Ć w i c z e n i e 46
POMIAR INDUKCJI ELEKTROMAGNETYCZNEJ
Cele ćwiczenia możliwe do zrealizowania:
1. wyznaczyć zależność SEM indukcji badanego układu od częstotliwości,
2. wyznaczyć zależność SEM indukcji badanego układu od natężenia prądu,
3. wyznaczyć współczynnik indukcyjności wzajemnej badanego układu,
4. wyznaczyć współczynnik indukcyjności własnej badanych cewek,
5. zagadnienia dodatkowe - według decyzji prowadzącego:
a. wpływ kształtu sygnału na wartość SEM indukcji badanego układu,
b. wpływ wzajemnego położenia cewek na wartość SEM indukcji badanego układu.
Każdy ćwiczący realizuje cele 1-4 w oparciu o inny zestaw cewek, ale zapisuje wszystkie pomiary
wykonywane przez ćwiczących.
46.1. Opis teoretyczny
Indukcja (z Å‚aciny inductio) to wprowadzenie w jakiÅ› stan, wzbudzenie jakiegoÅ› zjawiska. W
nauce funkcjonuje wiele zjawisk określanych tym mianem. Termin indukcja występuje w biologii,
psychologii, logice, matematyce oraz elektromagnetyzmie. W tym ostatnim przypadku termin ten
stosowany jest w kilku znaczeniach.
1) Indukcja elektrostatyczna to zjawisko elektryzowania się ciał w polu elektrycznym. Dla
przewodników polega ona na przemieszczeniu się swobodnych ładunków aż do stanu, w którym
pole wytworzone przez te ładunki całkowicie skompensuje zewnętrzne pole wewnątrz danego
ciała. W rezultacie na powierzchni ciała przewodzącego wytwarza się ładunek indukowany, ale
całość pozostaje obojętna elektrycznie. Dla dielektryków indukcja elektrostatyczna polega na
częściowym rozsunięciu się ładunków ujemnych i dodatnich w ciele. Rozsunięte ładunki
tworzÄ… dipole elektryczne, co makroskopowo obserwuje siÄ™ jako pojawienie siÄ™ Å‚adunku, ale
całość pozostaje obojętna elektrycznie.
2) Indukcja elektryczna to wektor opisujący natężenie pola elektrycznego D wewnątrz ciała. Jest
równa natężeniu pola elektrycznego E poza ciałem, pomnożonemu przez współczynnik
przenikalnoÅ›ci elektrostatycznej oÅ›rodka µ. Dla ciaÅ‚ anizotropowych skalarne współczynniki
przenikalności zastępuje się odpowiednimi wielkościami tensorowymi. Wzajemne relacje
wektorów D oraz E pozwalają podzielić ciała pod względem właściwości elektrycznych na:
przewodniki, półprzewodniki i dielektryki.
3) Indukcja magnetostatyczna to zjawisko magnetyzowania się ciał w polu magnetycznym. Jest to
zjawisko powstania polaryzacji magnetycznej ciała, tj. wypadkowego momentu magnetycznego
spowodowanego oddziaływaniem momentów magnetycznych elektronów (orbitalnych i
spinowych) z zewnętrznym polem magnetycznym.
4) Indukcja magnetyczna to wektor opisujący natężenie pola magnetycznego B wewnątrz ciała.
Jest równa natężeniu pola magnetycznego H poza ciałem, pomnożonemu przez współczynnik
przenikalnoÅ›ci magnetycznej oÅ›rodka µ. Dla ciaÅ‚ anizotropowych skalarne współczynniki
przenikalności zastępuje się odpowiednimi wielkościami tensorowymi. Wzajemne relacje
wektorów H oraz B pozwalają podzielić ciała pod względem właściwości magnetycznych na:
diamagnetyczne, paramagnetyczne i ferromagnetyczne.
5) Indukcja jednobiegunowa to zjawisko powstawania siły elektromotorycznej (SEM) przy ruchu
ciała namagnesowanego, obracającego się w wydrążonym walcu wykonanym z
ferromagnetyka, umieszczonego w polu magnetycznym o indukcji B.
