ZESTAW 7. Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegięcia wykresu. Asymptoty.

Zadanie 1. Znajdź równania asymptot funkcji f gdy:

a) f (x) =

1

1 − x

2

b) f (x) =

3x + 5

7x − 6

c) f (x) =

3x − 5

7 − 4x

d) f (x) =

x

2

+ 3

x − 1

e) f (x) =

x

2

− 1

x + 4

f) f (x) =

x

2

− 1

x − 1

g) f (x) =

x − 2

x

2

− 4

h) f (x) =

3x

2

+ 7x

x − 3

Zadanie 2. Wyznacz przedziały monotoniczności następujących funkcji:

a) f (x) = x

3

+ 5x − 9

b) f (x) = 2x

3

− 9x

2

+ 12x − 17

c) f (x) = −4x

2

− 3x + 2

d) f (x) = 2x

3

+ 3x

2

− 36x + 83

e) f (x) = 2x

3

+ 5x

2

− 4x − 11

f) f (x) =

x

x

2

+ 4

g) f (x) =

3x

2

+ 1

x

2

+ 2

h) f (x) =

x

2

− 4

x

2

+ 4

Zadanie 3. Wyznacz ekstrema funkcji:

a) f (x) = x

2

+ 2x − 15

b) f (x) = −2x

2

− 10x + 28

c) f (x) = x

3

+ 3x + 4

d) f (x) = −4x

3

− 2x + 1

e) f (x) = 2x

3

− 15x

2

+ 36x − 14

f) f (x) = x

3

+ 3x

2

− 9x − 14

g) f (x) = −x

3

+ 9x

2

− 27x + 17

h) f (x) = x

4

+ 4x

2

− 2

i) f (x) =

1

4

x

4

−

1

2

x

2

j) f (x) =

x + 1

x

2

+ 4

k) f (x) =

x

2

+ 4

x

2

+ 3

l) f (x) =

2x

x

2

+ 1

Zadanie 4. Znajdź największe i najmniejsze wartości funkcji na wskazanych przedziałach:

a) f (x) = 2x

2

+ 2x − 4,

x ∈ [0, 2]

b) f (x) = −3x

2

+ 6x + 9,

x ∈ [−4, 0]

c) f (x) = x

2

− 2x + 3,

x ∈ [−2, 5]

d) f (x) = −3x

2

+ 6x − 1

x ∈ [−3, 2]

e) f (x) = 2x

3

− 3x

2

− 36x − 8,

x ∈ [−3, 6]

f) f (x) = −x

3

− 3x

2

− 9x + 21,

x ∈ [−4, 2]

g) f (x) = −4x

3

+ 6x

2

+ 24x − 3,

x ∈ [0, 3]

h) f (x) = 2x

3

+ 21x

2

+ 36x − 4,

x ∈ [−2, 1]

i) f (x) =

x + 1

x − 2

,

x ∈ [3, 5]

j) f (x) =

2x + 5

x + 1

,

x ∈ [0, 2]

k) f (x) =

3x − 1

2x + 3

,

x ∈ [−5, −1]

l) f (x) =

x

2

+ 1

x

2

+ 4

,

x ∈ [−1, 1]

m) f (x) =

2x

2

− 3

x

2

+ 2

,

x ∈ [−1, 1]

Zadanie 5. Wyznacz punkty przegięcia, przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji:

a) f (x) = x

4

− 4x

3

+ 8x

2

b) f (x) = 5x

4

+ 2x

3

+ x

2

c) f (x) = 3x

4

+ 7x + 1

d) f (x) = −2x

4

− 4x + 5

e) f (x) = x

4

−12x

3

+ 48x

2

f) f (x) =

x

4

12

−

2x

3

3

+

3x

2

2

g) f (x) =

x

x

2

+ 2

1

Zadanie 6. Zbadaj, czy wraz ze wzrostem dochodu x, rośnie również popyt y stosując:

a) dla dóbr podstawowych funkcję T¨

ornquista pierwszego rodzaju

y =

2x

x + 1

gdzie

x ∈ [0, ∞),

b) dla dóbr wyższego rzędu funkcję T¨

ornquista drugiego rodzaju

y =

x − 5

x + 2

gdzie

x ∈ [0, ∞),

c) dla dóbr luksusowych funkcję T¨

ornquista trzeciego rodzaju

y = x

x

x + 3

gdzie

x ∈ [0, ∞).

2