1

PODSTAWY BIOSTATYSTYKI dla ZB III

dr in˙z Krzysztof Bry´s

Wyk lad 1

Klasyczny Rachunek Prawdopodobie´

nstwa.

1. Poj¸ecia wst¸epne.

Do´swiadczeniem losowym nazywamy do´swiadczenie, kt´orego wynik nie jest znany. Posiadamy jedynie
informacje o zbiorze mo˙zliwych wynik´ow tego do´swiadczenia. Wynik do´swiadczenia losowego wykluczaj¸acy
inne mo˙zliwe wyniki nazywamy zdarzeniem elementarnym.
UWAGA: Zak lada si¸e, ˙ze w wyniku do´swiadczenia losowego zachodzi dok ladnie jedno zdarzenie elemen-
tarne.
Zbi´or wszystkich zdarze´n losowych nazywamy przestrzeni¸a zdarze´n elementarnych i oznaczamy przez Ω.
Zdarzeniem losowym nazywamy dowolny wynik do´swiadczenia losowego. Ka˙zde zdarzenie losowe jest
zbiorem zdarze´n elementarnych
UWAGA: Je˙zeli Ω jest zbiorem sko´nczonym lub przeliczalnym, to zdarzeniem losowym jest dowolny
podzbi´or zbioru Ω
Zdarzenie ∅ nazywamy zdarzeniem niemo˙zliwym.
Zdarzenie Ω nazywamy zdarzeniem pewnym.
Zdarzenie A = Ω \ A nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A.
Je˙zeli dla dw´och zdarze´n A i B zachodzi A ∩ B = ∅, to m´owimy, ˙ze zdarzenia te wykluczaj¸a si¸e (s¸a
roz l¸aczne).

Przyk lady. Zdarzenie A = miesi¸ac kwiecie´n ma 31 dni jest zdarzeniem niemo˙zliwym. Zdarzenie B =

miesi¸ac kwiecie´n ma 30 dni jest zdarzeniem pewnym. Zdarzeniem przeciwnym do C = dzisiaj jest niedziela
jest zdarzenie C = dzisiaj jest inny dzie´n tygodnia ni˙z niedziela.

Przyk lad. Rozwa˙zmy do´swiadczenie losowe polegaj¸ace na jednokrotnym rzucie monet¸a. Przestrze´n

zdarze´n elementarnych sk lada sie z dw´och element´ow, zdarzenia ω

O

polegajacego na wypadni¸eciu or la i ω

O

,

kt´ore oznacza wypadni¸ecie reszki. Wypiszmy wszystkie mo˙zliwe podzbiory zbioru Ω (zdarzenia losowe):
A

1

= Ω = {ω

O

, ω

R

}, A

2

= {ω

O

}, A

3

= {ω

R

}, A

4

= ∅.

Zdarzenie A

1

polega na wypadni¸eciu or la lub reszki. Jest to zdarzenie pewne. Zdarzenie A

4

polegaj¸ace

na niewypadni¸eciu ani or la ani reszki nie mo˙ze zaj´s´c w wyniku naszego do´swiadczenia losowego. Jest to
zdarzenie niemo˙zliwe. Zdarzeniem przeciwnym do A

2

- wypad l orze l jest zdarzenie A

3

- wypad la reszka.

Zwr´o´cmy uwag¸e na to, ˙ze A

2

∪A

3

= Ω (w wyniku rzutu monet¸a wypadnie orze l lub reszka) oraz A

2

∩A

3

= ∅

(nie mo˙ze wypa´s´c jednocze´snie orze l i reszka).

2. Klasyczna definicja prawdopodobie´

nstwa.

Niech Ω b¸edzie zbiorem sko´nczonym, to znaczy Ω = {ω

1

, ω

2

. . . , ω

N

}. Dla dowolnego zdarzenia

A ⊆ Ω takiego, ˙ze A = {ω

i

1

, ω

i

2

, . . . , ω

i

k

}, gdzie i

1

, i

2

, . . . , i

k

∈ {1, 2, . . . N }, definiuje si¸e funkcj¸e praw-

dopodobie´nstwa w nast¸epuj¸acy spos´ob:

P (A) = P ({ω

i

1

}) + P ({ω

i

2

}) + . . . + P ({ω

i

k

}).