6) Indukcja elektromagnetyczna Faradaya to zjawisko tworzenia się przepływu prądu lub zmian w
istniejącym przepływie w pętli w przewodniku, umieszczonym w zmiennym polu
magnetycznym. Zmiana strumienia wektora indukcji magnetycznej przechodzÄ…cego przez
powierzchnię ograniczoną pętlą z przewodnika powoduje powstanie w tym przewodniku siły
elektromotorycznej SEM przeciwdziałającej zmianom pola. Zmiany strumienia magnetycznego
w stacjonarnym polu magnetycznym mogą wynikać z obrotu pętli przewodnika wokół osi
prostopadłej do kierunku pola magnetycznego (np. prądnice).
7) Indukcja wzajemna to zjawisko powstawania w przewodniku SEM na skutek zmian
skojarzonego z nim strumienia indukcji magnetycznej spowodowanych zmianami prÄ…du w
znajdującym się w pobliżu drugim przewodniku. Współczynnik charakteryzujący zdolność do
indukowania SEM w drugim obwodzie nazywamy indukcyjność wzajemną, a wyraża się ją w
îÅ‚ Å‚Å‚
Wb T m2 V s
H = = =
henrach .
ïÅ‚ śł
A A A
ðÅ‚ ûÅ‚
8) Indukcja własna to zjawisko powstawania w przewodniku SEM na skutek zmiany skojarzonego
z nim strumienia indukcji magnetycznej spowodowanych zmianami prÄ…du w tym samym
przewodniku. Jednostką indukcyjności własnej jest także henr.
W ćwiczeniu zajmiemy się pomiarami indukcyjności wzajemnej i własnej.
INDUKCYJNOŚĆ WZAJEMNA
Pole magnetyczne wytworzone przez przepływ prądu o zmiennym natężeniu w pierwszym
obwodzie indukuje przepływ prądu w drugim obwodzie, umieszczonym w pobliżu pierwszego
Rys.46.1.
Rys. 46.1. Indukowanie prądu prze obwód pierwotny w obwodzie wtórnym.
Zgodnie z prawem Biota-Savarta-Laplace a:
rð rð
µ I rð
dB = dl × dr
(46.1)
2
4Ä„ r
rð
indukcja B1 pola magnetycznego, wytworzonego przez pierwszy obwód w danym punkcie
przestrzeni jest proporcjonalna do natężenia prądu płynącego w tym obwodzie. Z tego powodu
strumień pola magnetycznego przechodzący przez drugi obwód będzie proporcjonalny do natężenia
prądu w pierwszym obwodzie. Współczynnik proporcjonalności zależy od rozmiarów, kształtów i
wzajemnego położenia obwodów oraz od względnej przenikalności magnetycznej ośrodka
otaczającego obwody. Zachodzi wiec zależność:
Åš = M I1
(46.2)
B21 21
gdzie:
Åš
strumień indukcji pola magnetycznego B wywołany przez obwód drugi, a działający na
B21
obwód pierwszy,
M współczynnik indukcyjności wzajemnej obwodu drugiego względem obwodu pierwszego,
21
I prąd płynący w obwodzie pierwszym.
1
µ
Siłę elektromotoryczną , indukowana w drugim obwodzie, zgodnie z prawem indukcji Faraday a
2
dÅš
µ = -
(46.3)
dt
można wyrazić wzorem:
dÅš dI1
B21
µ = - = - M (46.4)
2 21
dt dt
gdzie:
dÅš
B21
prędkość zmiany strumienia indukcji magnetycznej wytwarzanego w
dt
obwodzie pierwszym, majÄ…ca miejsce w obwodzie drugim,
dI1
prędkość zmiany natężenie prądu płynącego w obwodzie pierwszym.
dt
Można rozpatrzyć sytuację odwrotną do opisanej równaniem (46.2), gdy prąd płynący w
obwodzie drugim wywołuje pole magnetyczne działające na obwód pierwszy:
Åš = M12I2
(46.5)
B12
gdzie:
Åš
strumień indukcji pola magnetycznego B wywołany przez obwód drugi, a działający na
B12
obwód pierwszy,
M współczynnik indukcyjności wzajemnej obwodu pierwszego względem obwodu drugiego,
12
I prąd płynący w obwodzie drugim.
