70 Â

WIAT

N

AUKI

Kwiecieƒ 2000

G

rafika komputerowa wkroczy∏a w nowà er´
w dziedzinie rozrywki w 1995 roku po premie-
rze Toy Story – pierwszego pe∏nometra˝owe-

go filmu z animacjà komputerowà. Jednak stworzone
komputerowo postacie i sceny majà charakterystyczny

wyglàd, który odró˝nia je od obrazów rzeczywistych: wszystko jest
troch´ za g∏adkie i zbyt doskona∏e, troch´ za czyste, jakby Êwie˝o wy-

t∏oczone z plastiku. Brakuje brudu i py∏u, p´kni´ç i rys, rdzawego
zacieku na Êcianie pod przeciekajàcà rurà, patyny na miedzianym
posà˝ku, warstwy osadów na zniszczonej wiatrem i deszczem twarzy staro˝ytnego

granitowego sfinksa, szczegó∏ów ludzkiej skóry, jej odcieni, piegów, porów, zmarsz-
czek i zaczerwienieƒ od p∏ynàcej pod nià krwi.

Zespó∏ firmy Pixar, który pod koniec ubieg∏ego roku ukoƒczy∏ realizacj´ filmu

Toy Story 2, uwzgl´dni∏ efekty starzenia si´, takie jak otarcia i zabrudzenia. Pos∏u˝y∏
si´ metodà nanoszenia wzorów na powierzchnie, ale jest to bardzo pracoch∏onny

pó∏Êrodek. Na wi´kszà skal´ ani ta technika, ani nawet bardzo du˝e moce obliczeniowe
nie wystarczà, aby grafika komputerowa pozby∏a si´ g∏adkiego, woskowego wyglàdu i przesta∏a przypominaç

filmy rysunkowe. Aby stworzyç symulacj´, która nie b´dzie wyglàdaç sztucznie, musimy odtworzyç wyglàd
materia∏ów w ca∏ej ich ró˝norodnoÊci, pami´tajàc o zu˝yciu i zabrudzeniach. Techniki u˝ywane do modelowa-
nia oÊwietlenia, takie jak metoda Êledzenia biegu promieni czy metoda bilansu energetycznego, mogà wzboga-

ciç obrazy wirtualne efektami ∏agodnych cieni i odbiç, ale dok∏adnoÊç i wizualna z∏o˝onoÊç powsta∏ych obrazów za-

le˝à w du˝ej mierze od jakoÊci wykorzystanych modeli materia∏ów.

A modele te stajà si´ coraz bardziej realistyczne. Wa˝nà ich cechà jest modelowanie wewn´trznej struktury ma-

teria∏u i symulacja rozchodzenia si´ i rozpraszania Êwiat∏a pod powierzchnià materia∏u. Istotne jest te˝ modelo-
wanie procesów starzenia si´ powierzchni, takich jak korozja, które mogà prowadziç do powstania nieregularnych

warstw tlenków lub odpadania fragmentów powierzchni. Byç mo˝e pojawià si´ narz´dzia programistyczne,

pozwalajàce artystom „nanosiç” efekty tego typu procesów fizycznych na rysowane na ekranie obiekty, tak jak
obecnie poddajà je ró˝nym zabiegom kolorystycznym.

T´ technik´ formowania obrazów (renderowania, jak przyj´∏o si´ mówiç w Êrodowiskach komputerowych –

przyp. t∏um.) zacz´to szeroko stosowaç nie tylko w filmach animowanych, ale tak˝e w przemyÊle. Firma Boeing ko-

rzysta∏a z techniki renderowania w systemach rzeczywistoÊci wirtualnej u˝ytych do projektowania samolotu 777.

Cyfrowe materia∏y

Tworzenie bardziej realistycznych obrazów komputerowych
wymaga lepszych modeli struktury fizycznej
materia∏ów i ich starzenia si´

Julie Dorsey i Pat Hanrahan

JULIE DORSEY i

PAT HANRAHAN

wirtualnego Êwiata

POWSTAWANIE PATYNY na miedzianym posà˝ku Buddy symulowa-
ne jest za pomocà sekwencji warstw reprezentujàcych struktur´ fizycz-
nà powierzchni. Ró˝ne operacje programowe powodujà, ˝e wierzchnia
warstwa zmienia si´, tak jakby dzia∏a∏y na nià wiatr i deszcz – nast´pu-
je utlenienie warstwy i usuni´cie obluzowanego materia∏u. Oddzia∏y-
wanie Êwiat∏a z uk∏adem warstw tworzy ostateczny wyglàd posà˝ku.

Â

WIAT

N

AUKI

Kwiecieƒ 2000 71

Firmy architektoniczne i urbaniÊci stosujà technik´ rende-
rowania, aby wizualnie oceniç wp∏yw projektowanych bu-
dynków na otoczenie.

Promienie, odbicia i tekstura

Naukowcy i artyÊci od dawna zastanawiali si´ nad czyn-

nikami okreÊlajàcymi wyglàd przedmiotów w Êwiecie rze-
czywistym. W XVII wieku Rembrandt oraz inni niderlandzcy
malarze odtwarzali naturalne odcienie skóry w realistycz-
nych portretach, nak∏adajàc wiele warstw farby i lakieru.
W XIX wieku lord Rayleigh wyjaÊni∏ za pomocà praw fizyki
niebieskà barw´ nieba, opalizowanie skrzyde∏ motyla i blask
wypolerowanych powierzchni. DziÊ mo˝emy wykorzystaç
te teorie i obserwacje do opracowania u˝ytecznych modeli
komputerowych mechanizmów odpowiedzialnych za wy-
glàd rozmaitych materia∏ów.

Tworzenie realistycznych obrazów komputerowych wy-

maga, aby dokonywaç symulacji Êwiat∏a i jego oddzia∏ywa-
nia z otoczeniem z uwzgl´dnieniem obiektów (takich jak sce-
neria, rekwizyty i postacie), oÊwietlajàcych je êróde∏ Êwiat∏a
i wirtualnej kamery, która rejestruje obraz. Obiekty definiu-
je si´ przez ich kszta∏ty, po∏o˝enia, orientacje i materia∏y. Kie-
dy dana sytuacja zosta∏a ju˝ wymodelowana, program rende-
rujàcy oblicza drog´ promieni Êwietlnych od êród∏a Êwiat∏a do
kamery [górna ilustracja na stronie 76].

