1+ð 3 3 5 +ð 3
20 22
1.Obliczy , gdy =ð . 1.Obliczy , gdy =ð .
3 +ð 2 3 +ð 2
T T
2. Rozwi dla danych macierzy: 2. Rozwi za =C dla danych macierzy:
-ð1 3 0 1 7 1 0 0 1 7
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
0,5 -ð1 2 0,5 -ð1 2
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Ä™ð-ð Ä™ð Ä™ð-ð
=ð 2 1 -ð1Å›ð =ð =ð 3 -ð1Å›ð =ð 2 -ð1 1Å›ð =ð =ð 3 -ð1Å›ð
Ä™ð Ä™ð
Ä™ð Å›ð Å›ð Ä™ð Å›ð Å›ð
3 0 -ð1Å›ð Ä™ð 3 0 -ð1Å›ð Ä™ð
ëð ûð ëð ûð
Ä™ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
5 -ð 2ûð 5 -ð 2ûð
ëð-ð 2 0 1 Å›ð ëð ëð-ð 3 2 1ûð ëð
ûð
3 +ð 4 -ð =ð 1 -ð 4 =ð 1
ìð ìð
ïð2 ïð2
3. Rozwi +ð +ð 2 =ð -ð1 , 3. Rozwi +ð +ð 2 =ð -ð1 ,
íð íð
ïð ïð-ð -ð 5 -ð 2 =ð 0
+ð 3 -ð 3 =ð 2
îð îð
+ð 2 =ð 1 +ð =ð 1
ìð ìð
ïð2 ïð
b) wzorami Cramera : -ð =ð 5 . b) wzorami Cramera : +ð =ð 0 .
íð íð
ïð2 -ð =ð 0 ïð2 +ð 3 =ð 2
îð îð
-ð1 m 4 0 2 1 -ð 2 m
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Ä™ð1 0 m 1 Å›ð
0 -ð1 3 mÅ›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
4. Dla jakiej warto parametru macierz jest 4. Dla jakiej warto macierz jest
Ä™ð 0 m -ð 3 1 Å›ð Ä™ð Å›ð
0 -ð1 0 m
Ä™ð-ð1 0 1 1 Å›ð Ä™ð1 0 -ð1 0 Å›ð
ëð ûð ëð ûð
nieosobliwa? nieosobliwa?
rð rð rð rð rð rð
rð rð rð rð
5. Dane s p =ð [-ð2,4,-ð1], q =ð 2i +ð j -ð 2k . Obliczy 5. Dane s p =ð [1,0,-ð3] , q =ð 3i +ð j -ð 2k . Obliczy
rð rð
rð rð rð rð rð rð rð rð rð rð
a) k a =ð 2p +ð q i b =ð p -ð q ; a) k a =ð p -ð 2q i b =ð 2p +ð q ;
rð rð rð rð rð rð
b) pole r a =ð 2p +ð q i b) ) pole r a =ð p -ð 2q i
rð rð
rð rð rð rð
b =ð p -ð q . b =ð 2p +ð q ;
6. Wyznaczy 6. Wyznaczy rð rð
rð
rð rð rð rð rð rð
rð rð
=ð 2 +ð -ð ´ð[ð-ð1 2 2]ð i przechodz =ð -ð 3 -ð ´ð -ð +ð 2 +ð 3 i przechodz -1,3,1).
3 3
1.Rozwi +ð 8 =ð 0 . 1. Rozwi -ð 27 =ð 0 .
T
2. Rozwi dla danych macierzy:
T
2. Rozwi =C dla danych macierzy:
-ð1 2 0 1 7
éð Å‚ð éð Å‚ð
1 -ð 2 2
éð Å‚ð
Ä™ð Ä™ð-ð
0 2 -ð 1 1 7
éð Å‚ð éð Å‚ð
=ð 0 1 -ð1Å›ð =ð
Ä™ð3 0 -ð 2Å›ð =ð Ä™ð 3 -ð1Å›ð .
1 -ð 1 2
Ä™ð Å›ð Å›ð éð Å‚ð
Ä™ð1 Å›ð Ä™ð-ð
ëð ûð
=ð 3 0 =ð
Ä™ð 1 0 3 Å›ð Ä™ð 6 -ð 2Å›ð Ä™ð-ð 1 2 -ð 1Å›ð =ð Ä™ð 1 -ð 1Å›ð .
Ä™ð Å›ð Å›ð
ëð ûð ëð ûð
ëð ûð
Ä™ð2 1 -ð 1Å›ð Ä™ð 5 -ð 2Å›ð
ëð ûð ëð ûð
3. Rozwi
3. Rozwi :
3 +ð 4 -ð =ð 1 +ð 2 =ð 1
ìð ìð
-ð 4 =ð 1 +ð +ð 2 =ð 1
ìð ìð
ïð2 ïð
a) +ð +ð 2 =ð -ð1 b) 2 -ð =ð -ð1 . ïð2 ïð
íð íð
a) +ð +ð 2 =ð -ð1 , b) : -ð 2 -ð =ð 1 .
íð íð
ïð ïð -ð 2 +ð 3 =ð 0
+ð 3 -ð 3 =ð 2
ïð-ð -ð 5 -ð 2 =ð 0 ïð2 -ð +ð =ð 2
îð îð
îð îð
4. Wykorzystuj ory Cramera wyznaczy z uk
4. Wykorzystuj z uk
2 +ð -ð =ð 0
ìð
3 +ð -ð =ð 0
ìð
ïð
+ð +ð =ð 0
ïð ïð-ð +ð +ð 2 =ð 3
ïð
íð2 +ð +ð =ð 0
íð
ïð
2 +ð +ð =ð 0
ïð
ïð2 +ð -ð =ð 2
îð
ïð
2 +ð -ð =ð 0
îð
rð
rð rð
rð rð
rð
rð rð
rð rð
5. Dane s p =ð [-ð2,4,-ð1], =ð [ð2,-ð1,0]ð (ð2 +ð -ð 2 )ð.
5. Dane s p =ð [1,0,-ð3] , =ð 3 +ð -ð 2 . Obliczy
rð
rð rð rð rð rð
rð
a) Czy wektory a =ð 2p +ð q i b =ð p -ð q s prostopad rð rð rð rð rð
a) d =ð +ð 2 i =ð 2 -ð , czy wektory te s
b) Wyznaczy rð pole r
prostopad ;
rð rð rð rð rð
rð rð rð
a =ð 2p +ð q i b =ð p -ð q .
b) ) pole r =ð +ð 2 i
rð
rð rð
=ð 2 -ð ;
6. Wyznaczy kanoniczne prostej r prostej l:
x=2t+2, y=3t-1, z=t-5 i przechodz punkt A(2,3,1).
6. Wyznaczy og yzny
2x+5y-3z+8=0 i przechodz -1,2,1).