2
µ
Siła elektromotoryczna w tym obwodzie wyraża się wzorem:
1
dI2
µ = - M12 (46.6)
1
dt
gdzie:
dI2
prędkość zmiany natężenia prądu płynącego w obwodzie pierwszym.
dt
Można udowodnić [7], że obie indukcyjności wzajemne są sobie równe i oznaczyć M = M = M.
21 12
Wyznaczymy współczynnik indukcji wzajemnej cewek występujących w ćwiczeniu. Cewka
duża stanowi obwód pierwotny (wywarzający pole magnetyczne), a cewka mała obwód wtórny.
Jeżeli wyznaczymy wartość siÅ‚y elektromotorycznej µ dla pojedynczej pÄ™tli przewodnika przez
którą przechodzi strumień indukcji magnetycznej Ć , to wartość takiej siły dla m równoległych pętli
przewodnika (cewki), przez które przechodzi ten sam strumień Ć jest m razy większa.
Przyjmujemy, że wewnątrz dowolnej cewki wektor indukcji magnetycznej jest stały, co do wartości
i kierunku, stąd wartość strumienia indukcji magnetycznej przechodzącego przez pętlę
przewodnika wynosi:
rð
rð
Ć = BÅ" S Å" n (46.7)
gdzie:
rð
wektor indukcji magnetycznej przechodzÄ…cy przez cewkÄ™,
B
S pole przekroju pętli przewodnika,
rð
n wersor normalny do płaszczyzny pola przekroju S.
Dla cewki uzwojenia pierwotnego (dużej) z m zwojami wartość wektora indukcji magnetycznej w
jej wnętrzu wynosi:
rð
µ µ m' I
0
B = (46.8)
l
gdzie:
µ
przenikalność magnetyczna próżni,
0
µ
względna przenikalność magnetyczna powietrza ( H" 1),
I prąd płynący w cewce uzwojenia pierwotnego (dużej),
l długość cewki uzwojenia pierwotnego.
Podstawiając (46.8) do (46.7) z uwzględnieniem jednorodności pola indukcji magnetycznej
wewnÄ…trz cewki otrzymujemy:
µ µ m' IS
0
Ć = (46.9)
l
Zgodnie z prawem indukcji Faraday a i analogicznie do (46.3), uwzględniając (46.9) otrzymujemy:
- µ µ mSm' dI
0
µ = (46.10)
l dt
Porównując z (46.6) otrzymujemy wyrażenie na współczynnik indukcji wzajemnej M:
- µ µ Smm'
0
M = (46.11)
l
Jeżeli prąd w cewce uzwojenia pierwotnego będzie się zmieniał harmonicznie (np. zgodnie z
funkcjÄ… sinus)
I(t) = I0 sin(É t)
(46.12)
to siła elektromotoryczna indukowana w cewce uzwojenia wtórnego będzie się zmieniać także
harmonicznie (zgodnie z funkcją cosinus). Jej wartość będzie wprost proporcjonalna o częstości
zmian prÄ…du É :
µ = - M (É I0 ) cos(É t)
(46.13)
Należy zwrócić uwagę, że wartość SEM odczytywana jest z multimetru (woltomierza)
pracującego w trybie pomiaru napięcia harmonicznego. Nie zobaczymy więc zmian napięcia w
zakresie od  amplitudy do +amplitudy zmieniajÄ…cego siÄ™ w ramach okresu. Tego typu przebiegi
można rejestrować na ekranie oscyloskopu. Woltomierz pracujący w trybie pomiaru napięcia
harmonicznego pokaże pewną wartość uśrednioną (napięcie skuteczne) równe modułowi amplitudy
µ
0
napiÄ™cia podzielonemu przez pierwiastek z 2, czyli µ = . Analogicznie bÄ™dzie przedstawiana
2
I0
wartość skutecznego natężenia I = .
2
INDKCYJNOŚĆ WA
ASNA
Jeżeli w pojedynczym obwodzie płynie prąd elektryczny o zmiennym natężeniu I (np.
harmonicznym) to indukuje on w tym obwodzie  wÅ‚asnÄ… siÅ‚Ä™ elektromotoryczna µ . Ze zmianÄ…
natężenia prądu zmienia się bowiem wytworzone pole magnetyczne B oraz strumień ŚB tego pola,
obejmowany przez obwód. Linie sił pola magnetycznego wokół cewki pokazuje Rys.46.2. Litery a,
b, c, d oznaczają kolejne punkty nawiniętego przewodnika.
