Ć w i c z e n i e 46
POMIAR INDUKCJI ELEKTROMAGNETYCZNEJ
46.1. Wstęp teoretyczny
Indukcja (z Å‚aciny inductio) to wprowadzenie w jakiÅ› stan, wzbudzenie jakiegoÅ› zjawiska. W
nauce funkcjonuje wiele zjawisk określanych tym mianem. Termin indukcja występuje w biologii,
psychologii, logice, matematyce oraz w fizyce. W dziale fizyki zwanym elektromagnetyzmem
rozróżniamy trzy zjawiska indukcyjne:
1) Zjawisko indukcji elektrostatycznej to elektryzowanie się ciał w polu elektrycznym
wytworzonym przez ciała elektrycznie naładowane (elektryzowanie na odległość). Dla
przewodników polega ona na przemieszczeniu się swobodnych ładunków aż do stanu, w
którym pole wytworzone przez te ładunki całkowicie skompensuje zewnętrzne pole wewnątrz
danego ciała. Następuje rozseparowanie ładunków dodatnich od ujemnych. Przeciwstawne
końce przewodnika ładują się przeciwnymi znakami, ale całość pozostaje obojętna elektrycznie.
Dla dielektryków indukcja elektrostatyczna polega na częściowym rozsunięciu się ładunków
ujemnych od dodatnich w cząsteczkach, z których jest zbudowane dane ciało fizyczne. W
efekcie cząsteczki ciała umieszczone w polu elektrostatycznym stają się dipolami
elektrycznymi.
2) Zjawisko indukcji magnetostatycznej to zjawisko magnetyzowania się ciał w polu
magnetycznym. Jest to zjawisko powstania polaryzacji magnetycznej ciała, tj. wypadkowego
momentu magnetycznego spowodowanego oddziaływaniem momentów magnetycznych
elektronów (orbitalnych i spinowych) z zewnętrznym polem magnetycznym.
3) Zjawisko indukcji elektromagnetycznej Faradaya to powstawanie napięcia na końcach
przewodnika, gdy umieszczony on jest w zmiennym polu magnetycznym. Szczególnymi
odmianami tego zjawiska są zjawiska: indukcji wzajemnej i indukcji własnej, które stanowią
przedmiot omawianego ćwiczenia laboratoryjnego.
46.1.1 Indukcyjność wzajemna
Jeśli dwa obwody elektryczne umieścimy dostatecznie blisko siebie, to pole magnetyczne
wytworzone przez przepływ prądu o zmiennym natężeniu w pierwszym obwodzie indukuje
napięcie w drugim obwodzie. Zgodnie z prawem Biota-Savarta-Laplace a:
1
rð rð
ź I rð
dB = (dl × r)
(46.1)
4 Ä„ r3
indukcja B pola magnetycznego, wytworzonego przez pierwszy obwód w danym punkcie
przestrzeni jest proporcjonalna do natężenia prądu I płynącego w tym obwodzie. Z tego powodu
strumień pola magnetycznego przechodzący przez drugi obwód będzie proporcjonalny do natężenia
prądu w pierwszym obwodzie. Współczynnik proporcjonalności zależy od rozmiarów, kształtów i
wzajemnego położenia obwodów oraz od bezwzględnej przenikalności magnetycznej ź ośrodka
otaczającego obwody. Słuszne jest więc ogólna zależność:
ÅšB2 = M21I1
(46.2)
gdzie:
ÅšB2
strumień indukcji pola magnetycznego B przepływający przez obwód drugi
M współczynnik indukcyjności wzajemnej obwodu drugiego względem obwodu
21
pierwszego,
I prąd płynący w obwodzie pierwszym.
1
µ2
Napięcie indukowane w obwodzie drugim zwane siłę elektromotoryczną obliczamy z prawa
indukcji Faraday a:
dÅš
µ = -
(46.3)
dt
W naszym przypadku otrzymujemy:
dÅšB2 dI1
µ2 = - = - M21
(46.4)
dt dt
µ2
co oznacza, że napięcie indukowane w obwodzi e drugim jest proporcjonalne do szybkości
zmian prądu w obwodzie pierwszym, a współczynnik M. stanowi stałą proporcjonalności.