W przypadku, gdy zdarzenia elementarne s¸a jednakowo prawdopodobne, to znaczy P (ω

1

) = P (ω

2

) = . . . =

P (ω

N

) =

1

N

, otrzymujemy nast¸epuj¸acy wz´or:

P (A) =

|A|
|Ω|

=

k

N

=

liczba zdarze´n elementarnych sprzyjaj¸acych zdarzeniu A

liczba wszystkich zdarze´n elementarnych

.

Powy˙zsza definicja prawdopodobie´nstwa nie jest poprawna w og´olno´sci, gdy˙z zbi´or Ω nie musi by´c sko´nczony
a zdarzenia elementarne nie musz¸a by˙c jednakowo prawdopodobne.

2

3. Aksjomatyczna definicja prawdopodobie´

nstwa.

Niech Ω b¸edzie przestrzeni¸a zdarze´n elementarnych, Z zbiorem zdarze´n losowych.
Funkcj¸a prawdopodobie´nstwa nazywamy funkcj¸e P : Z → [0, 1] spe lniaj¸ac¸a nast¸epuj¸ace trzy aksjomaty:

P 1) P (A) ≥ 0 dla ka˙zdego A ∈ Z,
P 2) P (Ω) = 1
P 3) je˙zeli A

1

, A

2

, . . . , A

n

. . . jest ci¸agiem zdarze´n roz l¸acznych (to znaczy A

i

∩ A

j

= ∅ dla i 6= j), to

P (A

1

∪ A

2

∪ . . . ∪ A

n

∪ . . .) = P (A

1

) + P (A

2

) + . . . + P (A

n

) + . . .

Warto´s´c funkcji P na zbiorze A nazywamy prawdopodobie´nstwem zdarzenia A

4. W lasno´sci funkcji prawdopodobie´

nstwa.

1. P (∅) = 0.

2. Je´sli A ⊆ B, to P (A) ≤ P (B).

3. Dla dowolnego A ⊆ Ω P (A) ≤ 1.

4. Je´sli A ⊆ B, to P (B \ A) = P (B) − P (A).

5. Dla dowolnego A ⊆ Ω P (A) + P (A) = 1.

6. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).

7. Je˙zeli zdarzenia A

1

, A

2

, . . . , A

n

s¸a parami roz l¸aczne, to P (A

1

∪ A

2

∪ . . . ∪ A

n

) = P (A

1

) + P (A

2

) +

. . . + P (A

n

).

5. Prawdopodobie´

nstwo warunkowe i niezale˙zno´s˙c.

Prawdopodobie´nstwo zaj´scia zdarzenia A pod warunkiem, ˙ze zasz lo zdarzenie B:

P (A|B) =

P (A ∩ B)

P (B)

Do´swiadczenia niezale˙zne = dowolny wynik jednego z nich nie wpywa na wynik drugiego.
Zdarzenia niezale˙zne = zdarzenia A, B, dla kt´orych:

P (A ∩ B) = P (A) · P (B)

albo

P (A|B) = P (A) lub P (B|A) = P (B)

Informacja o zaj´sciu jednego z nich nie zmienia szans wyst¸apienia drugiego.

5. Zupe lny uk lad zdarze´

n. Wz´

or Bayesa

Zdarzenia A

1

, . . . , A

n

tworz¸a zupe lny uk lad zdarze´n je´sli:

1. A

1

∪ . . . ∪ A

n

= Ω,

2. A

i

∩ A

j

= ∅ dla ka˙zdego i 6= j, i, j = 1, 2, . . . , n

3

Twierdzenie o prawdopodobie´

nstwie zupe lnym

Je´sli zdarzenia A

1

, . . . , A

n

tworz¸a zupe lny uk lad zdarze´n, to dla ka˙zdego zdarzenia B :

P (B) = P (A

1

∩ B) + . . . + P (A

n

∩ B) = P (A

1

) · P (B|A

1

) + . . . + P (A

n

) · P (B|A

n

)

Wz´

or Bayesa

Je´sli zdarzenia A

1

, . . . , A

n

tworz¸a zupe lny uk lad zdarze´n, to dla ka˙zdego zdarzenia B takiego, ˙ze P (B) > 0

oraz dowolnego j = 1, 2, . . . , n zachodzi wz´or :

