Zadanie 1. Podaj negację następujących zdań: a) ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest monotoniczny i ograniczony; b) jeżeli funkcja jest monotoniczna, to jest różnowartościowa; c) jeśli ciąg jest od pewnego miejsca stały, to jest zbieżny; d) jeśli ciąg jest ograniczony, to zawiera podciąg zbieżny; e) jeżeli funkcja jest monotoniczna, to jest rosnąca lub malejąca.
Zadanie 2. Oceń wartość logiczną każdego ze zdań następnie znajdź jego zaprze-czenie:
a) ∃x∈
x = 2 x
R
b) ∀x∈
x = 5 x
R
c) ∀x∈
x 6= 3 x
R
d) ∀n∈
4 n = ( − 2)2 n
N
e) ∃n∈
9 n = ( − 3)2 n
N
f) ∀y∈
y < 2 y
R
g) ∃y∈
y ¬ 5 y
R
h) ∃x∈
x 2 x
N
i) ∃
1
x∈
x
N
x+1
j) ∃x∈
|x + 1 | 0
R
k) ∀x∈
| 2 x − 1 | 0
R
l) ∃x∈
3 x + 1 0
N
m) ∀x∈
− 2 x 2 ¬ 0
R
n) ∀x∈
− 4 x ¬ 0
R
o) ∀m∈
∀
m 2 + n 2 = 10
N
n∈ N
p) ∀x∈
∃
x 2 + y 2 = 5
N
y∈ N
r) ∃m∈
∃
m 2 + n 2 = 9
N
n∈ N
s) ∃x∈
∀
y = x 2 − 4
R
y∈ R
t) ∃x∈
∀
x ¬ y
R
y∈ N
u) ∀y∈
∃
x ¬ y
N
x∈ R
Zadanie 3. Dla podanych zbiorów A i B wyznacz zbiory A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A × B, B × A Wyniki zaznaczyć na osi liczbowej.
a) A = [0 , + ∞) ,
B = ( − 5 , 4]
b) A = [0 , 3) ,
B = ( − 5 , 4]
c) A = (5 , + ∞) ,
B = ( − 7 , 3]
d) A = (0 , 3) ,
B = ( − 7 , 3]
e) A = ( −∞, 1] ,
B = ( − 3 , 4]
f) A = [0 , 5] ,
B = ( − 5 , 4]
g) A = ( −∞, − 2) ,
B = ( − 7 , 3]
h) A = (0 , 5] ,
B = ( − 7 , 3]
i) A = [0 , + ∞) ,
B = ( − 3 , 6)
1
j) A = [ − 3 , 3) , B = [ − 5 , 4)
k) A = (5 , + ∞) ∪ {− 7 }, B = ( − 7 , 5)
l) A = ( − 1 , 3) ∪ {− 5 }, B = [ − 5 , 3)
m) A = ( −∞, 1] ∪ { 5 }, B = [ − 3 , 6]
n) A = [ − 2 , 5] ∪ { 6 }, B = [ − 5 , 6)
o) A = ( −∞, − 2) ∪ { 5 }, B = [ − 7 , 5]
p) A = ( − 4 , 5] ∪ { 6 }, B = [ − 5 , 3)
q) A = (5 , + ∞) ∪ ( − 1 , 3) , B = ( − 7 , 5)
r) A = ( − 1 , 3) ∪ [3 , 6] , B = [ − 5 , 3)
s) A = ( −∞, 1] ∪ [2 , 8) , B = [ − 3 , 6] ∪ { 8 }
t) A = [ − 2 , 5] ∪ [3 , 7] , B = [ − 5 , 6) ∪ { 7 }
u) A = ( −∞, − 2) ∪ { 5 }, B = [ − 7 , 0) ∪ (2 , 5]
v) A = ( − 4 , 5] ∪ { 6 }, B = [ − 5 , 3) ∪ (4 , 6) Zadanie 4. Rozwiąż równanie:
a) |x + 1 | = 3
b) |x − 2 | = 5
c) |x + 5 | = 3
d) |x − 7 | = 5
e) | 2 x + 5 | = 3
f) | 7 − 3 x| = 5
g) | 5 x + 5 | = 3
h) | 2 − 6 x| = 5
i) ||x + 1 | − 2 | = 3
j) ||x − 3 | + 2 | = 5
k) ||x + 7 | − 2 | = 4
l) ||x − 5 | + 3 | = 2
m) || 2 x + 1 | − 2 | = 3
n) || 3 − x| + 2 | = 5
o) || 4 x + 7 | − 2 | = 4
p) || 5 − 2 x| + 3 | = 2
q) || 2 x + 1 | + 5 | = 3
r) || 3 − x| + 7 | = 2
s) || 4 x + 7 | + 6 | = 4
t) || 5 − 2 x| + 5 | = 2
Zadanie 5. Rozwiąż nierówności:
a) |x + 1 | 3
b) |x − 2 | 5
c) |x + 5 | ¬ 3
d) |x − 7 | ¬ 5
e) | 2 x + 5 | 3
f) | 7 − 3 x| 5
g) | 5 x + 5 | ¬ 3
h) | 2 − 6 x| ¬ 5
i) ||x + 1 | − 2 | 3
j) ||x − 3 | + 2 | 5
k) ||x + 7 | − 2 | ¬ 4
l) ||x − 5 | + 3 | ¬ 2
m) || 2 x + 1 | − 2 | 3
n) || 3 − x| + 2 | 5
o) || 4 x + 7 | − 2 | ¬ 4
p) || 5 − 2 x| + 3 | ¬ 2
q) || 2 x + 1 | + 5 | 3
r) || 3 − x| + 7 | 2
s) || 4 x + 7 | + 6 | ¬ 4
t) || 5 − 2 x| + 5 | ¬ 2