1 Przedmiot kinematyka i dynamika ukła-
dów.
1.1 KINEMATYKA
dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem ruchu punktu ma-
terialnego; badaniem trajektorii punktu, abstrahując od działających sił
i bezwładności ciał.
1.2 DYNAMIKA
dział mechaniki zajmujący się opisem ruchu ciał materialnych pod wpły-
wem sił. W zależności od modelu mechanicznego, którym się zajmujemy
wyróżniamy dynamikę punktu materialnego, bryły sztywnej, płynów itp.
2 Trajektoria punktu materialnego, trój-
ścian Freneta.
Trajektoria określa położenie w R3 w zależności od czasu.
C : R R3 C(t) = [c1(t), c2(t), c3(t)]T
trajektoria musi być: ciągła, gładka(różniczkowalna w sposób ciągły)
RYS. Trójścian Freneta tworzą 3 prostopadłe do siebie wektory
Ż
Ż
t, n, b.
Ż
%0ł(t)
Ż Ż
t = - wektor jednostkowy ||t|| = 1, o kierunku i zwrocie zgodnym z
||%0ł(t)||
%0ł(t).
Ż Ż
n - wektor normalny ||n|| = 1n " Ą1, Ą2, Ą1 Ą" t, t " Ą2
Ż Ż Ż Ż
Ż Ż
Ż
b - wektor binormalny b = t � n
Ż
Ż
Ż
K(s) = K(s)n, K(s) = |dt(s)| - krzywizna toru ruchu mówi jak
Ż
ds
bardzo tor ruchu różni cię od linii prostej
Ż
T (s) = |db(s)|- skręcenie, torsja mówi jak bardzo niepłaska jest trajekto-
ds
ria.
T (s) = 0 jeśli ciało trajektoria leży w 1 płaszczyz
nie
3 Zasada determinizmu i niezmienniczości
w mechanice newtonowskiej
3.1 Zasada determinizmu
Ruch układu jest wyznaczony przez położenie i prędkości początkowe.
c(t) = F (t, c(t), %0ł(t)), c(0), %0ł(0)
�
3.2 Zasada względności (niezmienniczości)
Prawo ruchu F, powinno być niezmiennicze ze względu na:
" przesunięcie w czasie
"s[Fi(c, %0ł, t) = Fi(c, %0ł, t + s)]
można zatem stwierdzić, że (Fi(c, %0ł, t) = Fi(c, %0ł, 0)) prawo ruchu F
nie zależy wiec jawnie od czasu t.
c = Fi(c, %0ł)
�
" przesunięcie w przestrzeni
"u[Fi(c1, c2, . . . , cn, %0ł) = Fi(c1 + u, c2 + u, . . . , cn + u, %0ł)]
jesli u = -cj, to Fi(c1 - cj, . . . , cj-1 - cj, cj+1 - cj, . . . , cn - cj, %0ł)
Fi - zależy od względnych położeń
" ruch jednostajny ci + vt, %0łi + v
"v[Fi(c, %0ł1 + v, . . . , %0łn + v) = Fi(c, %0ł1, . . . , %0łn)]
jeśli v = -%0łj, to Fi = (c, %0ł1 - %0łj, . . . , %0łj-1 - %0łj, %0łj+1 - %0łj, . . . , %0łn - %0łj)
Fi - zależy id względnych prędkości
" obrót w przestrzeni
"RFi(Rc1, . . . , Rcn, R%0ł1, . . . , Rc%0łn) = RFi(c, %0ł) = R%0ł
4 Zasady dynamiki Newtona
" Jeśli na ciało nie działa żadna siła, lub działające siły się równoważą
to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostaj-
nym. c = 0
�
" Jeżeli na ciało działa niezrównoważona siła zewnętrzna to ciało
porusza się ruchem przyśpieszonym, z przyśpieszeniem proporcjo-
nalnym do działającej siły
1
ci = Fi(c, %0ł) = fi
�
mi
" Jeżeli ciało A działa na ciało B siłą FAB, to ciało B działa na
ciało A siłą reakcji FBA równą co do wartości i kierunku, lecz o
przeciwnym zwrocie.
Ż Ż
FAB = -FBA
5 Pęd, moment pędu i energia układu
punktów materialnych
n n
" pęd p = pi = mi%0łi
i=1 i=1
zauważmy też, ze:
n n n n

dp
---
= Ai%0łi + mici A = 0 mi%0łi = Fi
�
dt
i=1 i=1 i=1 i=1
dp
jeśli działające siły Fi równoważą się = 0 �! p =const.
dt
" moment pędu
n n

