MATEMATYKA DYSKRETNA

Działania (1)

Działaniem nazywamy każdą funkcję:



 





...

A A

która

uporządkowanemu

–elementowemu

ciągowi

elementów

zbioru



 

...

A A

przyporządkowuje pewien element zbioru





Zbiory

nazywa

się dziedzinami działania, zbiór

nosi nazwę przeciwdziedziny

działania. Ustalona liczba

(liczba

argumentów) nazywa się argumentowością

(typem, arnoscią) działania.

Działaniem wewnętrznym

–argumentowym (operacją

–argumentową)

w niepustym zbiorze

nazywamy każdą funkcję:





która uporządkowanemu

–elementowemu ciągowi elementów zbioru

przyporządkowuje pewien element zbioru





Działania (2)

Szczególnie ważny przypadek stanowi funkcja:

 



A A

czyli dla



, którą nazywamy działaniem wewnętrznym dwuargumentowym

(operacją binarną).

Zbiór z działaniem wewnętrznym oznaczamy







, a wynik działania na parze

elementów

a b

zapisujemy



a b , zamiast pisać







a b

Często działania oznaczamy symbolami:

    

, , ,*, ,

Przykład

 

  







 



n k











n k

, czyli piszemy









, .

Działania (3)

Działaniem zewnętrznym w niepustym zbiorze

nad niepustym zbiorem

nazywamy każdą funkcję:



 

B A

Działanie zewnętrzne oznaczamy







b a

, gdzie



b B a A

Przykład

Niech

– zbiór wektorów na płaszczyźnie, a





. Działaniem zewnętrznym w

zbiorze

nad zbiorem

jest mnożenie wektora przez liczbę rzeczywistą, wynikiem

działania jest wektor.

UWAGA.

Ponieważ zbiory

nie muszą być różne, to działanie wewnętrzne jest

szczególnym przypadkiem działania zewnętrznego.

Wybrane własności działania wewnętrznego



Łączność

ziałanie



nazywamy łącznym w zbiorze

, jeżeli:















 

, ,

a b c A a b c a b c



Przemienność

ziałanie



nazywamy przemiennym w zbiorze

, jeżeli:









a b A a b b a

Na przykład, dodawanie w zbiorze liczb naturalnych



jest działaniem łącznym

przemiennym, a odejmowanie w zbiorze liczb całkowitych



nie jest ani łączne, ani

przemienne.

Element neutralny i element odwrotny (1)

Element



e A

nazywamy elementem neutralnym

(względem działania



) , jeżeli:

 





a A a e e a a

Element



b A

nazywamy elementem odwrotnym do elementu

, jeżeli:





a b b a e .

Element odwrotny do elementu

oznaczamy symbolem



Na przykład, elementem neutralnym dodawania w zbiorach    

, , , jest 0, zaś

elementem neutralnym mnożenia w zbiorach    

, , , jest 1.

Podstawowe struktury algebraiczne (1)

Najprostszą „strukturą algebraiczną” jest półgrupa.
Zbiór

wraz z działaniem wewnętrznym łącznym



, nazywamy

półgrupą

i oznaczamy







Nieco bardziej skomplikowaną strukturą, która jednak jest często wykorzystywana,
jest grupa.

Zbiór

wraz działaniem wewnętrznym



nazywamy

grupą i oznaczamy







jeżeli:





jest działaniem łącznym;

 w zbiorze

istnieje element neutralny działania



;



 

g G

istnieje element odwrotny





Warunki te

nazywa się aksjomatami grupy.

lement neutralny w grupie nazywa się jednością grupy.

Jeżeli dodatkowo działanie wewnętrzne



jest przemienne w

, to grupę tę

nazywamy

przemienną lub abelową.

Podstawowe struktury algebraiczne (2)

Twierdzenie. W dowolnej grupie







dla

 

g G

istnieje dokładnie jeden element

odwrotny w

Niech







będzie grupą i niech



a b G

, wtedy zachodzą następujące własności

grupy:







;



 





;













;

a b



każde z równań





a x b oraz





y a b

posiada jednoznaczne rozwiązanie

Zapis multiplikatywny i addytywny (1)

Jeżeli mamy do czynienia z grupami nieabelowymi oraz z grupami w ogóle, działanie



oznacza się symbolem



i nazywa się mnożeniem, wówczas zamiast pisać



a b

piszemy często

. Element neutralny oznaczamy wtedy przez



, a element

odwrotny do

przez



Wyrażenie

   





...

n razy

a a a

oznaczamy

i nazywamy

–tą potęgą elementu

. Taki

sposób zapisu nazywa się multiplikatywnym.
W grupach abelowych przyjmuje się oznaczenie działania



przez



i nazywa je

dodawaniem

. Element neutralny oznacza się wtedy przez



, a element odwrotny

przez



(element przeciwny), wtedy zamiast pisać

 

 

piszemy



a b

Wyrażenie

   







...

n razy

a a a

oznaczamy



n a

i nazywamy

–tą wielokrotnością

elementu

. Taki sposób zapisu nazywa się addytywnym.