Można rozpatrzyć sytuację odwrotną do opisanej równaniem (46.2), gdy prąd płynący w
obwodzie drugim wywołuje pole magnetyczne działające na obwód pierwszy:
ÅšB1 = M12I2
(46.5)
gdzie:
ÅšB12
strumień indukcji pola magnetycznego B przepływający przez obwód pierwszy,
M współczynnik indukcyjności wzajemnej obwodu pierwszego względem obwodu
12
drugiego,
I prąd płynący w obwodzie drugim.
2
2
µ1
Siła elektromotoryczna w tym obwodzie wyraża się wzorem:
dI2
µ1 = - M12
(46.6)
dt
Można udowodnić [7], że obie indukcyjności wzajemne są sobie równe (jest to tzw. reguła
wzajemności) i oznaczyć M = M = M.
21 12
W ćwiczeniu duża cewka o długości 0,75 m. stanowi obwód pierwszy (wytwarzający w jej
wnętrzu jednorodne pole magnetyczne), natomiast mała cewka (jest ich w zestawie 7 do wyboru) to
obwód wtórny. Mała cewka jest umieszczana w środku dużej. Strumień indukcji magnetycznej
przepływający przez mała cewkę w warunkach doświadczenia wynosi:
Åš = B S n
(46.7)
gdzie:
S pole przekroju jednego zwoju w cewce małej,
n ilość zwoi cewki małej,
B wartość indukcji magnetycznej wytworzonej przez cewkę dużą w jej wnętrzu.
Wyraża się ona teoretycznym wzorem:
N
B = ź I
(46.8)
l
gdy dużą cewka posiada N zwoi na długości l i płynie przez nią prąd o natężeniu I
PodstawiajÄ…c (46.8) do (46.7) z otrzymujemy:
N
Ś = ź S n I
(46.9)
l
Gdy prąd I będzie zmienny I(t) zgodnie z (46.3), w małej cewce indukuje się napięcie o wartości:
N dI
µ = - ź S n
(46.10)
l dt
Porównując to wyrażenie ze wzorem (46.6) otrzymujemy teoretyczny wzór na współczynnik
indukcji wzajemnej doświadczalnego układu cewek:
N
M = ź S n
(46.11)
l
Celem ćwiczenia jest eksperymentalne wyznaczenie współczynnika M. i porównanie go z
wartością obliczoną teoretycznie. W eksperymencie dysponujemy generatorem funkcyjnym, który
daje prąd sinusoidalnie zmienny o częstotliwościach z zakresu 1-12 kHz, a więc siła
elektromotoryczna (w skrócie SEM) indukowana w małej cewce też będzie się zmieniać
sinusoidalnie z taką samą częstotliwością:
I(t) = I0sin(É t)
jeśli (46.12)
3
µ = - M É I0cos(É t)
to (46.13)
µ = - µ0cos(É t)
Ponieważ możemy zapisać (46.14)
I0 , µ0
to związek między amplitudami ma postać:
µ0 = M I0 É
(46.15)
W eksperymencie nie możemy zmierzyć bezpośrednio tych wielkości. Mierniki (amperomierz i
I0 µ0
IS = µS =
woltomierz) potrafią mierzyć tylko wartości skuteczne :
; . Uwzględniając te
2 2
zależności wzór (46.15) przyjmie postać:
µS = M IS É
(46.16)
wiążącą wielkości mierzalne z wyznaczanym współczynnikiem indukcyjności wzajemnej M.
V s
Henr =
Jednostką indukcyjności wzajemnej w układzie SI jest
Po przekształceniu
A
µ2
M21 = -
dI1
wzoru (46.4) względem M otrzymujemy co po podstawieniu jednostkowych
21
dt
1 V
1H =
1 A
wartości daje tzn. że indukcyjności wzajemna wynosi 1H , gdy w obwodzie drugim
1s
indukuje się napięcie 1V w wyniku zmian prądu w obwodzie pierwszym z szybkością 1A na
sekundÄ™.
