ZESTAW 7. Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegięcia wykresu. Asymptoty.
Zadanie 1. Znajdź równania asymptot funkcji f gdy:
a) f (x) =
1
1 − x
2
b) f (x) =
3x + 5
7x − 6
c) f (x) =
3x − 5
7 − 4x
d) f (x) =
x
2
+ 3
x − 1
e) f (x) =
x
2
− 1
x + 4
f) f (x) =
x
2
− 1
x − 1
g) f (x) =
x − 2
x
2
− 4
h) f (x) =
3x
2
+ 7x
x − 3
Zadanie 2. Wyznacz przedziały monotoniczności następujących funkcji:
a) f (x) = x
3
+ 5x − 9
b) f (x) = 2x
3
− 9x
2
+ 12x − 17
c) f (x) = −4x
2
− 3x + 2
d) f (x) = 2x
3
+ 3x
2
− 36x + 83
e) f (x) = 2x
3
+ 5x
2
− 4x − 11
f) f (x) =
x
x
2
+ 4
g) f (x) =
3x
2
+ 1
x
2
+ 2
h) f (x) =
x
2
− 4
x
2
+ 4
Zadanie 3. Wyznacz ekstrema funkcji:
a) f (x) = x
2
+ 2x − 15
b) f (x) = −2x
2
− 10x + 28
c) f (x) = x
3
+ 3x + 4
d) f (x) = −4x
3
− 2x + 1
e) f (x) = 2x
3
− 15x
2
+ 36x − 14
f) f (x) = x
3
+ 3x
2
− 9x − 14
g) f (x) = −x
3
+ 9x
2
− 27x + 17
h) f (x) = x
4
+ 4x
2
− 2
i) f (x) =
1
4
x
4
−
1
2
x
2
j) f (x) =
x + 1
x
2
+ 4
k) f (x) =
x
2
+ 4
x
2
+ 3
l) f (x) =
2x
x
2
+ 1
Zadanie 4. Znajdź największe i najmniejsze wartości funkcji na wskazanych przedziałach:
a) f (x) = 2x
2
+ 2x − 4,
x ∈ [0, 2]
b) f (x) = −3x
2
+ 6x + 9,
x ∈ [−4, 0]
c) f (x) = x
2
− 2x + 3,
x ∈ [−2, 5]
d) f (x) = −3x
2
+ 6x − 1
x ∈ [−3, 2]
e) f (x) = 2x
3
− 3x
2
− 36x − 8,
x ∈ [−3, 6]
f) f (x) = −x
3
− 3x
2
− 9x + 21,
x ∈ [−4, 2]
g) f (x) = −4x
3
+ 6x
2
+ 24x − 3,
x ∈ [0, 3]
h) f (x) = 2x
3
+ 21x
2
+ 36x − 4,
x ∈ [−2, 1]
i) f (x) =
x + 1
x − 2
,
x ∈ [3, 5]
j) f (x) =
2x + 5
x + 1
,
x ∈ [0, 2]
k) f (x) =
3x − 1
2x + 3
,
x ∈ [−5, −1]
l) f (x) =
x
2
+ 1
x
2
+ 4
,
x ∈ [−1, 1]
m) f (x) =
2x
2
− 3
x
2
+ 2
,
x ∈ [−1, 1]
Zadanie 5. Wyznacz punkty przegięcia, przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji:
a) f (x) = x
4
− 4x
3
+ 8x
2
b) f (x) = 5x
4
+ 2x
3
+ x
2
c) f (x) = 3x
4
+ 7x + 1
d) f (x) = −2x
4
− 4x + 5
e) f (x) = x
4
−12x
3
+ 48x
2
f) f (x) =
x
4
12
−
2x
3
3
+
3x
2
2
g) f (x) =
x
x
2
+ 2
1