Modelujàc rozchodzenie si´ Êwiat∏a, mo˝na pos∏u˝yç si´

kilkoma technikami. Metodà bilansu energetycznego dobrze
modeluje si´ sposób, w jaki Êwiat∏o odbite od matowych po-
wierzchni modyfikuje wyglàd otoczenia. Metodà Êledzenia
promieni analizuje si´ bieg promieni po ka˝dym odbiciu. Naj-
nowoczeÊniejszà technikà jest stochastyczne Êledzenie pro-
mieni: promienie padajàce na powierzchni´ sà odbijane w spo-
sób losowy w ró˝nych kierunkach zgodnie z rozk∏adem
prawdopodobieƒstwa, który mo˝e zale˝eç od w∏aÊciwoÊci
powierzchni lub innych elementów otoczenia; umo˝liwia to
poprawnà symulacj´ oddzia∏ywania Êwiat∏a z ró˝nymi z∏o˝o-
nymi kszta∏tami i materia∏ami.

Podstawowe sposoby renderowania opracowano w latach

siedemdziesiàtych w University of Utah. Stworzone wów-
czas modele cieniowania by∏y hybrydami zawierajàcymi ele-

menty symulacji oÊwietlenia, modele odbicia i interpolacj´.
Kszta∏ty przedmiotów cz´sto przybli˝ano za pomocà siatki
trójkàtów. Henri Gouraud opracowa∏ metod´, w której oÊwie-
tlany jest wierzcho∏ek ka˝dego trójkàta, a barwa odbitego
Êwiat∏a interpolowana na ca∏y trójkàt. Lance Williams i Edwin
Catmull (póêniejszy wspó∏za∏o˝yciel firmy Pixar) pierwsi za-
proponowali u˝ycie odwzorowania tekstury. W metodzie tej
barwa przedmiotu zale˝y od obrazu rzutowanego na jego
trójwymiarowà powierzchni´, podobnie jak w przypadku
naklejania kalkomanii na plastikowà zabawk´.

W pierwszych modelach, które wykorzystano w grafice

komputerowej do symulacji odbicia Êwiat∏a od przedmiotów,
próbowano wyraziç g∏ówne aspekty wyglàdu za pomocà pro-
stych wzorów, nie stosujàc praw fizyki do modelowania od-
dzia∏ywania Êwiat∏a z materià. Te tzw. fenomenologiczne mo-
dele odbicia wykorzystujà matematycznà funkcj´, zwanà
funkcjà rozk∏adu dwukierunkowego wspó∏czynnika odbicia
(FRDWO) [ramka na stronie 75]. Istniejà ró˝ne typy FRDWO,
zaczynajàc od funkcji typowych dla materia∏ów matowych, jak
tektura, które rozpraszajà Êwiat∏o równomiernie we wszyst-
kich kierunkach (zgodnie z tzw. prawem Lamberta), a skoƒ-
czywszy na funkcjach dla idealnych zwierciade∏, które odbi-
jajà promieƒ Êwietlny w jednym kierunku [dolna ilustracja na
stronie 76]. Mi´dzy tymi skrajnoÊciami sà powierzchnie b∏ysz-
czàce, które dajà rozk∏ad odbitego Êwiat∏a skupiony z grub-
sza w jednym kierunku. Takie powierzchnie modeluje si´
zwykle za pomocà regulowania rozmiarów zakresu kierun-
ków, w których Êwiat∏o jest silnie odbijane.

W grafice komputerowej tekstur´ i odblask uznaje si´ za

niezale˝ne aspekty wyglàdu. W istocie dla wi´kszoÊci mate-
ria∏ów dostrzegalna ludzkim okiem tekstura jest bardziej cha-
rakterystyczna ni˝ ich odblask, tak wi´c wa˝ne jest, aby gene-
rowaç tekstury i wykorzystywaç je do regulowania w∏asnoÊci
odblaskowych w ró˝nych punktach powierzchni. Do two-
rzenia kombinacji tekstury i odblasku cz´sto wykorzystywa-
ne sà dwie techniki: modele proceduralne oparte na cieniowa-
niu i bezpoÊrednie trójwymiarowe malowanie. Te dwa
podejÊcia ró˝nià si´ od siebie zasadniczo – jedno jest ÊciÊle
zaprogramowane, a drugie wysoce interaktywne.

W modelu proceduralnym wzór tworzy si´ za pomocà pro-

gramu komputerowego. Przyk∏adem niech b´dzie uk∏ad s∏o-
jów w drewnie, który mo˝na zdefiniowaç za pomocà algo-
rytmu tworzàcego przestrzennà tekstur´ trójwymiarowych
koncentrycznych pierÊcieni. Uk∏ad pierÊcieni okreÊla wtedy
barw´ i nat´˝enie Êwiat∏a odbitego od elementów takich jak
nogi sto∏u wyrzeêbione w drewnie. W kraƒcowo innym po-
dejÊciu – metodzie bezpoÊredniego trójwymiarowego ma-
lowania – artysta bezpoÊrednio pokrywa trójwymiarowe
bry∏y wirtualnà farbà. W∏asnoÊci farby okreÊlajà wyglàd ma-
teria∏u, a uk∏ad wzorów otrzymuje si´ dzi´ki ró˝nym rodza-
jom pociàgni´ç wirtualnych p´dzli w poszczególnych frag-
mentach bry∏y. Ide´ trójwymiarowego malowania artysta
ocenia jako naturalnà i intuicyjnà, a systemy na niej oparte
umo˝liwiajà natychmiastowe obejrzenie efektów poprzez wy-
Êwietlenie zmian. Systemy te stosuje si´ wi´c szeroko w prze-
myÊle rozrywkowym.

Choç obie te metody dajà du˝e mo˝liwoÊci, to majà te˝ wie-

le ograniczeƒ. Po pierwsze, cz´sto sà ˝mudne i pracoch∏onne:
wyobraêmy sobie malowanie z∏o˝onego wzoru kamieni wi-

72 Â

WIAT

N

AUKI

Kwiecieƒ 2000

WYGLÑD LUDZKIEJ SKÓRY to jedno z najtrudniejszych zadaƒ
modelowania. Prezentowany obraz uzyskano na drodze symula-
cji oddzia∏ywania Êwiat∏a z naskórkiem i le˝àcà pod nim dobrze
ukrwionà skórà w∏aÊciwà. Wargi sà ró˝owe, poniewa˝ naskórek
na nich jest cienki. Dane do tego obrazu uzyskano z medycznego
skanowania za pomocà magnetycznego rezonansu jàdrowego.