Rys. 46.2. Linie sił pola wokół cewki, widok w przekroju.
Podobnie jak w przypadku indukcji wzajemnej (46.2) można stwierdzić, że strumień pola
magnetycznego ŚB jest wprost proporcjonalny do natężenia prądu I:
Åš = LI
(46.14)
B
gdzie:
L współczynnik indukcyjności własnej obwodu.
Indukcyjność własna obwodu zależy od rozmiarów i kształtu obwodu oraz od przenikalności
magnetycznej ośrodka. Jednostka indukcyjności własnej, tak jak indukcyjności wzajemnej, jest
henr.
Jak wynika z prawa Faraday a (46.3), indukowana siła elektromotoryczna, zwana siłą
elektromotoryczna samoindukcji, wyraża się wzorem:
dI
µ = - L
(46.15)
dt
Znak minus w tym wzorze związany jest z faktem, ze indukowany prąd przeciwdziała, zgodnie z
dI
ëÅ‚
> 0öÅ‚
reguÅ‚Ä… Lenza, zmianom natężenia prÄ…du w obwodzie. Jeżeli natężenie prÄ…du wzrasta ìÅ‚ ÷Å‚ to
dt
íÅ‚ Å‚Å‚
prąd indukowany w obwodzie ma kierunek przeciwny do kierunku prądu I. Gdy natężenie prądu
dI
ëÅ‚
< 0öÅ‚ to kierunek indukowanego prÄ…du jest zgodny z kierunkiem prÄ…du I. Za każdym
ìÅ‚ ÷Å‚
maleje
dt
íÅ‚ Å‚Å‚
razem prąd przeciwdziała przyczynie, która go powodowała (reguła przekory).
Szczególnie duża siła elektromotoryczna samoindukcji powstaje przy szybkim otwieraniu
obwodu elektrycznego. Powoduje to często przeskok iskry elektrycznej miedzy stykami
wyłącznika, który jest przyczyną uszkodzeń. Z tego powodu, przy minimalizacji wielkości
powstających SEM samoindukcji (zmniejszenia prawdopodobieństwa uszkodzeń), istotna jest
kolejność włączania i wyłączania elementów obwodów z prądem!
Obliczymy teraz indukcyjność własną długiego solenoidu o liczbie zwojów m, długości l
oraz powierzchni przekroju poprzecznego S, wypełnionego materiałem o względnej przenikalności
magnetycznej µ. ZaÅ‚ożymy, że przez solenoid pÅ‚ynie prÄ…d o natężeniu I. Indukcja pola
magnetycznego wewnątrz solenoidu wyraża się wzorem:
µ µ mI
0
B = (46.16)
l
Całkowity strumień Ś pola magnetycznego przez powierzchnie wszystkich zwojów solenoidu
B
wynosi:
ÅšB = mBS (46.17)
a po podstawieniu (46.16) do (46.17) otrzymamy:
µ µ m2SI
0
Åš = (46.18)
B
l
Porównując ten wzór ze wzorem (46.14) otrzymujemy następujące wyrażenie dla indukcyjności
własnej długiego solenoidu:
2
µ µ N S
0
L = (46.19)
l
46.2. Opis układu pomiarowego
Układ pomiarowy przedstawiony na rysunku (46.4) zawiera:
1) dużą cewkę (uzwojenie pierwotne): długość 750 mm, 485 zwoi/metr, średnica
kanaÅ‚u 79 mm, opór 0,3 ©, indukcyjność 1 mH;
2) cewki (uzwojenie wtórne, umieszczane wewnątrz uzwojenia pierwotnego):
nr 1: 300 zwoi, Å›rednica 41 mm, indukcyjność 800 µH, opór 3,5 ©,
nr 2: 300 zwoi, Å›rednica 33 mm, indukcyjność 530 µH, opór 2,8 ©,
nr 3: 300 zwoi, Å›rednica 26 mm, indukcyjność 330 µH, opór 2,2 ©,
nr 4: 200 zwoi, Å›rednica 41 mm, indukcyjność 500 µH, opór 2,2 ©,
nr 5: 150 zwoi, Å›rednica 26 mm, indukcyjność 90 µH, opór 0,3 ©,
nr 6: 100 zwoi, Å›rednica 41 mm, indukcyjność 240 µH, opór 1,1 ©,
nr 7: 75 zwoi, Å›rednica 26 mm, indukcyjność 24 µH, opór 0,15 ©,
3) generator funkcyjny: 0,1  100 kHz, sygnałów harmonicznych o regulowanej
amplitudzie,
4) cyfrowy miernik częstotliwości o 4 dekadach używany do dokładnego określania
częstotliwości sygnału generatora,
5) multimetr stosowany do pomiaru napięcia,
6) multimetr stosowany do pomiaru natężenia,
7) kable Å‚Ä…czÄ…ce.
