ZESTAW 6. Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji.

Reguła de l’Hospitala.

Zadanie 1. Oblicz pochodne następujących funkcji:

a) f (x) = π

b) f (x) = x

4

+ 3x

2

−

1

x

+

√

x

c) f (x) = 2x

3

− x

2

d) f (x) = 3x

5

− 4x

3

+ 7x

2

− 8x + 12

e) f (x) = 2

√

x − 3lnx + 1

f) f (x) = x · lnx

g) f (x) = 3x · lnx

h) f (x) = (x + 1) · lnx

i) f (x) = 2x · e

x

j) f (x) = (3x + 4) · e

x

k) f (x) =

2

x

3

− 1

l) f (x) =

4

1 − x

2

m) f (x) =

5x − 1

3 − 2x

n) f (x) =

x

2

− 1

x

2

+ 1

o) f (x) =

2x

3

− 1

4x + 1

p) f (x) =

1 − 5x

4x

3

+ 3

q) f (x) =

√

2x + 1

r) f (x) =

√

−3x + 6

s) f (x) = ln3x

t) f (x) = ln(3x + 2)

u) f (x) = log

2

(3x + 2)

v) f (x) = log

3

(3 − 5x + 2x

2

)

w) f (x) = log

4

(x

5

+ 1)

x) f (x) = 2

x

2

y) f (x) = 4

2x

2

−3

z) f (x) =

2

3

2−3x+1

aa) f (x) =

4

3

1−3x

2

ab) f (x) = e

−3x+1

ac) f (x) = e

2x

2

−4x+5

ad) f (x) = (2x

3

− 1)

5

ae) f (x) = (3x

2

+ 2)

7

Zadanie 2. Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x

0

, f (x

0

)), gdy:

a) f (x) = x

2

, x

0

= 1

b) f (x) =

√

x, x

0

= 1

c) f (x) = x

2

− 2x + 3, x

0

= 0

d) f (x) =

√

2x + 5, x

0

= 2

e) f (x) =

3

x + 2

, x

0

= 0

f) f (x) =

2x

x

2

+ 1

, x

0

= −1

Zadanie 3. Wyznaczyć elastyczność funkcji:

a) y = 3x − 6 dla

x = 10

b) y = 1 + 2x − x

2

dla x = 3

c) y = 2x

2

+ 3x − 2 dla x = 1

d) y = 120 − 0.4x

2

dla x = 4

e) y = e

−x

dla x = 2

f) y = xlnx dla x = e

g) y = x − 6 dla x = 10

h) y = 1 + 2x +

1

2

x

2

dla x = 1

Zadanie 4. Korzystając z reguły de l’Hospitala oblicz podane granice:

a) lim

x→1

x

3

− 1

x

2

− 1

b) lim

x→+∞

2

x

x

c) lim

x→+∞

3

2x−5

x

d) lim

x→+∞

5

x+4

x

2

e) lim

x→+∞

7

3x−5

2x

2

f) lim

x→1

x

2

− 1

√

x − 1

g) lim

x→0

e

x

− x − 1

x

2

h) lim

x→0

ln(1 + x)

x

i) lim

x→e

lnx − 1

x − e

j) lim

x→+∞

e

x

x

k) lim

x→+∞

lnx

x