PAT HANRAHAN i

WOLFGANG KRUEGER

docznych na Êcianie budynku. To oczywiste, ˝e techniki
algorytmiczne powinny u∏atwiç ten proces. Po drugie,
w miar´ jak wykorzystywanie obrazów komputerowych
si´ rozpowszechnia, zwi´ksza si´ ró˝norodnoÊç wyglà-
dów, które trzeba wymodelowaç. Doraêne sposoby, wy-
starczajàco dobre w przypadku specyficznych przedmio-
tów i zastosowaƒ, szybko stajà si´ ma∏o u˝yteczne.
Dà˝enie do pokonania tych ograniczeƒ spowodowa∏o po-
wstanie nowego trendu w technikach syntezy obrazów –
uwzgl´dniania wi´kszej iloÊci informacji o strukturze materia-
∏u i oddzia∏ywaniu Êwiat∏a z materià.

Nadawanie chropowatoÊci

Chropowata powierzchnia jest dobrym przyk∏adem struk-

tury materia∏u wp∏ywajàcej na wyglàd. Na powierzchni me-
talu, który by∏ szlifowany lub skrawany, cz´sto widniejà mi-
kroskopijne bruzdy. Materia∏y takie jak tkaniny majà
skrzy˝owane w∏ókna (wàtek i osnow´), które tworzà wybrzu-
szenia i zag∏´bienia. W∏aÊciwoÊci powierzchni mogà si´ rów-
nie˝ zmieniaç w czasie – na przyk∏ad w wyniku polerowa-
nia powierzchni wybrzuszenia sà usuwane, dzi´ki czemu
staje si´ ona bardziej b∏yszczàca.

Mikrogeometria chropowatej powierzchni mo˝e byç mode-

lowana za pomocà zmiennej wysokoÊci pola, zaburzajàcej
w ka˝dym miejscu nieznacznie po∏o˝enie powierzchni. Prze-
suni´cia te mogà byç okreÊlone przez funkcj´ losowà o zada-
nych w∏aÊciwoÊciach statystycznych lub za pomocà szczegó-
∏owej mapy po∏o˝enia mikrostruktur na powierzchni.

Pierwsze badania nad odbiciem od chropowatych po-

wierzchni przeprowadzi∏ Pierre Bouguer w OÊwieceniu. Przy-
jà∏ on, ˝e powierzchnia uformowana jest z wielu mikrofaset
(faseta – inaczej Êcianka, np. brylantu – przyp. t∏um.) W jego
uj´ciu iloÊç Êwiat∏a odbita w stron´ obserwatora zale˝a∏a od
wzgl´dnej liczby mikrofaset, które by∏y nachylone tak, aby
odbijaç Êwiat∏o bezpoÊrednio od êród∏a do obserwatora.
Bouguer mia∏ nadziej´, ˝e konstruujàc uk∏ady mikrofaset od-
bijajàce Êwiat∏o równomiernie we wszystkich kierunkach, b´-
dzie potrafi∏ wyjaÊniç prawo Lamberta, opisujàce wyglàd po-
wierzchni matowych. Ostatecznie okaza∏o si´ to niemo˝liwe.

Jednak w przypadku powierzchni zwierciadlanych lub po-

∏yskliwych mikrofasety sta∏y si´ najcz´Êciej stosowanym mo-
delem. W symulacjach w grafice komputerowej mo˝na bez-
poÊrednio okreÊliç rozk∏ad nachyleƒ mikrofaset. Zwykle
u˝ywa si´ prostego rozk∏adu, w którym chropowatoÊç charak-
teryzowana jest przez jeden parametr okreÊlajàcy, w jakim
stopniu mikrofasety odchylajà si´ od zasadniczego kszta∏tu
powierzchni.

Rozk∏ady mikrofaset czasem zawodzà, nawet w przypad-

ku powierzchni po∏yskliwych. Na przyk∏ad kiedy Êwiat∏o pa-
da na chropowatà powierzchni´ pod ma∏ym kàtem, to szczy-
ty wybrzuszeƒ przes∏aniaç b´dà zag∏´bienia, co zasadniczo
zmieni wyglàd powierzchni. Niestety, wyliczanie takich
efektów samozacieniania z rozk∏adów mikrofaset jest bardzo
trudne. Jeszcze wi´ksze problemy pojawiajà si´, kiedy d∏u-
goÊç fali Êwiat∏a jest porównywalna z rozmiarami zaburzeƒ
na powierzchni. Wtedy nie mo˝na u˝yç prostego modelu
Bouguera dla odbicia, gdy˝ istotne zaczynajà byç efekty fa-
lowe, takie jak dyfrakcja i interferencja.

Wnikanie pod powierzchni´

Ciekawe, ˝e w przypadku wielu materia∏ów fizyczny pro-

ces odbicia nie zachodzi w wyniku oddzia∏ywania Êwiat∏a
z samà powierzchnià, czyli z nieskoƒczenie cienkà warstwà
rozdzielajàcà powietrze i oÊrodek. Oddzia∏ywanie Êwiat∏a
z materià nast´puje wewnàtrz materia∏u. To zjawisko tzw.
rozpraszania podpowierzchniowego jest powszechne w ma-
teria∏ach organicznych, a tak˝e w plastikach i innych materia-
∏ach kompozytowych. GruboÊç wchodzàca w gr´ mo˝e zmie-
niaç si´ od mikronów w przypadku farby czy innych pokryç
do milimetrów dla skóry lub marmuru.

Â

WIAT

N

AUKI

Kwiecieƒ 2000 73

WP¸YW DESZCZU i zabrudzeƒ na wyglàd repliki Wenus z Mi-
lo

(powy˝ej, a) symulowano za pomocà modelu pojedynczych

kropli deszczu

(b), otrzymujàc zniszczony wirtualnym Êrodowi-

skiem i czasem posàg

(c). Podobny model pos∏u˝y∏ do symula-

cji wp∏ywu deszczu na wyglàd fasady budynku

(z prawej).

a

b

c

Wszystkie obrazy: JULIE DORSEY, HANS PEDERSEN i

PAT HANRAHAN

W odbiciu podpowierzchniowym Êwiat∏o przenika w g∏àb

materia∏u. Tam jest rozpraszane i absorbowane przez sk∏ad-
niki oÊrodka, takie jak atomy czy czàsteczki, podobnie jak
w przypadku oddzia∏ywania Êwiat∏a z mgie∏kà pary wodnej.
Rozproszone Êwiat∏o mo˝e wydostaç si´ z powrotem na po-
wierzchni´ i opuÊciç oÊrodek, ukazujàc si´ obserwatorowi ja-
ko Êwiat∏o odbite. Wi´kszoÊç aktów rozpraszania w oÊrod-
ku przypomina odbicia rykoszetem, które odchylajà Êwiat∏o
o mniej ni˝ 90°, tak wi´c potrzebnych mo˝e byç wiele odbiç,
aby Êwiat∏o zosta∏o skierowane z powrotem na zewnàtrz.
W miar´ jak zwi´ksza si´ liczba odchyleƒ, kierunki rozchodze-
nia si´ Êwiat∏a stajà si´ coraz bardziej przypadkowe, przez
co Êwiat∏o mo˝e opuÊciç oÊrodek w losowym kierunku. Pro-
ces ten uwa˝any jest za mechanizm le˝àcy u podstaw prawa
Lamberta.

