Struktury algebraiczne

mgr Zofia Makara

28 października 2003

1

Podstawowe typy struktur algebraicznych

Działaniem wewnętrznym w zboirze A, krótko zwanym - działaniem w A,
nazywamy każde odwzorowanie iloczynu karytezjańskiego A × A w zbiór A.
Działania ◦ określone w zbiorze A nazywamy:

• łącznym, jeżeli

∀

a,b,c∈A

(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)

• przemiennym, jeżeli

∀

a,b∈A

(a ◦ b) = (b ◦ a)

Element e ∈ A nazywamy neutralnym, jeżeli:

∀

a∈A

(a ◦ e) = (e ◦ a) = a

Jeżeli w zbiorze A istnieje element neutralny e, względem działania ◦, to
jeśli

∀

a,b∈A

(a ◦ b) = (b ◦ a) = e

wówczas element b nazywamy elementem symetrycznym względem elementu
a.

Przykład 1 Elementem neutralnym dodawania, oznaczanego jako + (dzia-
łania addytywnego) jest 0 (zero), zaś elementem symetrycznym do a, zwa-
nym przeciwnym jest −a.

Przykład 2 Elementem neutralnym mnożenia (działania multiplikatywne-
go), oznaczanego jako · jest 1 (jeden), zaś elementem symetrycznym do a,
zwanym odwrotnym jest a

−1

.

Jeżeli w zbiorze A określone są dwa działania ◦ oraz ∗ oraz spełnione są
warunki:

∀

a,b,c∈A

a ∗ (b ◦ c) = (a ∗ b) ◦ (a ∗ c)

1

∀

a,b,c∈A

(a ◦ b) ∗ c = (a ∗ c) ◦ (b ∗ c)

to działanie ∗ nazywamy rozdzielnym względem ◦.
Działaniem zewnętrznym w zbiorze A nazywamy odwzorowanie, takie, które
przekształca A × B w zbiór A.
Strukrurą algebraicną na zbiorze A nazwywa się ściśle określony zbiór okre-
ślonych na nim działań wewnętrznych, oraz działań zewnętrznych.

Definicja 1 Półgrupą nazywamy strukturę algebraiczną (zwaną również
systemem, zespołem) (A, ◦), w której działanie ◦ jest łączne.

Przykład 3 Dodawanie w zbiorze liczb rzeczywistych jest podgrupą (R, +),
ponieważ dla dowolnych liczb a, b, c ∈ R zachodzi, że (a + b) + c = a + (b + c).

Definicja 2 Grupą nazywamy strukturę algebraiczną (A, ◦), w której dzia-
łanie ◦:

• jest działaniem łącznym;

• posiada w zbiorze A element neutralny;

• dla każdego elementu ze zbioru A posiada element symetryczny.

Ponadto, jeżeli działanie ◦ jest przemienne to grupę nazywamy przemienną
lub abelową.

Przykład 4 Dodawanie w zbiorze liczb rzeczywistych jest grupą abelową
(R, +), ponieważ dla dowolnych liczb a, b, c ∈ R zachodzi, że (a + b) + c =
a+(b+c), a więc jest łączne. Ponadto, posiada element neutralny 0 i dla każ-
dego a ∈ R element symertyczny (przeciwny) −a oraz dla każdego a, b ∈ R
zachodzi, że a + b = b + a.

Przykład 5 Mnożenie w zbiorze liczb rzeczywistych nie jest grupą (R, ·),
poniewż element 0 nie posiada elementu odwrotnego w zbiorze liczb rzeczy-
wistych.
Natomiast (R − {0}, ·) jest grupą abelową.

Definicja 3 Pierścieniem nazywamy strukturę algebraiczną (A, ◦, ∗), która
posiada następujące własności:

• (A, ◦) jest grupą abelową;

• działanie ∗ jest łączne;

• działanie ∗ jest rozdzielne względem ◦.

2

Jeżeli ponadto działanie ∗ jest przemienne, wówczas dany pierścień nazywa-
my przemiennym.
Zaś jeżeli w zbiorze A istnieje element neutralny działania ∗ to taki pierścień
nazywmy pierścieniem z jednością.
Natomiast pierścieniem całkowitym nazywamy pierścień niezerowy, prze-
mienny z jednością.

Uwaga 1 Niech e

◦

oznacza element neutralny działania ◦ w pierścieniu

(A, ◦, ∗), wówczas elementy a ∈ A − {e

◦

} spełniające warunek:

a ∗ b = 0 lub b ∗ a = 0, gdzie a ∈ A − {e

◦

}

nazywamy dzielnikami zera.

Przykład 6 Zbiór liczb całkowitych Z z działaniami dodawania (+) i mo-
żenia (·) jest pierścieniem (Z, +, ·), ponieważ dodawanie w zbiorze liczb cał-
kowitych tworzy gupę abelową, zaś działanie mnożenia jest przemienne i roz-
dzielne względem dodawania.

Definicja 4 Ciałem nazywamy strukturę algebraiczną (A, ◦, ∗), która posia-
da następujące własności:

• (A, ◦) jest grupą abelową;

• (A − {e

◦

}, ∗) jest grupą;

• dziłanie ∗ jest rozdzielne względem ◦.

Jeżeli ponadto działanie ∗ jest przemienne, wówczas dane ciało nazywamy
ciałem przemiennym.

Przykład 7 Zbiór liczb rzeczywistych R z działaniami dodawania (+) i mo-
żenia (·) jest ciałem (R, +, ·), ponieważ dodawanie w zbiorze liczb całkowi-
tych tworzy gupę abelową, zaś działanie mnożenia w zbiorze liczb rzeczy-
wistych za wyjątkiem zera R − 0 tworzy grupę. Ponadto, działanie · jest
rozdzielne względem +.

2

Zadania

1. Zbadać, czy struktura (N, +) jest grupą.

2. Zbadać, czy struktura (A, +) jest grupą, jeżeli A jest zbiorem liczb

postaci a

√

2 + b

√

3, a, b ∈ Q.

3. Zbadać, czy struktura (R, ◦) jest grupą jeśli ◦ jest zdefiniowane jako:

a ◦ b = a + b + 3

3

4. Zbadać, czy struktura (R, ◦) jest grupą jeśli ◦ jest zdefiniowane jako:

a ◦ b = a + b + 2b

5. Zbadać, czy struktura (Q, +, ·) jest pierścieniem;

6. Zbadać, czy struktura (R, ◦, ∗) jest pierścieniem, jeśli ◦ jest zdefinio-

wane jako:

a ◦ b = a + b − 5

zaś ∗ jako:

a ∗ b = a · b + 3

7. Zbadać, czy struktura (R, ◦, ∗) jest pierścieniem, jeśli ◦ jest zdefinio-

wane jako:

a ◦ b = a + b + a · b

zaś ∗ jako:

a ∗ b = a

2

· b + a · b + 2 · b.

8. Zbadać, czy struktura (A, +) jest pierścieniem, jeżeli A jest zbiorem

liczb postaci a

√

2 + b

√

3 + c

√

5, a, b, c ∈ Q.

9. Zbadać, czy struktura (Q, +, ·) jest ciałem.

10. Zbadać, czy struktura (R − Q, +, ·) jest ciałem.

11. Zbadać, czy struktura ({0, 1}, +, ·) jest ciałem.

12. Zbadać, czy struktura ({−1, 0, 1}, +, ·) jest ciałem.

13. Zbadać, czy

3

Literatura

1. Podana na wykładzie;

2. Sylwester Przybyło, Andrzej Szlachtowski Algebra i geometria afinicz-

na w zadaniach, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1983.

4