Zestaw 12

Zadanie 1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x, y) gdy:
(a)

f (x, y) =

1

√

x

2

+y

2

.

(b)

f (x, y) =

√

xy.

(c)

f (x, y) = xe

x+y

.

(d)

f (x, y) =

1

√

x+y

.

(e)

f (x, y) =

√

x +

√

y.

(f )

f (x, y) = ln(4 − x

2

− y

2

).

(g)

f (x, y) =

1
x

+

x

x

2

+y

2

−2

.

(h)

f (x, y) =

√

9 − x

2

− y

2

.

(i)

f (x, y) =

1

ln(|xy|)

.

(j)

f (x, y) =

1

x

2

−2x−3

+ ln y.

(k)

f (x, y) =

1

ln(xy)

.

(l)

f (x, y) = ln(x + 1).

Zadanie 2. Obliczyć lim

(x,y)→(0,0)

f (x, y), gdy

(a)

f (x, y) = x + 2y.

(b)

f (x, y) = x

2

+ y

2

.

(c)

f (x, y) =

e

x+y

−1

x+y

.

(d)

f (x, y) =

e

x2+y2

−1

x

2

+y

2

.

(e)

f (x, y) =

√

9+x

2

+y

2

−3

x

2

+y

2

.

(f )

f (x, y) = (x

2

+ y

2

) ln



1

x

2

+y

2



.

Zadanie 3. Zbadać ciągłość funkcji f w punkcie (0, 0)

(a)

f (x, y) =

(

x

2

+ y

2

,

(x, y) 6= (0, 0)

0,

(x, y) = (0, 0)

(b)

f (x, y) =







e

x2+y2

−1

x

2

+y

2

,

(x, y) 6= (0, 0)

1,

(x, y) = (0, 0)

(c)

f (x, y) =







√

9+x

2

+y

2

−3

x

2

+y

2

,

(x, y) 6= (0, 0)

2,

(x, y) = (0, 0)

1

(d)

f (x, y) =







e

x4+y4

−1

√

x

4

+y

4

,

(x, y) 6= (0, 0)

0,

(x, y) = (0, 0)

(e)

f (x, y) =

(

6x−3y

e

2x−y

−1

,

(x, y) 6= (0, 0)

3,

(x, y) = (0, 0)

Zadanie 4. Wyznaczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu dla podanych funkcji
(a)

f (x, y) = x

3

+ 2y

5

+ 2x + e.

(b)

f (x, y) = xy

2

+ 3y

3

+ 1.

(c)

f (x, y) =

1
y

+

1
y

.

(d)

f (x, y) = e

x

2

+y

3

+ 2x.

(e)

f (x, y) =

xy−3

x

2

+y

2

.

(f )

f (x, y) = 2

x

2

−2y

.

(g)

f (x, y) =

1
x

+

x

x

2

+y

2

.

(h)

f (x, y) =

√

1 − x

2

− y

2

.

(i)

f (x, y) = ln(2x − 3y

2

).

(j)

f (x, y) =

x+y
x−y

+ 1.

(k)

f (x, y) =

x
y

.

(l)

f (x, y) = 2 − e

−x

2

−y

2

.

(m)

f (x, y) = ln

x
y

.

2