Teoria rozpraszania w oÊrodkach uwarstwionych zosta-

∏a poczàtkowo opracowana do wyjaÊnienia zjawiska trans-
portu promienistego – tzn. transportu ciep∏a i Êwiat∏a po-
przez oddzia∏ywanie promieniowania z materià – w atmo-
sferach planet i S∏oƒca. Dalej rozwin´li jà badacze za-
interesowani wyglàdem pow∏ok malarskich, skóry, roÊlin-
noÊci i oceanu. Modele tego typu zosta∏y ostatnio zaadapto-
wane w grafice komputerowej. Ciekawe, ˝e zarówno czysta
pomalowana Êciana, jak i delikatne odcienie skóry ludzkiej
twarzy – odpowiednio najprostsze i najtrudniejsze do wy-
modelowania – sà dobrze opisywane przez rozpraszanie
podpowierzchniowe.

Ka˝dy, kto kiedykolwiek malowa∏ mieszkanie, wie, ˝e far-

b´ okreÊlonej barwy uzyskuje si´ z bia∏ ej zmieszanej z odpo-
wiednim pigmentem. Biel farby pochodzi od dwutlenku ty-
tanu, który nie poch∏ania w ogóle Êwiat∏a i jest niemal do-
skona∏ym rozpraszaczem. Kiedy Êwiat∏o pada na powierzch-
ni´ pomalowanà bia∏à matowà farbà, to wnika w jej warstw´
i jest rozpraszane wiele razy przez zawieszone w farbie czàst-
ki dwutlenku tytanu, a˝ w koƒcu opuszcza warstw´ farby i po-
wraca do otoczenia. Powierzchni´ postrzegamy jako bia∏à, po-
niewa˝ tylko bardzo niewielka cz´Êç Êwiat∏a jest poch∏aniana

i fale Êwietlne z ca∏ego zakresu widzialnego odbijajà si´ w takim
samym stopniu. Wielokrotne rozpraszanie w warstwie farby
i wynikajàca z tego przypadkowoÊç kierunku rozchodzenia
si´ Êwiat∏a wyjaÊniajà matowy wyglàd powierzchni.

Aby stworzyç farb´ o innej barwie, do bia∏ej dodaje si´ nie-

wielkà iloÊç pigmentu. Pigmentami sà zwiàzki chemiczne,
które selektywnie poch∏aniajà fale Êwietlne o okreÊlonej d∏u-
goÊci. Poniewa˝ czàstki pigmentu sà zawieszone w niemal
idealnie rozpraszajàcym oÊrodku, w koƒcu dochodzi do od-
dzia∏ywania Êwiat∏a z czàstkà pigmentu i fala o okreÊlonej
d∏ugoÊci zostaje cz´Êciowo poch∏oni´ta; Êwiat∏o opuszczajà-
ce warstw´ farby ma barw´ powsta∏à w wyniku mieszania
si´ fal, które nie zosta∏y poch∏oni´te. Model tego procesu opra-
cowali w 1931 roku P. Kubelka i F. Munk. Przyjmujàc, ˝e oÊro-
dek zawiera czàstki rozpraszajàce i poch∏aniajàce Êwiat∏o rów-
nomiernie we wszystkich kierunkach, wyznaczyli oni barw´
i nat´˝enie Êwiat∏a wychodzàcego z oÊrodka w funkcji grubo-
Êci warstwy oÊrodka i st´˝enia czàstek pigmentu. Ich model
mo˝e byç u˝ywany do symulowania zmian barwy spowo-
dowanych zmianà gruboÊci warstewki farby lub mieszaniem
ró˝nych pigmentów. Pokazali oni równie˝, jak mo˝na wyli-
czyç efekty dawane przez wiele warstw farby, z których ka˝-
da ma innà barw´ i sk∏ad.

Model Kubelki–Munka jest najprostszym i najpowszechniej

u˝ywanym modelem odbicia podpowierzchniowego. Po-
niewa˝ jednak w modelu tym zak∏ada si´, ˝e czàstki roz-
praszajà Êwiat∏o równomiernie we wszystkich kierunkach,
to mo˝e on byç stosowany jedynie do materia∏ów o matowej
powierzchni. Rozpraszanie podpowierzchniowe mo˝e rów-
nie˝ prowadziç do odbijania Êwiat∏a w wyró˝nionych kie-
runkach, jak w przypadku powierzchni po∏yskliwych. Istnie-
jà modele wyjaÊniajàce tego typu efekty. Podstawà tych modeli
jest za∏o˝enie, ˝e czàstki mogà rozpraszaç Êwiat∏o zale˝nie
od kierunku. Âwiat∏o odbite podzielone jest na dwie cz´Êci:
Êwiat∏o, które opuszcza oÊrodek po jednym mocnym rozpro-
szeniu, oraz pozosta∏e Êwiat∏o, rozpraszane wiele razy. Po-
dobnie jak w modelu Kubelki–Munka przyjmuje si´, ˝e Êwia-
t∏o wielokrotnie rozpraszane podlega prawu Lamberta, ale
Êwiat∏o z pojedynczych aktów rozpraszania jest rozdzielone
na poszczególne kierunki zgodnie z funkcjà opisujàcà roz-
praszanie na odpowiednich czàstkach.