46.1.2 Indukcyjność własna
.Jeśli mamy tylko jeden obwód elektryczny i płynie przez niego prąd to oczywiście
wytwarza on pole magnetyczne. Należy zauważyć, że sam obwód jest więc zanurzony w
wytworzonym przez siebie polu magnetycznym. Podobnie jak w przypadku indukcji wzajemnej
(46.2) można łatwo stwierdzić, że strumień indukcji magnetycznej Ś jest wprost proporcjonalny
B
do natężenia prądu I:
ÅšB = LI
(46.17)
gdzie L nazywamy współczynnikiem indukcyjności własnej obwodu lub jego indukcyjnością.
Indukcyjność własna obwodu zależy od rozmiarów i kształtu obwodu oraz od przenikalności
magnetycznej ośrodka. Jednostka indukcyjności własnej w układzie SI, tak jak indukcyjności
4
wzajemnej, jest henr. Gdy prąd płynący przez obwód będzie się zmieniał, to w nim samym (tzn. w
obwodzie) indukuje się napięcie, które możemy wyznaczyć podstawiając do (46.3) wzór (46.17):
dI
µ = - L
(46.18)
dt
Znak minus w tym wzorze oraz we wzorach (46.3), (46.4), (46.6) wyraża fakt indukowania się
napięcia w takim kierunku , aby przeciwstawić się narzuconym z zewnątrz zmianom strumienia
magnetycznego (jest to tzw. reguła przekory Lenza).
Obliczymy teraz indukcyjność własną długiego solenoidu o liczbie zwojów N, długości l
oraz powierzchni przekroju poprzecznego S, wypełnionego materiałem o bezwzględnej
przenikalnoÅ›ci magnetycznej µ. ZaÅ‚ożymy, że przez solenoid pÅ‚ynie prÄ…d o natężeniu I. Indukcja
pola magnetycznego wewnątrz solenoidu wyraża się zgodnie ze wzorem (46.8):
N
B = ź I
(46.19)
l
Całkowity strumień Ś pola magnetycznego przepływający przez powierzchnie wszystkich zwojów
B
solenoidu wynosi:
Åš = N B S (46.20)
B
a po podstawieniu (46.19) do (46.20) otrzymamy:
ź N2S I
ÅšB = (46.21)
l
Porównując ten wzór ze wzorem (46.17) otrzymujemy następujące teoretyczne wyrażenie dla
indukcyjności własnej długiego solenoidu:
ź N2S
L = (46.22)
l
46.2. Opis układu pomiarowego
Układ pomiarowy przedstawiony na rysunku (46.4) zawiera:
1) dużą cewkę (uzwojenie pierwotne): długość 750 mm, 485 zwoi/metr, średnica kanału 79
mm, opór 0,3 ©, indukcyjność 1 mH;
2) cewki (uzwojenie wtórne, umieszczane wewnątrz uzwojenia pierwotnego):
nr 1: 300 zwoi, Å›rednica 41 mm, indukcyjność 800 µH, opór 3,5 ©,
nr 2: 300 zwoi, Å›rednica 33 mm, indukcyjność 530 µH, opór 2,8 ©,
nr 3: 300 zwoi, Å›rednica 26 mm, indukcyjność 330 µH, opór 2,2 ©,
nr 4: 200 zwoi, Å›rednica 41 mm, indukcyjność 500 µH, opór 2,2 ©,
5
nr 5: 150 zwoi, Å›rednica 26 mm, indukcyjność 90 µH, opór 0,3 ©,
nr 6: 100 zwoi, Å›rednica 41 mm, indukcyjność 240 µH, opór 1,1 ©,
nr 7: 75 zwoi, Å›rednica 26 mm, indukcyjność 24 µH, opór 0,15 ©,
3) generator funkcyjny: 0,1  100 kHz, sygnałów harmonicznych o regulowanej amplitudzie,
4) cyfrowy miernik częstotliwości o 4 dekadach używany do dokładnego określania
częstotliwości sygnału generatora,
5) multimetr stosowany do pomiaru napięcia,
6) multimetr stosowany do pomiaru natężenia,
7) kable Å‚Ä…czÄ…ce.
3 1
4
É (Hz)
6
IS (A)
5
2
µs (V)
Rys. 46.1. Układ laboratoryjny.