3 1
4
É (Hz)
6
I0 (A)
5
2
µ (V)
Rys. 46.3. Układ laboratoryjny.
Jedna z cewek uzwojenia wtórnego [2] znajduje się wewnątrz cewki uzwojenia pierwotnego [1]. W
przypadku wyznaczania zależności SEM od badanych parametrów generator funkcyjny generuje
prąd sinusoidalny o częstotliwościach z zakresu 1-12 kHz. Poza tym przedziałem układ pomiarowy
nie gwarantuje dobrego zobrazowania badanego efektu. W celu dokładnego wyznaczenia
częstotliwości generowanego sygnału do generatora [3] podłączony jest równolegle miernik [4]
pracujący w trybie częstościomierza. W celu dokładnego wyznaczenia amplitudy generowanego
sygnału do generatora [3] podłączony jest szeregowo jeden z multimetrów [6] pracujący w trybie
amperomierza. Generator [3], amperomierz [6], cewka uzwojenia pierwotnego [1] tworzą obwód
zamknięty. Drugi multimetr [5] pracujący jako woltomierz, podłączony jest do jednej z cewek
uzwojenia wtórnego [2]. Najlepsze zobrazowanie badanego zjawiska (wyznaczania SEM) uzyskuje
się, gdy cewki [2] umieszcza się w połowie długości kanału cewki [1].
46.3. Przebieg pomiarów
1. Sprawdzamy, czy obwód jest połączony tak jak na rys. 46.3, a nastawy przyrządów
odpowiadają wymogom ćwiczenia. Uwagi należy zgłaszać prowadzącemu, a pracę można
rozpocząć tylko na polecenie prowadzącego. Uwagi do stosowanego sprzętu.
qð Mierniki uniwersalne wyposażone sÄ… w ukÅ‚ady samowyÅ‚Ä…czajÄ…ce - w przypadku
wyłączenia się miernika w trakcie ćwiczenia należy włączyć go ponownie.
qð Generator posiada dwie funkcje sterujÄ…ce parametrami natężenia prÄ…du, których nastawy
sumujÄ… siÄ™:
o używany w ćwiczeniu potencjometr amplitudy sygnału harmonicznego,
o potencjometr OFFSET ustalający poziom sygnału stałego.
2. Pomiary z punktu 3-5 grupa realizuje dla trzech wybranych przez prowadzÄ…cego cewek
uzwojenia wtórnego, a każdy ćwiczący zapisuje wszystkie wykonywane pomiary.
3. Pomiar U(É). W czasie pomiarów należy utrzymać staÅ‚e I (sugerowane jest przyjÄ™cie prawie
0
maksymalnie możliwego do uzyskania natężenie dla częstotliwości 1 kHz). Wybieramy jedną z
cewek, inną dla każdego ćwiczącego w grupie. Zmieniamy częstotliwość w zakresie 1-12 kHz
co 1 kHz. Notujemy wyniki napiÄ™cia U(É). Pomiar powtarzamy 3-krotnie.
4. Pomiar U(I ). W czasie pomiarów należy utrzymać staÅ‚e É (sugerowane okoÅ‚o 11 kHz) .
Wybieramy jedną z cewek, inną dla każdego ćwiczącego w grupie. Zmieniamy natężenie w
zakresie od maksymalnego do 0 tak by wykonać 10 pomiarów. Notujemy wyniki napięcia
U(I ). Pomiar powtarzamy 3-krotnie.