ZastosowaliÊmy te koncepcje do modelowania wyglàdu

skóry, co od dawna stanowi∏o najwi´ksze wyzwanie w gra-
fice komputerowej. Skóra jest szczególnie trudna do modelo-
wania, poniewa˝ ma skomplikowanà struktur´, a ludzki
wzrok szczególnie si´ wyostrza, kiedy rozpoznajemy twarz.
Okazuje si´, ˝e rozpraszanie podpowierzchniowe na wielu
warstwach pozwala dostatecznie sprostaç tym wymaganiom.

Skóra ludzka sk∏ada si´ z dwóch zasadniczych warstw:

wewn´trznej skóry w∏aÊciwej i zewn´trznego naskórka. Skó-
ra w∏aÊciwa, bogato ukrwiona, jest czerwona. Naskórek jest
cieƒszy od skóry w∏aÊciwej, ale zawiera melanin´ – zwi´k-
szanie jej st´˝enia powoduje, ˝e naskórek staje si´ bràzowy lub
czarny. Naskórek mo˝e byç te˝ brudny, pokryty t∏uszczem
lub kosmetykami.

Aby wytworzyç realistyczne obrazy twarzy, zmieniamy

w symulacjach st´˝enie krwi i melaniny, a tak˝e wzgl´dnà
gruboÊç warstwy naskórka i skóry w∏aÊciwej. Na przyk∏ad
poniewa˝ wargi pokryte sà bardzo cienkà warstwà naskórka,
sà bardziej czerwone od reszty twarzy. Piegi mo˝na mode-

74 Â

WIAT

N

AUKI

Kwiecieƒ 2000

PROCES STARZENIA SI¢ granitowego sfinksa symulowany jest
za pomocà trójwymiarowej, doÊç grubej pow∏oki

(wstawka).

Pow∏oka ta atakowana jest przez wod´ i zanieczyszczenia, które
wywo∏ujà zmiany chemiczne i powodujà rozpad minera∏ów,
rekrystalizacj´ soli i erozj´.

JULIE DORSEY, ALAN EDELMAN, HENRIK JENSEN, JUSTIN LEGAKIS i

HANS PEDERSEN

lowaç za pomocà plamek dodatkowej melaniny rozproszo-
nych przypadkowo na policzkach [ilustracja na stronie 72].

Wczesne modele grafiki komputerowej by∏y wyidealizo-

wane; zak∏adano w nich, ˝e materia∏y sà w nienagannym sta-
nie. W rzeczywistoÊci wszystkie materia∏y zmieniajà si´ pod
wp∏ywem otoczenia. Te wyglàdy, które majà najwi´cej deta-
li w rzeczywistym Êwiecie – wiekowy mur ceglany, metal po-
kryty rdzà, obroÊni´ty mchem kamieƒ, dobrze wysuszone
drewno – powstajà w wyniku takich procesów jak korozja,
erozja, wzrost biologiczny i sedymentacja. PodatnoÊç materia-
∏u na starzenie si´ jest silnie powiàzana z jego strukturà. Ka-
mieƒ, drewno i metale starzejà si´ w zupe∏nie inny sposób,
poniewa˝ majà ró˝ne struktury. Istotny jest te˝ sposób ob-
róbki – ociosywanie, szlifowanie, barwienie itp. Niedawno
zacz´liÊmy opracowywaç modele niektórych tych procesów.
Wpierw identyfikowaliÊmy podstawowe zjawiska fizyczne,
le˝àce u podstaw okreÊlonej zmiany wyglàdu, a nast´pnie
tworzyliÊmy odpowiedni model komputerowy.

Modelowanie korozji

Patyna na metalach – klasyczny przyk∏ad wp∏ywu otoczenia

na wyglàd przedmiotu – jest warstewkà lub p∏ytkim ubytkiem
na powierzchni, które powstajà w wyniku zmian chemicznych
lub naniesienia albo usuni´cia materia∏u. Patyny mogà tworzyç
si´ w sposób naturalny w wyniku korozji spowodowanej dzia-
∏aniem czynników atmosferycznych lub sztucznie w wyniku
malowania lub innych procesów obróbki. Sk∏ad patyny i tem-
po jej powstawania zale˝y od otaczajàcego Êrodowiska. Na
przyk∏ad tworzy si´ szybciej w Êrodowisku miejskim ni˝ na
innych obszarach, poniewa˝ w powietrzu miejskim jest wy˝-
sze st´˝enie siarki. W powstawaniu patyn wa˝nà rol´ odgry-
wajà opady deszczu i inne czynniki.

OpracowaliÊmy fenomenologiczny model powstawania pa-

tyn na miedzi. Powierzchni´ reprezentuje kilka warstw, a pa-

tyny powstajà przez poddanie owych warstw dzia∏aniu kilku
operatorów programowych, takich jak „na∏ó˝ pow∏ok´”, „pod-
daj erozji” i „wyg∏adzaj”. Na przyk∏ad zastosowanie operato-
ra „na∏ó˝ pow∏ok´” do jakiegoÊ obszaru powoduje dodanie
do wierzchniej warstwy nieco tlenku. Operator „poddaj erozji”
naÊladuje usuwanie przez wiatr i deszcz obluzowanych drobin
materia∏u. Symulujàc zmiany gruboÊci struktur wielowarstwo-
wych z up∏ywem czasu, eksperymentowaliÊmy z modelami,
w których patyna rozprzestrzenia si´ na powierzchni w sposób
fraktalny. (Fraktale sà intensywnie wykorzystywane w grafi-
ce komputerowej, np. do tworzenia realistycznie wyglàdajà-
cego ukszta∏towania terenu, roÊlinnoÊci itp.) Ostateczny wy-
glàd patyny miedzianej zale˝y od tego, jak Êwiat∏o oddzia∏uje
z warstwami le˝àcymi jedna na drugiej, co obliczamy, korzy-
stajàc z modelu Kubelki–Munka [ilustracje na stronach 70 i 71].

Strugi deszczu sà jednym z najwa˝niejszych i najbardziej in-

tensywnie dzia∏ajàcych czynników naturalnych, powodujà-
cych starzenie si´ materia∏ów i prowadzàcych do powstania
charakterystycznych wzorów. Woda mo˝e oczyÊciç pewne
obszary, zmywajàc brud i zabarwiajàc jednoczeÊnie inne frag-
menty przez nanoszenie brudu i innych substancji. Aby wy-
modelowaç te procesy, opracowaliÊmy prosty „drobinowy”
model przep∏ywu wody.