M = Mi = ci � pi
i=1 i=1
n n n n

dM
= %0łi � Wi + ciWi = %0łi � (mi%0łi) + ci � Fi
dt
i=1 i=1 i=1 i=1
Jeżeli działające momenty sił równoważą się tzn.
n

dM
ci � Fi = 0, to = 0 �! M = const.
dt
i=1
" energia całkowita E = K + V
 energia kinetyczna
n 1 n 1
K = mi(%0ł, %0ł) = mi%0łT %0ł
i=1 i=1
2 2
 energia potencjalna
V (c) = V (c1, c2, . . . , cn) siła Fi jest potencjalna jeśli Fi = -"V
"ci

b
T
W = F dc - praca nie zależy od drogi lecz od położenia
a
początkowego - a, i końcowego - b.
n
dE "V
= (Fi + )T %0łi jeśli działające siły są potencjalne tzn.
i=1
dt "ci
Fi = -"V
"ci
dE
= 0 �! E = const.
dt
6 Zasada najmniejszego Działania Hamil-
tona
Układ porusza się, tak żeby minimalizować działanie

t1
I = L(q(t), q(t), t)dt min
Ł
t0
względem trajektorii - q(. ) = {(t, q(t))|t0 t t1}
7 Równanie Eulera - Lagrange a
Jeżeli znana jest funkcja Lagrange a opisująca układ, korzystając z zasa-
dy Najmniejszego Działania Hamiltona otrzymujemy równania postaci:

"L d "L
- + = 0 F - siły nie potencjalne
"q dt "q
Ł
gdzie
"L
= Fi siła uogólniona
"qi
"L
= pi pęd uogólniony
"qi
Ł
Wyprowadzenie:
<"
F (ł + h) F (ł) + DF (ł)h �! DF (ł)h = F (ł + h) - F (ł)
=

t1
niech F (ł) = L(q, q, t)dt
Ł
t0


t1
"L(q, q, t) "L(q, q, t)
Ł Ł
DF (ł)h = � h + � # dt
Ł
t0 "q "q
t1

t1
"L(q, q, t) "L "L d "L
Ł
# = h(t) + - dt


"q "q "q dt "q
Ł Ł Ł
t0 t0
wybieramy taką funkcję zakłócenia h(t), aby h(t0) = h(t1) = 0
t1


t1
"L "L
h(t) = 0 oraz hdt = 0


"q t0 "q
Ł
t0


t1
"L d "L "L d "L
DF (ł)h = - dt = 0 �! - = 0
Ł Ł
t0 "q dt "q "q dt "q
8 Równanie Poincare go
Jest to pewnego rodzaju rozszerzenie równań Eulera-Lagrange a

t1
(F (ł) = L(q, q, t)). Teraz zakładamy: F (ł) = L(q, q, . . . , q(k)(t), t)dt
Ł Ł
t0
oraz wybieramy zakłócenie h(t) takie, że: h(t0) = h(t1) = 0 , #(t0) =
#(t1) = 0, . . . , h(k-1)(t0) = h(k-1)(t1) = 0


t1
"L d "L d2 "L dk "L
DF (ł)h = - + + . . . + (-1)k
Ł �
t0 "q dt "q dt2 "q dtk "q(k)
Ponownie korzystając z zasady najmniejszego działania
"L d "L d2 "L dk "L
DF (ł)h = 0 �! - + + . . . + (-1)k = 0
"q dt "q dt2 "q dtk "q(k)
Ł �
9 Mechanika lagranżowska
Dział mechaniki opisujący ruch układu w oparciu o funkcję Lagrange a
L(q, q, t) = K(q, q, t) - V (q),
Ł Ł
zasadę najmniejszego działania

t1
L(q, q, t)dt min
Ł
t0
względem trajektorii q(�) = {t, q(t) | t0 t t1} oraz równania Eulera
Lagrange a
d "L "L
- = 0 (F  siły niepotencjalne),
dt "q "q
Ł
gdzie
"L
= Fi  siła uogólniona
"qi
"L
= pi  pęd uogólniony
"qi
Ł
n

1 1
K(q, q, t) = qT Q(q)q = Qij(q)qiqj
Ł Ł Ł Ł Ł
2 2
i,j=1
Macierz Q(q) jest symetryczna Q = QT i dodatnio określona, więc istnieje
macierz do niej odwrotna Q-1. Niech V (q) = 0.
n
1
Wtedy L = K(q, q, t) = Qij(q)qiqj
Ł Ł Ł
i,j=1
2
n n

"L 1 1
= Qkjqj + Qkiqi
Ł Ł
"qk 2 2
Ł
j=1 i=1
n n
Q  symetryczna Qik = Qkj
j=1 i=1
n

