Egzamin poprawkowy z matematyki, 2 sem. WBWiIÅš, r. 2002/2003
Nazwisko i imi¸ ........................................................................................... Grupa ..........
e
I. Cz¸Å›Ä‡ zadaniowa
e
1. Wyznaczyć ekstrema funkcji f(x, y) = x2 + xy + y2 - 4lnx - 10lny.
"

(2n)!
2. a) Zbadać zbieżność szeregu liczbowego .
n2n
n=1
b) Wyznaczyć obszar zbieżności szeregu i zbadać zbieżność na końcach przedzia
lu
"

(-1)n
" xn
3n-1 n
n=1
3. Rozwiazać równanie y - y tg t = -sin 2t.
¸
cos t
4. Wyznaczyć ekstrema funkcji f(x, y) = ey-x(y2 - 2x2).


z
1
5. Obliczyć dx dy dz, gdzie B jest po atrz
lożonym na zewn¸ walca x2+y2 =
4
x2 + y2
B

obszarem ograniczonym powierzchniami x2 + y2 + z2 = 2 i z = x2 + y2.

y
6. Obliczyć (1 + ln x + ) dx - (1 - ln x) dy po dowolnym luku g od punktu
ladkim
x
K
A(e, 2) do B(1, 1) leż¸ w pasie x > 0.
acym
II. Cz¸Å›Ä‡ teoretyczna
e
T.1 Sformu twierdzenie o różniczkowalności funkcji uwik Podać przyk
lować lanej. lad
funkcji, danej w sposób uwik spe ¸ za tego twierdzenia oraz policzyć
lany, lniajacej lożenia
jej pochodn¸ w wybranym punkcie.
a
T.2 Podać definicj¸ obszaru normalnego wzgl¸ osi OX. Podać przyk obszaru
e edem lad
(wykonać rysunki), który jest
a) normalny wzgl¸ osi OX, a nie jest normalny wzgl¸ osi OY ,
edem edem
b) normalny wzgl¸ osi OY , a nie jest normalny wzgl¸ osi OX,
edem edem
c) normalny zarówno wzgl¸ osi OX jak i osi OY .
edem
T.3 Sformu twierdzenie o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora. Korzystajac z
lować ¸
rozwini¸Ä‡ podstawowych funkcji elementarnych przedstawić w postaci szeregu Maclau-
e
rina funkcj¸ f(x) = cos2 x. Podać przedzia zbieżnoÅ›ci otrzymanego szeregu.
e l
T.4 Podać twierdzenie Greena i podać przyk (z rozwiazaniem) obliczania ca przy
lad ¸ lki
zastosowaniu tego twierdzenia.