Czàstka-drobina odpowiada kropli wody. Ruch ka˝dej

czàstki jest kontrolowany przez takie czynniki, jak grawitacja,
tarcie, wiatr, chropowatoÊç i wi´zy utrzymujàce czàstk´
w kontakcie z powierzchnià. Oddzia∏ywania chemiczne wo-
dy i powierzchni materia∏u opisywane sà zbiorem równaƒ:
ujmujà one tempo, w jakim powierzchnia absorbuje wod´,
oraz tempo rozpuszczania si´ i osadzania nalotu na po-
wierzchni. Ilustracja na stronie 73 pokazuje wynik zastoso-
wania modelu do symulowania wyp∏ukiwania i zabarwia-
nia powierzchni kopii klasycznej rzeêby Wenus z Milo.

Rozpocz´liÊmy od równomiernej warstwy brudu na rzeê-

bie, a nast´pnie by zmyç powierzchni´, w∏àczyliÊmy symu-

Â

WIAT

N

AUKI

Kwiecieƒ 2000 75

O

dbicie Êwiat∏a od powierzchni mo˝na wyraziç za pomocà funk-
cji rozk∏adu dwukierunkowego wspó∏czynnika odbicia (FRDWO).

Ta matematyczna funkcja opisuje, jaki procent Êwiat∏a padajàcego
z danego kierunku „poczàtkowego” jest odbijany w okreÊlonym kie-
runku „koƒcowym”.

Najstarszym modelem jest prawo odbicia zna-

ne ju˝ staro˝ytnym Grekom, zgodnie z którym
kàt odbicia równa si´ kàtowi padania. Dla dane-
go kierunku „poczàtkowego” ten typ odbicia opi-
sywany jest FRDWO, równà zeru we wszystkich
kierunkach z wyjàtkiem jednego kierunku „koƒco-
wego”, w którym odbijane jest ca∏e Êwiat∏o.

Inny model odbicia to prawo Lamberta, wed∏ug

którego Êwiat∏o odbijane jest równomiernie we
wszystkich kierunkach, niezale˝nie od kierunku,
z którego pada. Prawo Lamberta stanowi dobry
przyk∏ad modelu fenomenologicznego, poniewa˝
dobrze opisuje wyglàd materia∏ów matowych, na
przyk∏ad tektury, bez wnikania w fizyczny me-
chanizm odpowiedzialny za równomierne rozpra-
szanie Êwiat∏a we wszystkich kierunkach. W isto-
cie przez wiele lat wyjaÊnienie prawa Lamberta
w oparciu o podstawowe prawa fizyki by∏o wy-
zwaniem dla badaczy. Mi´dzy tymi skrajnymi
przypadkami zwierciade∏ i powierzchni matowych
powierzchnie b∏yszczàce majà FRDWO, która
odpowiada Êwiat∏u odbitemu, skupionemu w oto-
czeniu jednego kierunku.

Przez wiele lat FRDWO ró˝nych materia∏ów by∏y bezpoÊrednio

mierzone przez in˝ynierów zajmujàcych si´ optykà i radarami, a tak-
˝e egzotycznymi materia∏ami. Z pewnoÊcià takie pomiary mia∏y
istotne znaczenie przy projektowaniu samolotu trudnego do wykrycia

przez radary (stealth). FRDWO sà równie˝ inte-
resujàce dla naukowców zajmujàcych si´ zdal-
nym badaniem powierzchni Ziemi za pomocà
satelitów: wyglàd obszarów pokrytych lasami,
uprawami itd., zmienia si´ w zale˝noÊci od kà-
ta, pod jakim padajà promienie s∏oneczne, i kà-
ta ustawienia przyrzàdów obserwacyjnych sate-
lity. Jest to zagadnienie odwrotne do symulo-
wania wyglàdu materia∏u: nale˝y okreÊliç w∏aÊci-
woÊci materia∏u na podstawie jego wyglàdu.

Z lewej strony pokazany jest przyrzàd do mie-

rzenia FRDWO. W przyrzàdzie tym, skonstru-
owanym w Stanford University, ma∏a próbka
umieszczona jest w Êrodku; êród∏o Êwiat∏a
oÊwietla jà, a fotometr systematycznie przesu-
wa si´ do ró˝nych po∏o˝eƒ na pó∏kuli wokó∏
próbki, mierzàc Êwiat∏o odbite we wszystkich
kierunkach. Pomiary sà powtarzane ze êród∏em
Êwiat∏a przesuwanym do wszystkich po∏o˝eƒ na
pó∏kuli wokó∏ próbki, aby otrzymaç pe∏nà FRDWO
badanego materia∏u. Zmierzone FRDWO do-
piero czekajà na szersze zastosowanie w gra-
fice komputerowej, ale kilka grup pracuje ju˝
nad ich wykorzystaniem.

Pomiar odblaskowoÊci przedmiotu.

Modelowanie odbicia

MARC LEVOY, BRIAN CURLESS, SZYMON RUSINKIEWICZ i

DUANE FULK

Stanford University

LAMPA

KAMERA

lacj´ przep∏ywu wody. Przep∏yw spowodowa∏
powstanie zauwa˝alnych smug w rozk∏adzie
zanieczyszczeƒ, a wykorzystanie czàstek-kro-
pli wprowadzi∏o element losowy. Zanieczysz-
czenia zbiera∏y si´ tam, gdzie powierzchnia by-
∏a chroniona przed przep∏ywem, a zw∏aszcza
pod r´kà. Zanieczyszczenia uk∏ada∏y si´ zgod-
nie z przebiegiem za∏amaƒ w materiale – na
przyk∏ad górne powierzchnie wypuk∏ych partii
pofa∏dowaƒ by∏y czyste, podczas gdy powierzch-
nie poni˝ej nich zanieczyszczone. Uk∏ad za-
nieczyszczeƒ jest równie˝ bardziej równo-
mierny u podstawy rzeêby i przy ziemi, po-
niewa˝ do tego miejsca dociera mniej wody.

Ilustracja na stronie 73 pokazuje wynik zastosowania me-
tody przep∏ywów wody do fasady budynku.

Wiekowe kamienie

Zarówno model miedzianych patyn, jak i „drobinowy” model

przep∏ywu wody, symulujà jedynie efekty powierzchniowe –
zmiany w wyglàdzie obejmujà jedynie cienkà warstw´ w pobli-
˝u powierzchni. Niedawno rozpocz´liÊmy badanie modeli i pro-
cesów, które majà bardziej „obj´toÊciowy charakter”, jak erozja
kamienia. Kamieƒ sk∏ada si´ z jednego minera∏u lub wi´kszej
ich liczby, po∏àczonych w zwarty materia∏. Jego struktura charak-
teryzuje rodzaj kamienia i cz´Êciowo okreÊla fizyczne i chemicz-
ne w∏aÊciwoÊci, ∏àcznie z wytrzyma∏oÊcià, barwà i odpornoÊcià.