Przykład.
Zbiór







0,1,2,3

, działanie



jest określone jako:



 



reszta z dzielenia

przez 4

a b A a b

a b

. Sprawdzić, czy







jest grupą.

Rząd grupy, grupy cykliczne

Jeśli







jest grupą i zbiór

jest skończony, to liczbę elementów zbioru

nazywamy

rzędem grupy

i oznaczamy

Jeśli zbiór

jest nieskończony to mówimy, że rząd grupy

jest nieskończony i

piszemy

 

Grupę







której wszystkie elementy można wyrazić przy pomocy pewnego jej

elementu

nazywa się grupą cykliczną. Równoważnie, jest to grupa generowana

przez jeden z jej elementów (elementów które generują tę grupę może być wiele).

Element

nazywa się wtedy generatorem grupy cyklicznej, co zapisujemy



Korzystając z logiki predykatów można zapisać:



    

 





a G g G n

g a

Przy wykorzystaniu terminologii addytywnej:

 

g n a

Każda grupa cykliczna jest abelowa, ale nie na odwrót. Na przykład,

 









\ 0 ,

jest

grupą abelową, ale nie jest to grupa cykliczna.

Podgrupa

Niech







będzie grupą. Podzbiór

zbioru

(



H G

), taki, że







jest grupą

nazywamy

podgrupą grupy

i oznaczamy



H G

Każda grupa zawiera jako podgrupy siebie samą i grupę zawierającą tylko jedność,
są to tak zwane podgrupy niewłaściwe. Pozostałe podgrupy nazywamy
właściwymi.

Pierścień (1)

Zbiór

, z dwoma działaniami wewnętrznymi





nazywamy

pierścieniem i

oznaczamy





 

, ,

, jeśli:









jest grupą abelową,



działanie



jest łączne w zbiorze

, tzn.















  



, ,

a b c P a b

c a

b c



działanie



jest rozdzielne względem działania



, tzn.







 









 







, ,

a b c P a b

a c

b c

oraz







 



















, ,

a b c P c

a b

c a

c b

Pierścień (2)

Działanie



nazywamy dodawaniem i oznaczamy zwykle symbolem



. Element

neutralny względem działania



nazywamy zerem

pierścienia.

Działanie



nazywamy

mnożeniem i oznaczamy zwykle symbolem



Jeżeli w

istnieje element neutralny względem działania



, to nazywamy go

jedynką pierścienia i oznaczamy symbolem 1, a sam pierścień





 

, ,

nazywamy

pierścieniem z jedynką.

Jeżeli działanie



jest przemienne w

, to pierścień





 

, ,

nazywamy

przemiennym.

Ciało (1)

iałem intuicynie nazywamy zbiór , w którym potrafimy wykonywać 4 podstawowe

działania:

  

, , ,/. Ponieważ odejmowanie to dodawanie elementu przeciwnego, a

dzielenie to mnożenie przez odwrotność wystarczy rozważyć dwa działania

 

Zbiór

, z dwoma działaniami wewnętrznymi

 

nazywamy ciałem i oznaczamy





 

, ,

, jeśli:







 

, ,

jest pierścieniem przemiennym z jedynką, gdzie jedynka nie jest równa 0,



dla każdego niezerowego elementu zbioru

istnieje element odwrotny

względem działania



, tzn.:

 

 

 

 

\ 0

a K

b K a b

Drugi warunek oznacza, że zbiór

 







\ 0 ,

jest grupą. Nazywamy ją grupą

multiplikatywną ciała





 

, ,

Grupę







nazywamy grupą addytywną ciała





 

, ,

Ciało (2)

Jeśli zbiór

jest skończony, to ciało





 

, ,

nazywamy

skończonym i odpowiednio

gdy zbiór

jest nieskończony to ciało nazywamy nieskończonym.

Ciałami nieskończonymi są



 



 







, , ,

, , , , , .

Ciała skończone nazywane są ciałami Galois. Przykładem takich ciał mogą być
ciała





 



, ,

, gdzie

jest liczbą pierwszą.