5. Pomiar L. Wyłączamy układ zasilania dużej cewki. Miernik uniwersalny połączony z małą
cewką przełączmy z pomiaru napięcia na pomiar indukcyjności. Mierzymy indukcyjności
wszystkich małych cewek użytych w ćwiczeniu. Każdy pomiar powtarzamy 3-krotnie.
6. Zagadnienia dodatkowe do wyboru:
6.a. Pomiar U(A). Wybieramy 3 cewki o jednakowej ilości zwojów, a różniące się przekrojem
(sÄ… 2 zestawy takich cewek). W czasie pomiarów należy utrzymać zadane I oraz É. Notujemy
0
wyniki napięcia U(A). Pomiar powtarzamy 5-krotnie.
6.b. Pomiar U(n). Wybieramy 3 cewek o jednakowym przekroju, a różniące się ilością zwojów
(sÄ… 2 zestawy takich cewek). W czasie pomiarów należy utrzymać zadane I oraz É. Notujemy
0
wyniki napięcia U(n). Pomiar powtarzamy 5-krotnie.
46.4. Opracowanie wyników pomiarów
1. Każdy ćwiczący wykonuje opracowanie dla wskazanej mu przez prowadzącego cewki z
pośród zbadanych przez grupę.
2. Nanieść na wykresy punkty i niepewności pomiarowe zależności badanych obowiązkowo:
a) U(É), b) U(I ),
oraz zagadnień dodatkowych, jeżeli były realizowane: c) U(A), d) U(n).
3. Nanieść na wykresy proste wyznaczone metodą najmniejszych kwadratów Gaussa
aproksymujące przebiegi uzyskane na podstawie doświadczenia.
4. W oparciu o uzyskane proste oraz (46.13) wyznaczyć współczynniki indukcyjności
wzajemnej M oraz ich niepewnoÅ›ci w przypadkach: a) U(É), b) U(I ).
5. Porównać oba wyznaczone współczynniki (wraz z ich niepewnościami) indukcyjności
wzajemnej M.
6. Wyznaczyć wartość i niepewności indukcji własnej L. Określić przyczyny różnic lub ich
braku dla indukcyjności wyznaczonych względem wartości podanych na obudowach
cewek.
7. Przeanalizować wykresy, wyznaczone parametry i ich niepewności, wyciągnąć wnioski.
8. Przy wykonaniu dodatkowych pomiarów z punktu 6 przeanalizować wykresy
c) U(A), d) U(n) oraz wyciągnąć wnioski.
46.5. Przykładowe pytania kontrolne
1. Omówić pojęcie indukcyjności wzajemnej.
2. Omówić zależność wartości indukcyjności wzajemnej od sposobu realizacji doświadczenia.
3. Porównać metody zastosowane do wyznaczania współczynnika indukcyjności wzajemnej M.
4. Omówić prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya.
5. Omówić właściwości pola magnetycznego powstałego na skutek przepływu prądu stałego w
przewodniku o kształcie pierścienia.
6. Omówić właściwości strumienia magnetycznego.
L i t e r a t u r a
[1] Katalog PHYWE LEP 4.4.02-02 www.phywe.de
[2] Mieczysław Demianiuk, Krótki kurs fizyki dla inżynierów : notatki wykładowcy, Warszawa
2003, BEL Studio.
[3] Michał Janusz Małachowski, Fizyka doświadczalna. Cz.2. Elektryczność i magnetyzm :
zjawiska falowe. Skrypt WAT 1976.
[4] David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker; Podstawy fizyki; Wydawnictwo Naukowe PWN
Warszawa 2003.
[5] M.A Herman, A. Kalestyński, L. Widomski; Podstawy fizyki dla kandydatów na wyższe
uczelnie i studentów, Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 2006.
[6] Edward Mulas; Przykłady symulacji komputerowej w fizyce; Oficyna Wydawnicza
Politechniki Warszawskiej 2006.
[7] Edward Purcell; Elektryczność i Magnetyzm (Berkeley owski Kurs Fizyki, tom 2) ;
Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 2003.