Podobnie jak metale kamieƒ wystawiony na dzia∏anie Êro-

dowiska nara˝ony jest na dzia∏anie zanieczyszczeƒ atmosfe-
rycznych, takich jak tlenki w´gla, siarki i azotu, które w po∏à-
czeniu z wodà tworzà ów nies∏awny kwaÊny deszcz. Roztwór
ten nie ogranicza si´ do powierzchni, lecz wnika na pewnà
g∏´bokoÊç w kamieƒ. Kamieƒ mo˝e zostaç zmieniony che-
micznie, a podczas rekrystalizacji wytworzy si´ skorupa, któ-
ra zwykle jest bardziej krucha od jego wyjÊciowej struktury.
Fragmenty skorupy w koƒcu si´ od∏amujà, ods∏aniajàc Êwie-
˝y kamieƒ i wystawiajàc go na kolejny atak. Tak wi´c pe∏ny
efekt starzenia si´ kamienia obejmuje zmian´ barwy, tworze-
nie si´ brudnych zeskorupieƒ, erozj´ powierzchni i zniszcze-
nia strukturalne, takie jak p´kni´cia.

Ilustracja na stronie 74 pokazuje symulacje granitowego

sfinksa, który zosta∏ poddany dzia∏aniu takiego procesu. Po-
staç sfinksa zosta∏a wymodelowana jako doÊç gruba pow∏o-
ka z kamienia. Trójwymiarowa funkcja opisuje, jakie mine-
ra∏y wyst´pujà w strukturze kamienia tej „powierzchni
z obj´toÊcià”. Model otoczenia zawiera êród∏a wody i zanie-
czyszczeƒ, które wywo∏ujà reakcje na powierzchni i wewnàtrz
skorupy. W ten sposób model tworzy skomplikowanà mikro-
geometri´ powierzchni i z∏o˝onà obj´toÊciowà mieszank´ mi-
nera∏ów. Aby odtworzyç oddzia∏ywanie minera∏ów ze Êwia-
t∏em i zabarwienie dawane przez nie blisko powierzchni,
symulujemy rozpraszanie Êwiat∏a w kamieniu za pomocà sto-
chastycznego Êledzenia promieni.

Trudnym problemem, który pojawia si´ w wielu zagadnie-

niach grafiki komputerowej, jest koniecznoÊç ograniczenia
liczby obliczeƒ bez utraty jakoÊci obrazu. Na przyk∏ad dla
scen, w których poddany erozji posàg pojawia si´ w tle, wy-

76 Â

WIAT

N

AUKI

Kwiecieƒ 2000

ODBICIA OD POWIERZCHNI sà kluczowym elementem syste-
mów formowania obrazów. Odbicie zwierciadlane

(a) daje w efek-

cie po∏yskliwe powierzchnie z jasnym obszarem. Proste mate-
ria∏y matowe, takie jak tektura, mogà byç modelowane za pomocà
odbicia z rozproszeniem

(b), które powoduje równomierne roz-

proszenie Êwiat∏a we wszystkich kierunkach. W wielu mate-
ria∏ach wa˝nym czynnikiem wp∏ywajàcym na wyglàd jest od-
dzia∏ywanie podpowierzchniowe

(c).

ODDZIA¸YWANIE ÂWIAT¸A z otoczeniem musi
byç uwzgl´dniane w symulacjach, aby otrzymaç
realistyczny obraz komputerowy. Na otoczenie sk∏a-
dajà si´ êród∏a Êwiat∏a, przedmioty, a tak˝e kamery
rejestrujàce scen´. Symulacja musi uwzgl´dniaç
powierzchnie po∏yskliwe i matowe oraz widocz-
nà tekstur´ powierzchni.

a

b

c

ODBICIE ZWIERCIADLANE

ODBICIE Z ROZPROSZENIEM

ROZPRASZANIE PODPOWIERZCHNIOWE

ALFRED T. KAMAJIAN

starcza zastàpienie odwzorowaƒ fa∏du-
jàcych (okreÊlajàcych ma∏e geometrycz-
ne nieregularnoÊci powierzchni) roz-
k∏adem mikrofaset, które tworzà po-
prawnà tekstur´ przy znacznie mniej-
szych wymaganiach obliczeniowych.
Jednak w miar´ przesuwania si´ kame-
ry i wysuwania posàgu na pierwszy
plan odwzorowania fa∏dujàce stajà si´
niezb´dne do wytworzenia efektu re-
alizmu [ramka z prawej].

Nie rozwiàzane problemy

Proces opracowywania modeli ma-

teria∏ów do grafiki komputerowej do-
piero si´ rozpoczà∏, ale ju˝ postawiono
kilka kluczowych pytaƒ dotyczàcych
ograniczeƒ modeli i dopuszczalnych
uproszczeƒ. Dla wielu aspektów wy-
glàdu nie znaleziono jeszcze dobrego
wyjaÊnienia opartego na prawach fizy-
ki. Na przyk∏ad korozja metali jest bar-
dzo ciekawa pod wzgl´dem naukowym
i ma oczywiste znaczenie praktyczne,
a jednak nauka nie wyjaÊnia jej z∏o˝o-
noÊci. Inny problem polega na tym, ˝e
szeroki zakres zastosowaƒ techniki
renderowania wymaga modeli o ró˝-
nym stopniu dok∏adnoÊci. Chocia˝by
przy tworzeniu filmów idzie przede
wszystkim o to, aby wyglàd materia-
∏ów by∏ poprawny – fizyczna dok∏ad-
noÊç ma drugorz´dne znaczenie. Jed-
nak w zastosowaniach in˝ynierskich
i naukowych dok∏adnoÊç fizyczna ma
znaczenie zasadnicze – co daje w efek-
cie inny zbiór oczekiwaƒ w stosunku
do stosowanych modeli. Mo˝emy do-
strzec ten kompromis w modelu skó-
ry; mimo ˝e jest wystarczajàco dobry
w wielu zastosowaniach, to nie zawie-
ra takich elementów, jak mieszki w∏o-
sowe, pory czy gruczo∏y t∏uszczowe, które zapewne by∏y-
by interesujàce dla dermatologa lub biologa.

