Kolokwium z Rachunku Prawdopodobie«stwa 2, 17 XII 2007

1. Wykonujemy 300 rzutów symetryczn¡ monet¡ oraz 300 rzutów mo-

net¡, dla której prawdopodobie«stwo wypadni¦cia orªa wynosi 2/5. Obliczy¢

przybli»one prawdopodobie«stwo tego, »e w pierwszej serii rzutów (tj. 300

rzutów symetryczn¡ monet¡) wyrzucono co najmniej dwa razy wi¦cej orªów

ni» w drugiej serii rzutów (niesymetryczn¡ monet¡).

2. Dane s¡ dwa ci¡gi (X

n

)

, (Y

n

)

zmiennych losowych takich, »e dla

ka»dego n ≥ 1 zmienne X

n

i Y

n

s¡ niezale»ne, zmienna X

n

ma rozkªad

jednostajny na odcinku (0,

n

2n+1

)

, a zmienna Y

n

ma rozkªad zadany przez

P(Y

n

= 0) = 1 − P(Y

n

= 1/2) =

n

2n+1

. Udowodni¢, »e ci¡g (X

n

+ Y

n

)

jest

zbie»ny wedªug rozkªadu i wyznaczy¢ rozkªad graniczny.

3. Dany jest ci¡g (X

n

)

wspólnie ograniczonych zmiennych losowych o tej

wªasno±ci, »e ci¡gi (sin X

n

)

oraz (sin(πX

n

))

zbiegaj¡ wedªug rozkªadu do 0.

Udowodni¢, »e ci¡g (X

n

)

tak»e zbiega wedªug rozkªadu do 0.

4. Wyznaczy¢ wszystkie zmienne losowe X o nast¦puj¡cej wªasno±ci:

istnieje zmienna losowa Y niezale»na od X oraz staªa α ∈ (−1, 1) takie, »e
X + Y

ma ten sam rozkªad co αX.

Wskazówka: Udowodni¢ najpierw, »e je±li zmienna X ma powy»sz¡ wªa-

sno±¢, to dla ka»dego t ∈ R zachodzi równo±¢ |φ

X

(t)| = 1

.

5. Dany jest ci¡g (X

n

)

niezale»nych zmiennych losowych taki, »e

P(X

n

= −1) =

2

n−1

1 + 2

n−1

,

P(X

n

= 2

n−1

) =

1

1 + 2

n−1

,

n = 1, 2, . . . .

Udowodni¢, »e ci¡g

X

1

+ X

2

+ . . . + X

n

pP

n
k=1

VarX

k

jest zbie»ny wedªug rozkªadu.