"L
= Qkjqj
Ł
"qk j=1
Ł
n

"L 1 "Qij
= qiqj
Ł Ł
"qk 2 "qk
i,j=1
oraz równanie Eulera  Lagrange a ma postać

n n

d "L "L 1 "Qik
- = Qkjqj + qiqj +
� Ł Ł
dt "qk "qk j=1 2 "qj
Ł
i,j=1
n n

1 "Qkj 1 "Qij
+ qiqj - qiqj = 0
Ł Ł Ł Ł
2 "qi 2 "qk
i,j=1 i,j=1
Wprowadz
my teraz symbol Christoffela I rodzaju

1 "Qik "Qkj "Qij
ck = + - .
ij
2 "qj "qi "qk
Można zapisać k-te równanie
n n

Qkjqj + ck qiqj = 0
� Ł Ł
ij
j=1 i,j=1
oraz postać wektorową:
Q(q) + C(q, q)q = 0,
Ł Ł
n
gdzie C(q, q)kj = ck qi oraz postać bardziej ogólną, gdy V (q) = 0:
Ł Ł
i=1 ij
Q(q)q + C(q, q)q + D(q) = F,
� Ł Ł
gdzie Q(q) - macierz bezwładności, C(q, q) - macierz sił Coriolisa i odśrod-
Ł
"V
kowych, D(q) = - macierz sił potencjalnych, F - siły niepotencjalne.
"q
10 Mechanika hamiltonowska
Część mechaniki zajmująca się opisem ruchu układu w oparciu o Hamil-
tonian oraz kanoniczne równania ruchu Hamiltona.
Jeśli znamy funkcję Lagrange a opisującą układ L(q, q, t) można wy-
Ł
prowadzić Hamiltonian dzięki przekształceniu Legendre a:
H(q, p) = maxv(pT v - L(q, v))
1
Lagranżian jest z reguły równy L = vT Q(q)v + V (q).
2
1
H(q, p) = pT v - vT Q(q)v + V (q)
2
oraz
"L
p = = Q(q)v �! V (q, p) = Q-1(q)p
"v
1
H(q, p) = pT Q-1p + V (q)  całkowita energia układu
2
Równania kanoniczne Hamiltona:
ńł
"H(q,p)
�ł
q =
Ł
"p
ół
W = -"H(q,p)
"q
Zauważmy ponadto:
d "H "H
(H(q(t), p(t))) = ( )T q + ( )T W =
Ł
dt "q "p
"H "H "H "H
= ( )T ( ) - ( )T ( ) = 0
"q "p "p "q
Hamiltonian jest całką pierwszą (stałą ruchu) układu równań kano-
nicznych.
11 Stałe ruchu układu hamiltonowskiego,
nawias Poissona
Stała ruchu - wielkość fizyczna, która jest stała (nie zmienia się) pod-
czas ruchu. Z istnienia stałych ruchu można wyprowadzić zasady
zachowania. Przykłady stałych ruchu:
 energia całkowita: E = H(q1, . . . , qn, p1, . . . , pn)
 pęd - jego zachowanie jest związane z niezmienniczością przestrzeni
względem przesunięcia / brak zewnętrznych sił układ izolowany
 moment pędu - jego zachowanie jest związane z niezmienniczością
przestrzeni względem obrotu / brak momentów sił zewnętrznych
Nawias Poissona - jest to funkcja będąca pewnego rodzaju mnożeniem
funkcji, f : R2n R.
Funkcje F z nawiazem Poissona tworzą algebrę Liego.
Własności:
* liniowość {ąF1 + �F2, F3} = ą{F1, F3} + �{F2, F3}
* antysymetria {F1, F2} = -{F2, F1}
* tożsamość Jacobiego {F1, {F2, F3}} + {F2, {F1, F3}} +
{F3{F1, F2}} = 0
T T
"F1 "F2 "F1 "F2
{F1, F2} = -
"q "p "p "q
Jeśli F1, F2 - stałe ruchu, to {F1, F2}, także stała ruchu.
12 Twierdzenie Liouvielle a o kwadratu-
rach
Załóżmy, F1, F2, . . . , Fn są stałymi ruchu układu równań kanonicznych
Hamiltona oraz F1 = H.
Jeśli stałe są niezależne oraz w inwolucji:
* niezależność
�ł łł
"F1 "F1 "F1 "F1 "F1
, , . . . , , . . . ,
"q1 "q2 "qn "p1 "pn
�ł śł
rank �ł . . . �ł = �
"Fn "Fn "Fn "Fn "Fn
, , . . . , , . . . ,
"q1 "q2 "qn "p1 "pn
* inwolucja
"i, j{Fi, Fj} = 0 mając  n stałych, nie można utworzyć już więcej
F1, F2, . . . , Fn - są wypasione
to:
 trajektorie układu leżą w n-wymiarowej rozmaitości
Ma = {(q, p) " R2n|F1(q, p) = a1, . . . , Fn(q, p) = an}
 równania kanoniczne można rozwiązać przez kwadratury
Ma - wszystkie trajektorie leżą w Ma, nie mogą z niej wyjść.
13 Twierdzenie Liouviella o dywergencji
Niech dany będzie układ dynamiczny � = f(x), posiadający strumień
Ćt(x) oraz V (t) = vol(Ćt(D)), V (0) = vol(D) - objętość
"f
Jeżeli div(f(x)) = tr (x) = 0, to V (t) = const.
"x
�ł łł
"2H "2H n n