Problem tworzenia takich modeli materia∏ów, które by∏yby

oparte na prawach fizyki i potrafi∏yby uwzgl´dniaç zmiany
zachodzàce w miar´ up∏ywu czasu, to istotne wyzwanie dla
grafiki komputerowej. Potrzebny jest wi´kszy zbiór modeli
materia∏ów i modeli procesów wp∏ywajàcych na ich wyglàd.
Najlepiej by∏oby, gdyby informatycy wyodr´bnili i sklasyfiko-
wali dost´pne materia∏y wirtualne, do których mia∏yby ∏atwy
dost´p rzesze u˝ytkowników – w du˝ym stopniu tak jak obec-
nie wykorzystywane sà kliparty. W miar´ jak badacze b´dà
uzyskiwaç coraz lepszy wglàd w struktur´ materia∏ów i opra-

cowywaç nowe modele komputerowe, to p∏ynàce z tego ko-
rzyÊci spo˝ytkowane zostanà w wielu nowych aplikacjach pro-
jektowych i in˝ynierskich. Projektanci samochodów mogliby
oceniaç rozmaite pow∏oki nanoszone na wirtualne samochody
i badaç ich struktur´, wyglàd i starzenie si´. Architekci i kon-
serwatorzy mogliby symulowaç d∏ugoterminowà wytrzy-
ma∏oÊç materia∏ów i badaç ró˝ne sposoby jej poprawienia.
Wreszcie modele komputerowe materia∏ów pomog∏yby projek-
tantom w tworzeniu ca∏kowicie nowych wyglàdów – co po-
zwoli∏oby upi´kszyç Êwiat, a nie tylko go imitowaç.

T∏umaczy∏

Piotr Ràczka

Â

WIAT

N

AUKI

Kwiecieƒ 2000 77

Informacje o autorach

JULIE DORSEY i PAT HANRAHAN od 1994
roku opracowujà wspólnie cyfrowe modele
materia∏ów. Dorsey jest profesorem nadzwy-
czajnym na wydzia∏ach architektury, elektro-
techniki i informatyki i cz∏onkiem Laborato-
ry for Computer Science w Massachusetts
Institute of Technology. Hanrahan jest pro-
fesorem na wydzia∏ach informatyki i elektro-
techniki w Stanford University.

Literatura uzupe∏niajàca

REFLECTION FROM LAYERED SURFACES DUE TO SUBSURFACE SCATTERING.

Pat Hanrahan i Wolfgang

Krueger, Proceedings of SIGGRAPH 93; ACM, 1993.

MODELING AND RENDERING OF METALLIC PATINAS.

Julie Dorsey i Pat Hanrahan, Proceedings of

SIGGRAPH 96; ACM, 1996.

TEXTURING AND MODELING.

Wyd. II. Red. D. S. Ebert i in.; Morgan Kaufmann Publishers, 1998.

MODELING AND RENDERING OF WEATHERED STONE.

Julie Dorsey, Alan Edelman, Henrik Jensen,

Justin Legakis i Hans Pedersen, Proceedings of SIGGRAPH 99; ACM, 1999.

Wi´cej informacji i obrazów mo˝na znaleêç w Internecie pod adresem: http://gra-

phics.lcs.mit.edu/materials/

Poziom szczegó∏owoÊci

S

ystemy grafiki komputerowej muszà radziç sobie z obrazami zawierajàcymi miliony ele-
mentarnych kszta∏tów geometrycznych i cz´sto wykonywaç miliony obliczeƒ FRDWO w ce-

lu stworzenia jednego obrazu. Wykorzystanie modeli materia∏ów w zastosowaniach prak-
tycznych wymaga wi´c umiej´tnoÊci minimalizowania iloÊci obliczeƒ. Mo˝e to polegaç po

prostu na wczeÊniejszym oblicze-
niu lub przybli˝eniu funkcji roz-
k∏adu odbiç i zachowaniu wyni-
ków do szybkiego wywo∏ania
w czasie faktycznego konstru-
owania obrazu.

Innà wa˝nà technikà jest wpro-

wadzenie hierarchii stopni abs-
trakcji i wykorzystywanie w∏aÊci-
wego stopnia we w∏aÊciwym
momencie. JeÊli kamera wykonu-
je zbli˝enie w celu przedstawie-
nia bliskiego obrazu przedmiotu, to
powinny byç widoczne subtelne
szczegó∏y powierzchni, wi´c trze-
ba je wymodelowaç. Ale gdy ka-
mera oddala si´ i skala obrazu
ulega zmianie, subtelne szczegó-
∏y stanà si´ nierozró˝nialne i mo˝-
na je zastàpiç prostszym przybli-
˝eniem. Na przyk∏ad powierzchnia
chropowata mo˝e byç modelowa-
na za pomocà wysokoÊci pola,
a dla zbli˝eƒ te nieregularnoÊci
mogà byç przedstawione jako wi-
doczne geometryczne przesuni´-
cia – wyraênie widoczne wypuk∏o-

Êci i zag∏´bienia na powierzchni. Dla uj´ç poÊrednich dostrzegalny mo˝e byç jedynie uÊredniony
kszta∏t powierzchni, a chropowatoÊç – reprezentowana subtelnymi zmianami w cieniowaniu
i przez pasma samocieniowania. W uj´ciach z du˝ej odleg∏oÊci wystarczajàcy mo˝e byç roz-
k∏ad mikrofaset.

Automatyczna zmiana reprezentacji i sposobu obliczania w∏aÊciwoÊci materia∏ów w mia-

r´ zbli˝ania si´ lub oddalania jest trudnym, ale bardzo wa˝nym zagadnieniem. Jak stworzyç
program komputerowy, który prze∏àczy automatycznie odpowiednie poziomy szczegó∏o-
woÊci? Obrazy w dzisiejszych zastosowaniach sà bardzo z∏o˝one, cz´sto sk∏adajà si´
z dziesiàtek milionów powierzchni, tak wi´c dla wydajnoÊci obliczeƒ bardzo istotne jest wy-
korzystanie najprostszego mo˝liwego przybli˝enia ka˝dego elementu.

Wybór najlepszego modelu powierzchni
– tu poduszki – zale˝y od wymaganego
stopnia szczegó∏owoÊci.

1000

Geometria

100

10

1 mm

0.1

0.01

FRDWO

Tekstura,
odwzoro-

wania

fa∏dujàce

SKALA MIKRO

SKALA MILI

SKALA PRZEDMIOTU

STEPHEN WESTIN

Cornell University