Zdjęcie układu eksperymentalnego ćwiczenia przedstawia rys 46.1 Jedna z cewek
uzwojenia wtórnego [2] znajduje się wewnątrz cewki uzwojenia pierwotnego [1]. Korzystając z
generatora funkcyjnego [3] otrzymujemy prąd sinusoidalny o nastawnych częstotliwościach z
zakresu 1-12 kHz. W celu dokładnego wyznaczenia częstotliwości generowanego sygnału do
generatora [3] podłączony jest równolegle miernik [4] pracujący w trybie częstościomierza. Do
zmierzenia wartości skutecznej natężenia prądu płynącego przez dużą cewkę służy jeden z
multimetrów [6] pracujący w trybie amperomierza. Generator [3], amperomierz [6], cewka
uzwojenia pierwotnego [1] tworzą obwód pierwszy. Obwód drugi to multimetr [5] pracujący jako
woltomierz podłączony do jednej z cewek uzwojenia wtórnego [2]. Multimetr [5] pozwala
6
zmierzyć wartość skuteczną generowanego w drugim obwodzie napięcia. Najlepsze zobrazowanie
badanego zjawiska indukcji elektromagnetycznej uzyskuje siÄ™, gdy cewki [2] umieszcza siÄ™ w
połowie długości kanału cewki [1].
46.3. Przebieg pomiarów
1. Sprawdzamy, czy obwód jest połączony tak jak na rys. 46.1, a nastawy przyrządów
odpowiadają wymogom ćwiczenia. Uwagi należy zgłaszać prowadzącemu, a pracę można
rozpocząć tylko na polecenie prowadzącego. Uwagi do stosowanego sprzętu.
qð Mierniki uniwersalne wyposażone sÄ… w ukÅ‚ady samowyÅ‚Ä…czajÄ…ce - w przypadku
wyłączenia się miernika w trakcie ćwiczenia należy włączyć go ponownie.
qð Generator posiada dwie funkcje sterujÄ…ce parametrami natężenia prÄ…du, których nastawy
sumujÄ… siÄ™:
o używany w ćwiczeniu potencjometr amplitudy sygnału harmonicznego,
o potencjometr OFFSET ustalający poziom sygnału stałego.
2. Pomiary z punktu 3-5 grupa realizuje dla dwóch lub trzech wybranych przez prowadzącego
cewek uzwojenia wtórnego. Zapisać parametry wybranych cewek. Cewkę wtórną (małą) należy
umieścić w środku cewki pierwotnej (dużej).
µS(f )
3. Pomiar . W czasie pomiarów należy utrzymać stałe I . Zaleca się sprawdzić przed
S
właściwymi pomiarami możliwy do uzyskania zakres natężeń I (proponowana wartość 4 mA).
S
Zmieniamy częstotliwość w zakresie 1-12 kHz co 1 kHz. Po sprowadzeniu natężeniu prądu do
wybranej stałej wartości, notujemy odczyty napięcia. Pomiar powtarzamy 2-krotnie.
Uwaga  w opisie teoretycznym ćwiczenia we wzorach używana jest czÄ™stość koÅ‚owa É..
Mierniki używane w ćwiczeniu wskazujÄ… czÄ™stotliwość  f. ZwiÄ…zek miÄ™dzy nimi to É =2Ä„ f .
µS(IS)
4. Pomiar. W czasie pomiarów należy utrzymać stałe f (sugerowane około 11 kHz) .
Zmieniamy natężenie w zakresie od maksymalnego do 0 tak by wykonać 10 pomiarów.
Notujemy wyniki napięcia. Pomiar powtarzamy 2-krotnie.
Ãf , õ , ÃI
5. Ustalić i zapisać niepewności pomiarowe stosowanych mierników:
S S
7
6. Pomiar L. Wyłączamy układ zasilania dużej cewki. Miernik uniwersalny połączony z małą
cewką przełączmy z pomiaru napięcia na pomiar indukcyjności. Mierzymy indukcyjności
wszystkich małych cewek użytych w ćwiczeniu.
7. Uwagi dotyczÄ…ce wyboru cewek. Proponuje siÄ™ dwa warianty wyboru:
7a. Wybieramy 3 cewki o jednakowej ilości zwojów, a różniące się przekrojem (są 2 zestawy
µS(S)
takich cewek).Taki wybór umożliwia doświadczalne przeanalizowanie zależności .