"2H "2H
"q"p "p2
�ł �ł
div(f(x)) = tr = - = 0
2
"2H
-" H - "qi"pi i=1 "pi"qi
i=1
"q2 "p"q
Strumień układu hamiltonowskiego zachowuje objętość. (namalować
portret fazowy wahadła i przekształcające się trójkąciki, których kształty
się zmieniają, a których pole powierzchni jest stałe).
14 Twierdzenie Poincare go o powrocie
Niech dany będzie układ dynamiczny � = f(x), Ćt(x) = x(t) oraz
div(f(x)) = 0.
Niech D będzie ograniczonym (vol(D) < ") oraz niezmienniczym
(Ćt(D) = D) zbiorem. Wówczas dla każdego x " D i dla każdego oto-
czenia U (x " U) istnieje punkt y (y " U) taki, że w pewnej chwili
Ćt(y) = U.
Niech dany będzie układ hamiltonowski
"H "H
q, p " Rn, H(p, y), q = W =
Ł
"p "q
Oznaczmy

"H
q
"p
x = oraz f(x) =
"H
p
"q
Z twierdzenia Liouvielle a o dywergencji div(f(x)) = 0 oraz strumień
układu hamiltonowskiego zachowuje objętość.
Wniosek: dla układu hamiltonowskiego spełnione są warunki twier-
dzenia Poincare o powrocie.
(namalować przykład trajektorii zamkniętej i otwartej spełniającej
powyższy warunek)
15 Ograniczenia konfuguracyjne i fazowe
Ograniczenia (więzy) to każdy rodzaj ograniczenia ruchu nałożonego na
poruszające się ciało. Ograniczenia można podzielić na:
- holonomiczne (całkowalne)  takie, które można opisać prostymi rów-
naniami różniczkowymi
- nieholonomiczne (niecałkowalne)  nie można ich opisać RR.
Ograniczenia fazowe można zapisać w formie Pfaffa jako macierz A(q),
spełniającą warunek A(q)q = 0.
Ł
dq
A(q)q = A(q) = 0 �! A(q)dq = 0
Ł
dt
Spróbujmy znalez
ć macierz M(q)l�l taką, że:
M(q)A(q)dq = dF = 0,
wtedy F (q) = const.
Ograniczenia A(q)q = 0 są holonomiczne, jeżeli istnieje macierz M(q)
Ł
o rozmiarze l � l taka, że detM(q) = 0, a także funkcja F : Rn Rl:

F (q) = (F1(q), F2(q), . . . , Fl(q)) taka, że
dF
M(q)A(q) =
dq
W przypadku ograniczeń holonomicznych można wyeliminować l
współrzędnych, istotne jest tylko (n - l) współrzędnych.
16 Równania dynamiki układu z ograni-
czeniami
Równanie układu
Q(q)q + C(q, q)q + D(q) = F,
� Ł Ł
gdzie Q(q) - macierz bezwładności, C(q, q) - macierz sił Coriolisa i od-
Ł
"V
środkowych, D(q) = - macierz sił potencjalnych, F - siły powodujące
"q
spełnienie ograniczeń (np. siły tarcia).
Używamy zasady d Alemberta.
Siły F nie wykonują pracy na dopuszczalnych przemieszczeniach
T
A(q)q = 0 �! F q = 0
Ł Ł
T
F = T A(q) �! F = AT (q),
gdzie  - wektor mnożników Lagrange a.
Równania układu mają postać:
Q(q)q + C(q, q)q + D(q) = AT 
� Ł Ł
A(q)q = 0. Niech q = G(q)� oraz A(q)G(q) = 0
Ł Ł
GT Q� + GT Cq + GT D = (GA)T  = 0
q Ł
GT Q(
� + G�) + GT CG� + D = 0
Ł
Równania układu nieholonomicznego:

q = G(q)�
Ł
� = (GT QG)-1(-GT Q
� - GT CG� - GT D)
Ł