Struktury algebraiczna (A,f₁,...,f₂,F₁,...,F₂,g₁,...,g₂)

W-wykon., Ł- łączne, R-rozł. ,O-elem.odw. ,N-neut.

grupoid (A, ο) – W,R

półgrupa (A, ο) - W, Ł,R

monoid (A ,o) - W,Ł,N,R

Grupa (A ,o) W,Ł,N,O,R

Grupa abelowa (A , o) W,Ł,N,P,O,R

Pierścień (A,⊕,ο), (A,⊕) gr. przemienna „ο” W,Ł,R

Pierścień uitarny (A,⊕,o), (A,⊕) gr. przem. „ο” W,Ł,R

Pierścień przemienny (A,⊕,o), (A,⊕) gr. przem. „ο” W,Ł,N,P,R

Ciało (A,⊕,o), (A,⊕) gr. przem., e-dział. ⊕, (A\ {e},o)-gr. przem., R

Przestrzeń liniowa nad ciałem

(A,⊕, ((F,+,*), • )

Własności przestrzeni

1. rozdzielność dodawania w ciele względem mnożenia

dla każdego b,c ∈F i dla każdego a∈A (b+c)•a=(b•a)⊕(c•a)

1. rozdzielność dodawania w zbiorze A względem mnożenia

dla każdego c∈F i dla każdego a,b∈A c•(a⊕b)=(c•a)⊕(c•b)

1. rozdzielność mnożenia w ciele F względem zewnętrznego

dla każdego b,c ∈F i dla każdego a∈A (b•c)•a=(b•a)•(c•a)

1. (A,⊕) grupa przemienna

Algebra nad ciałem liczb

(A,⊕, o,(F,+,*),•)

1. (A,⊕,(F,+,*),•) – przestrzeń liniowa

2. dla kazdego c∈F i dla każdego a,b∈A c•(aob)=(c•a)0b=a0(b•c)

3. (A,⊕,o) pierścień

Grupy izomorficzne

(G₁,o) i (G₂,­­□)

Grupy (G₁,o) i (G₂,­­□) są izomorficzne ⇔ istnieje bijekcja f:G₁→G₂ taka, że dla każdego a,b∈G₁ f(aob)=f(a)□f(b)

Działanie odwrotne

Niech (G,o) – grupa W grupie można zdefiniować działanie odwrotne do „o”

czyli „ō” a ō b =aob′, gdzie b′ odwrotny względem działania „o”

Ciała izomorficzne

(K₁,⊕,o) i (K₂,+,*) są izomficzne ⇔ istnieje bijekcja f:K₁→K₂ taka że istnieje a,b∈K₁ f(a⊕b)=f(a)+f(b) i f(aob)=f(a)*f(b)