7b. Wybieramy 3 cewek o jednakowym przekroju, a różniące się ilością zwojów (są 2 zestawy
µS(n)
takich cewek). Taki wybór umożliwia doświadczalne przeanalizowanie zależności .
46.4. Opracowanie wyników pomiarów
1. Każdy ćwiczący wykonuje opracowanie dla wskazanej mu przez prowadzącego cewki z
pośród zbadanych przez grupę.
2. Przeliczyć czÄ™stotliwoÅ›ci f na czÄ™stotliwoÅ›ci koÅ‚owe É . Nanieść na wykresy punkty
µS(É ) µS(IS)
pomiarowe zależności badanych obowiązkowo: a) b)
µS(S) µS(n)
oraz zagadnień dodatkowych, jeżeli były realizowane: c) d)
3. Przez punkty pomiarowe przeprowadzić optymalne proste wyznaczone metodą
najmniejszych kwadratów Gaussa. Wyznaczyć nachylenia prostych wraz z ich
niepewnościami pomiarowymi.
4. W oparciu o uzyskane proste oraz (46.16) wyznaczyć współczynniki indukcyjności
wzajemnej M oraz ich niepewności w obu przypadkach:
µS(É )
a) Na bazie wykresu :
d µS
a =
Nachylenie otrzymanej funkcji liniowej
.Zależność (46.16) możemy dla tego
d É
d µS
d µS = M IS d É d É a
przypadku zapisać różniczkowo: . Stąd
M = =
IS IS
8
µS(IS)
b) Na bazie wykresu
d µS
m =
Nachylenie otrzymanej funkcji liniowej oznaczmy .Zależność (46.16)
d IS
d µS = M É d IS
możemy dla tego przypadku zapisać różniczkowo: . Stąd
d µS
d IS m
M = =
É É
Dla obu przypadków obliczyć niepewności pomiarowe na M. , korzystając z wcześniej
Ãf , õ , ÃI
zanotowanych wartoÅ›ci niepewnoÅ›ci ; przy czym ÃÉ = 2Ä„ Ãf
S S
5. Korzystając ze wzoru (46.11) obliczyć teoretyczne wartości współczynników indukcji
wzajemnej dla stosowanych zestawów cewek.
6. Zestawić otrzymane wyniki i wyciągnąć wnioski.
7. Na bazie wzoru (46.22) obliczyć indukcyjność L stosowanych cewek wtórnych i otrzymane
wartości porównać z ich pomiarami bezpośrednimi oraz wartościami podanymi na
obudowach cewek. Wyciągnąć wnioski.
8. Jeśli dokonano wyboru cewek zgodnie z propozycją zawartą w punkcie 7 rozdziału
µS(S) µS(n)
wykonania pomiarów przeanalizować wykresy: c) d) oraz wyciągnąć
właściwe wnioski.
46.5. Przykładowe pytania kontrolne
1. Omówić prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya
2. Omówić zjawiska indukcyjności wzajemnej oraz samoindukcji.
3. Co to jest zasada przekory Lentza.
4. Porównać metody zastosowane do wyznaczania współczynnika indukcyjności wzajemnej M.
9
5. Omówić właściwości pola magnetycznego powstałego na skutek przepływu prądu stałego w
przewodniku o kształcie pierścienia.
6. Omówić właściwości strumienia magnetycznego.
L i t e r a t u r a
[1] Katalog PHYWE LEP 4.4.02-02 www.phywe.de
[2] Mieczysław Demianiuk, Krótki kurs fizyki dla inżynierów : notatki wykładowcy, Warszawa
2003, BEL Studio.
[3] Michał Janusz Małachowski, Fizyka doświadczalna. Cz.2. Elektryczność i magnetyzm :
zjawiska falowe. Skrypt WAT 1976.
[4] David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker; Podstawy fizyki; Wydawnictwo Naukowe PWN
Warszawa 2003.
[5] M.A Herman, A. Kalestyński, L. Widomski; Podstawy fizyki dla kandydatów na wyższe
uczelnie i studentów, Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 2006.
[6] Edward Mulas; Przykłady symulacji komputerowej w fizyce; Oficyna Wydawnicza
Politechniki Warszawskiej 2006.
[7] Edward Purcell; Elektryczność i Magnetyzm (Berkeley owski Kurs Fizyki, tom 2) ;
Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 2003.
10