ZESTAW 6. Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji.
Reguła de l’Hospitala.
Zadanie 1. Oblicz pochodne następujących funkcji: a) f ( x) = π
4
l) f ( x) =
v) f ( x) = log (3 − 5 x + 2 x 2) 3
1 − x 2
1
√
w) f ( x) = log ( x 5 + 1) b) f ( x) = x 4 + 3 x 2 −
+
x
5 x − 1
4
x
m) f ( x) = 3 − 2 x x) f ( x) = 2 x 2
c) f ( x) = 2 x 3 − x 2
x 2 − 1
n) f ( x) =
y) f ( x) = 42 x 2 − 3
d) f ( x) = 3 x 5 − 4 x 3 + 7 x 2 − 8 x + 12
x 2 + 1
√
2 x 3 − 1
2 2 − 3 x+1
e) f ( x) = 2 x − 3ln x + 1
o) f ( x) =
z) f ( x) =
4 x + 1
3
f) f ( x) = x · ln x 1 − 5 x
p) f ( x) =
4 1 − 3 x 2
g) f ( x) = 3 x · ln x 4 x 3 + 3
aa) f ( x) =
√
3
q) f ( x) =
2 x + 1
h) f ( x) = ( x + 1) · ln x
√
ab) f ( x) = e− 3 x+1
r) f ( x) =
− 3 x + 6
i) f ( x) = 2 x · ex
s) f ( x) = ln3 x
ac) f ( x) = e 2 x 2 − 4 x+5
j) f ( x) = (3 x + 4) · ex t) f ( x) = ln(3 x + 2) ad) f ( x) = (2 x 3 − 1)5
2
k) f ( x) = x 3 − 1
u) f ( x) = log (3 x + 2) ae) f ( x) = (3 x 2 + 2)7
2
Zadanie 2. Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie ( x 0 , f ( x 0)), gdy:
√
a) f ( x) = x 2, x 2 x
0 = 1
d) f ( x) =
2 x + 5, x 0 = 2
f) f ( x) =
, x 0 = − 1
√
x 2 + 1
b) f ( x) =
x, x 0 = 1
3
c) f ( x) = x 2 − 2 x + 3, x e) f ( x) =
, x
0 = 0
0 = 0
x + 2
Zadanie 3. Wyznaczyć elastyczność funkcji: a) y = 3 x − 6 dla
x = 10
d) y = 120 − 0 . 4 x 2 dla x = 4
g) y = x − 6 dla x = 10
b) y = 1 + 2 x − x 2 dla x = 3
e) y = e−x dla x = 2
1
c) y = 2 x 2 + 3 x − 2 dla x = 1
f) y = x ln x dla x = e h) y = 1 + 2 x +
x 2 dla x = 1
2
Zadanie 4. Korzystając z reguły de l’Hospitala oblicz podane granice: x 3 − 1
73 x− 5
ln x − 1
a) lim
i) lim
x→ 1
e) lim x→+ ∞
x→e
x 2 − 1
2 x 2
x − e
2 x
x 2 − 1
b) lim x→+ ∞
f) lim
√
x
x→ 1
x − 1
ex
j) lim x→+ ∞
32 x− 5
ex − x − 1
x
c) lim x→+ ∞
g) lim
x
x→ 0
x 2
5 x+4
ln(1 + x)
ln x
d) lim x→+ ∞
h) lim x→ 0
k) lim x→+ ∞
x 2
x
x