
" "" +"
" i i "" i i +"
" "" +"
=
=
= = =
= = =
= = =
= = =
=
=
s
s s
lim s
zmierza do "
"
"
"
n"
"
"
"
""m
""
"m ""m "" i
" "" ""
" i "" i
" ""
+"dm
+"
+"
+"
dm = m m  całkowita masa ciała
=
=
=
+"
+"
+"
+"
Dla brył o regularnym kształcie środek
masy pokrywa się ze środkiem symetrii
Siły wewnętrzne i zewnętrzne
Na punkty materialne w układzie działają siły wewnętrzne i zewnętrzne
Siły wewnętrzne  siły oddziaływania wzajemnego punktów materialnych
Siły wewnętrzne
należących do jednego układu; działają między każdą parą punktów i
zgodnie z III zasadą dynamiki są równe co do wartości i przeciwnie
skierowane
j-ty punkt działa na i-ty punkt siłą Fij:
F
Fji = Fij
=
=
=
Siły zewnętrzne działające na układ  pochodzą od ciał spoza układu
Siły zewnętrzne
siły wewnętrzne
siły zewnętrzne
III zasada dynamiki
F13 = -F31
= -
= -
= -
Newtona
F12 = -F21
= -
= -
= -
F23 = -F32
= -
= -
= -
Układ trzech punktów materialnych
Ruch środka masy
II zasada dynamiki dla układu n punktów materialnych:
mi  masa i-tego punktu
ri  promień wodzący i-tego punktu
miai = Fi
=
=
=
Fi  wypadkowa siła działająca na i-ty punkt
ai  przyspieszenie i-tego punktu
Wstawiamy wzór na przyspieszenie:
r r
r r
r r
r r
n
d2 d2
Równanie to jest słuszne dla
i
ai = Ò! mi i = Fi
= Ò! =
= Ò! =
= Ò! =
"
"
"
"
każdego punktu układu
dt2 dt2
i=1
=
=
=
Dla układu punktów materialnych mamy:
n n n 0
Siły wewnętrzne znoszą się parami
= = +
= = +
= = +
"m d2ri = "F = "F + "F
" " " "
" i " " ij " t
" " " "
i wypadkowa = 0
dt2 = i
i=1 i=1 i,j=1 t
= = =
= = =
= =
Wypadkowa wszystkich sił działających na układ punktów materialnych
jest równa wypadkowej sił zewnętrznych
r
r
r
r
r r
r r
r r
r r
r
r
r
r
=
=
=
"m = m
"
" i
"
"m
"
" i i
"
= =
= =
= =
=
s "m = m s
"
" i i
"
"m
"
" i
"
r r
r r
r r
r r
n
r
r
r
r
d2rs
d2 n d2
i s
m = Fz
=
=
=
= = (mrs ) = m oraz =
= = =
= = = =
= = =
"m d2 "m = d2
" "
" i "
" "
"F = Fz
"
" t
"
dt2 dt2 = i i dt2 dt2
dt2
i=1 i=1
= =
= =
=
t
Twierdzenie o ruchu środka masy
d2rs
m = Fz
=
=
=
dt2
Środek masy układu punktów materialnych porusza się tak,
jak punkt materialny o masie m równej całkowitej masie
układu, na który działa siła Fz równa wypadkowej sił
zewnętrznych
Gdy Fz =0, to przyspieszenie środka masy jest = 0, czyli środek masy,
albo porusza siÄ™ ruchem jednostajnym i prostoliniowym, albo spoczywa
Maczuga gimnastyczna wykonuje
Maczuga gimnastyczna
skomplikowane ruchy obrotowe, ale na jej osi
znajduje się taki punkt  środek masy, który
porusza się po paraboli   rzut ukośny
Gdyby maczuga uległa rozerwaniu w
locie, to jej kawałki poruszałyby się po
rozmaitych torach, ale środek masy
wszystkich odłamków nadal poruszałby
się po tej samej paraboli, co środek masy
maczugi przed jej rozpadnięciem się
Dynamika bryły sztywnej
Opis ruchu układu, którego punkty materialne należą do jednego
ciała rozciągłego
Bryła sztywna  ciało, które pod działaniem sił nie ulega odkształceniom
Rodzaje ruchów bryły sztywnej:
postępowy  odcinek AB zachowuje stale położenie do siebie równoległe
postępowy
obrotowy  wszystkie punkty poruszają się po okręgach, których
obrotowy
środki leżą na osi obrotu
osi obrotu
"Õ
"Õ
"Õ
"Õ
v = ÉÅ" oraz É =
= ÉÅ"r É =
= ÉÅ" É =
= ÉÅ" É =
"t
"
"
"
É = const ale v H" r, nie jest const
É = H"
É = H"
É = H"
W ruchu obrotowym punkty bryły mają tę samą
prędkość kątową; prędkości liniowe są proporcjonalne
do odległości punktu od osi obrotu
Moment siły (moment obrotowy)
W ruchu obrotowym ważna jest nie tylko wartość siły, ale także
jej kierunek i punkt przyłożenia ważna nie siła, ale moment siły



Momentem siły F względem punktu O na osi obrotu nazywamy iloczyn
Momentem siły F
wektorowy wektora wodzącego r punktu przyłożenia siły F (początek
r F
r leży w punkcie O) i wektora tej siły
r
Iloczyn wektorowy
M = r F
M r F
Wartość bezwzględna
momentu siły wynosi:
M = r sin ŃF = rÄ„" Å" F
= Ń = Å"
= Ń = Å"
= Ń = Å"
Ä„"
Ä„"
Ä„"
rĄ" - ramię siły, czyli odległość prostej działania siły F od osi obrotu
ramię siły F
Ä„"
Ä„"
Ä„"
Moment siły M jest wektorem, skierowanym wzdłuż osi obrotu
M