Przykładowe zadania na kolokwium z

wytrzymałości materiałów

Maciej Marek

28 maja 2008

1

Zadanie 1 (5 pkt)

Obliczyć moment bezwładności względem osi centralnej x

c

przedstawionego

na rysunku przekroju. Wymiary podane są w centymetrach.

1

Rysunek 1: Wyznacznie środka ciężkości całego przekroju

Rozwiązanie:

Rozpoczynamy od podziału danej figury na dwa trójkąty, których momenty
bezwładności są znane. Oznaczmy pierwszy z trójkątów przez I, zaś drugi –
przez II. Ponieważ naszym zadaniem jest wyznacznie centralnego momentu
bezwładności, konieczne jest znalezienie środka ciężkości całego przekroju.
Wprowadzamy zatem układ współrzędnych x, z (zupełnie dowolnie, ale tak,
by obliczenia były jak najwygodniejsze), przy czym oś x przechodzi przez
odcinek wspólny dla obu trójkątów (patrz rys. 1).

Znajdujemy środki ciężkości obu figur – I i II. W przypadku trójkąta

równoramiennego środek ciężkośći położony jest na 1/3 jego wysokości (licząc
od boku, na który opuszczana jest wysokość). Ponieważ obie figury mają oś
symetrii z, współrzędna x−owa w obu przypadkach równa się 0. Wystarczy
zatem policzyć współrzędne z−owe. Oznaczmy je odpowiednio z

c

I

i z

c

II

. Jak

widać z rys. 1:

z

c

I

= 2,

z

c

II

= −1 .

(1)

2

Wzór na z−ową współrzędną z

c

środka ciężkości całej figury ma postać:

z

c

=

S

I

z

c

I

+ S

II

z

c

II

S

I

+ S

II

,

(2)

gdzie S

I

– pole figury I, zaś S

II

– pole figury II. Pola te wynoszą odpowiednio:

S

I

=

1

2

· 6 · 6 = 6,

S

II

=

1

2

· 2 · 3 = 3 .

(3)

Wstawiając do równania (2) otrzymujemy:

z

c

=

6 · 2 + 3 · (−1)

6 + 3

= 1 .

(4)

Środek ciężkości całego przekroju znajduje się zatem w punkcie o współrzęd-
nych (0,1). Znając jego położenie możemy precyzyjnie narysować oś centralną
x

c

(rys. 1).

Rysunek 2: Odległości między osiami w twierdzeniu Steinera

Zgodnie z twierdzeniem Steinera momenty bezwładności figur I i II wzglę-

dem osi centralnej przekroju wynoszą:

J

I

= J

c

I

+ S

I

h

2
I

,

(5)

3

J

II

= J

c

II

+ S

II

h

2
II

,

(6)

gdzie J

c

I

, J

c

II

– momenty bezwładności figur I i II względem ich własnych osi

centralnych. Wartości tych momentów odczytujemy z tabeli. Wynoszą one
odpowiednio:

J

c

I

=

6 · 6

3

36

= 36

[cm

4

] ,

(7)

J

c

II

=

2 · 3

3

36

= 1.5

[cm

4

] .

(8)

Odległości h

I

oraz h

II

między osiami centralnymi figur I i II a centralną

osią całego przekroju znajdujemy na rys. 2. Wynoszą one odpowiednio:

h

I

= 1 ,

h

II

= 2 .

(9)

Wstawiające te wartości do wzorów (5),(6) otrzymujemy:

J

I

= 36 + 6 · 1

2

= 42

[cm

4

] ,

(10)

J

II

= 1.5 + 3 · 2

2

= 13.5

[cm

4

] .

(11)

Ostatecznie centralny moment bezwładności całej figury ma wartość:

J = J

I

+ J

II

= 55.5

[cm

4

] .

(12)

4

2

Zadanie 2 (5 pkt)

Wyznaczyć naprężenia główne σ

1

, σ

2

oraz kąt obrotu α elementu głównego

dla płytki kwadratowej obciążonej naprężeniami σ

x

= 40 [MN/m

2

], σ

y

= −60

[MN/m

2

], τ = 30 [MN/m

2

]. Skorzystać z metody wykreślnej (koło Mohra),

a następnie sprawdzić wyniki za pomocą wzorów analitycznych.

5

Rozwiązanie:

Metodę wykreślną opiszemy w kolejnych etapach. Etap I polega na zazna-
czeniu w układzie współrzędnych (σ, τ ) dwóch punktów na osi σ odpowiada-
jących wartościom σ

x

oraz σ

y

.

W etapie II zaznaczamy na rysunku punkty (σ

x

, τ ) oraz (σ

y

, −τ ). Innymi

słowy, nad punktem σ

x

odkładamy do góry odcinek o długości τ , jeżeli τ jest

dodatnie, natomiast do dołu, gdy τ jest ujemne. Natomiast nad punktem σ

y

odkładamy do góry odcinek o długości τ , jeżeli τ jest ujemne, natomiast do
dołu, gdy τ jest dodatnie.

6

Etap III polega na połączeniu punktów (σ

x

, τ ) oraz (σ

y

, −τ ). Znajdujemy

tym samym środek koła Mohra oraz jego średnicę. Powinien on znaleźć się
dokładnie pośrodku odcinka łączącego punkty odpowiadające naprężeniom
σ

x

,σ

y

.

Ostatni etap to wykreślenie koła Mohra. Naprężenia główne odczytujemy

na przecięciu koła z osią σ. Większa wartość zawsze odpowiada naprężeniu
głównemu σ

1

, zaś mniejsza – naprężeniu σ

2

. Podwojony kąt α odczytujemy

w sposób pokazany na rysunku.

Wyznaczmy teraz szukane wielkości korzystając ze wzorów analitycznych:

σ

1

=

σ

x

+ σ

y

2

+

s

σ

x

− σ

y

2

2

+ τ

2

,

(13)

7

σ

2

=

σ

x

+ σ

y

2

−

s

σ

x

− σ

y

2

2

+ τ

2

,

(14)

tg 2α =

2τ

σ

x

− σ

y

.

(15)

Otrzymujemy zatem odpowiednio:

σ

1

=

40 + (−60)

2

+

v
u
u
t

 

40 − (−60)

2

!

2

+ 30

2

= 48.3

[MN/m

2

]

(16)

σ

1

=

40 + (−60)

2

−

v
u
u
t

 

40 − (−60)

2

!

2

+ 30

2

= −68.3

[MN/m

2

] (17)

tg 2α =

2 · 30

40 − (−60)

= 0.6 .

(18)

Z ostatniego równania wynika, że 2α = 31

◦

. Czyli α = 15

◦

30

0

. Otrzymane

wyniki są zgodne z tymi, otrzymanymi metodą wykreślną.

8