Kolokwium z Rachunku Prawdopodobie´

nstwa II, 2.XII.2004

1. Dane s

a dwa ci

agi (X

n

), (Y

n

) zmiennych losowych.

Dla n

≥ 1

zmienna X

n

ma g

esto´s´

c g

n

(x) = n(1

−n|x|)·1

{|x|≤

1

n

}

, a Y

n

ma rozklad zadany

nast

epuj

aco:

P (Y

n

=

k
n

) =

1

−

k
n

k−1

·

1

n

, k = 1, 2, . . . , n

2

, P (X

n

= n

3

) =

1

−

1

n

n

2

.

Udowodni´

c, ˙ze ci

ag X

n

+Y

n

jest zbie˙zny wedlug rozkladu i wyznaczy´

c rozklad

graniczny.

2. W urnie znajduje si

e 6 kul bialych i 4 czarne. Losujemy ze zwracaniem

a˙z do momentu, gdy wylosujemy 120 bialych kul. Jakie jest prawdopodo-
bie´

nstwo tego, ˙ze losowali´smy ponad 240 razy?

3. Dany jest ci

ag (X

n

) niezale˙znych zmiennych losowych, przy czym dla

n ≥ 1, X

n

ma rozklad P (X

n

=

±n) =

1

2n

, P (X

n

= 0) = 1

−

1

n

. Czy ten ci

ag

spelnia warunek Lindeberga?

4. W urnie znajduje si

e jedna biala kula. Wykonujemy niesko´

nczenie

wiele losowa´

n ze zwracaniem; po ka˙zdym losowaniu dokladamy jedn

a czarn

a

kul

e. Niech S

n

oznacza liczb

e bialych kul wyci

agni

etych po n losowaniach.

Zbada´

c zachowanie si

e ci

agu

S

n

− ES

n

√

lnn

.

5. Zmienne losowe X, Y s

a niezale˙zne, przy czym X ma nast

epuj

acy

rozklad: P (X =

±1) =

1

2

, a Y ma rozklad jednostajny na odcinku [0, 4].

Wyznaczy´

c rozklad zmiennej X

· Y .

6. Dany jest ci

ag (ε

n

) niezale˙znych zmiennych losowych o tym samym

rozkladzie P (ε

n

=

±1) =

1

2

. Udowodni´c, ˙ze ci

ag

X

n

=

1

n

1≤i<j≤n

ε

i

ε

j

, n = 1, 2, . . .

jest zbie˙zny wedlug rozkladu.

7. Dane s

a niezale˙zne zmienne X, Y, Z o tym samym symetrycznym

rozkladzie takim, ˙ze dowolna liniowa kombinacja zmiennych X i Y ma ten
sam rozklad, co zmienna Z. Wykaza´

c, ˙ze X ma rozklad Cauchy’ego lub jest

r´

owna 0 z prawdopodobie´

nstwem 1.