P (A

j

|B) =

P (A

j

∩ B)

P (A

1

∩ B) + . . . + P (A

j

∩ B) + . . . + P (A

n

∩ B)

=

=

P (A

j

) · P (B|A

j

)

P (A

1

) · P (B|A

1

) + . . . P (A

j

) · P (B|A

j

) + . . . + P (A

n

) · P (B|A

n

)

Zmienna losowa jednowymiarowa

Intuicyjnie: zmienna, kt´ora przyjmuje pewn¸a warto´s´c liczbow¸a w wyniku do´swiadczenia losowego.
Formalnie: Funkcja X : Ω → R przyporz¸adkowuj¸aca ka˙zdemu zdarzeniu losowemu pewn¸a warto´s´c

liczbow¸a

Dystrybuanta zmiennej losowej X - funkcja F

X

: R → R zdefiniowana nast¸epuj¸aco:

F (x) = P (X < x) dla ka˙zdego x ∈ R

Zmienna losowa typu skokowego

Zmienna X, dla kt´orej zbi´or warto´sci przyjmowanych przez t¸a zmienn¸a jest sko´nczony lub przeliczalny,

tzn W

X

= {x

1

, x

2

, . . . , x

n

} albo W

X

= {x

1

, x

2

, . . . , x

n

, ldots}

Rozk lad prawdopodobie´

nstwa: funkcja P , kt´ora ka˙zdemu punktowi skokowemu x

i

∈ W

X

przy-

porz¸adkowuje skok prawdopodobie´

nstwa p

i

= P (X = x

i

) w taki spos´ob, ˙ze:

1) dla ka˙zdego i : p

i

> 0 oraz

2)

X

i

p

i

= 1

.

Zmienna losowa typu ci¸ag lego

Zmienna X, dla kt´orej zbi´or warto´sci przyjmowanych przez t¸a zmienn¸a jest przedzia lem liczbowym lub

sum¸a przedzia l´ow.

Rozk lad prawdopodobie´

nstwa: funkcja f zwana g¸esto´sci¸a prawdopodobie´

nstwa taka, ˙ze

1) dla ka˙zdego x ∈ R : f (x) ≥ 0 oraz

2)

Z

+∞

−∞

f (x)dx = 1

.

Podstawowe parametry zmiennej losowej

1. Warto´s´

c oczekiwana zmiennej losowej X = liczba E(X) b¸ed¸aca ´srednia wa˙zon¸a rozk ladu praw-

dopodobie´nstwa przy za lo˙zeniu, ˙ze wag¸a jest prawdopodobie´nstwo (dla zmiennej losowej typu skokowego)
albo ´srodkiem ci¸e˙zko´sci rozk ladu prawdopodobie´nstwa przy za lo˙zeniu, ˙ze g¸esto´sci¸a jest funkcja g¸esto´sci
prawdopodobie´nstwa (dla zmiennej losowej typu ci¸ag lego).

4

2. Wariancja zmiennej losowej X= D

2

(X) = warto´s´c oczekiwana kwadratu odchylenia zmiennej od

jej warto´sci oczekiwanej - miara ´sredniego odchylenia kwadratowego.

3. Odchylenie standardowe zmiennej losowej X = D(X)= pierwiastek z wariancji - miara ´sredniego

odchylenia zmiennej od jej warto´sci oczekiwanej.

4. Kwantyl rz¸edu p = x

p

= punkt, w kt´orym skumulowane prawdopodobie´nstwo (dystrybuanta)

osi¸aga (przekracza) warto´s´c p.
mediana=Me=kwantyl rz¸edu

1
2

kwartyl dolny=Q

1

=kwantyl rz¸edu

1
4

kwartyl dolny=Q

3

=kwantyl rzedu

3
4

i-ty decyl= przedzia l mi¸edzy kwantylem rz¸edu (i − 1) · 0.1 a kwantylem rz¸edu i · 0.1
i-ty percentyl= przedzia l mi¸edzy kwantylem rz¸edu (i − 1) · 0.01 a kwantylem rz¸edu i · 0.01

5. Moda (dominanta; warto´s˙c modalna) = punkt, w kt´orym funkcja prawdopodobie´nstwa osi¸aga

najwi¸eksz¸a warto´s˙c.