ZESTAW 5. Granica i ciągłość funkcji. Przekształcanie wykresu funkcji.
Zadanie 1. Oblicz następujące granice (o ile istnieją): a) lim
1
x 2 +1
x→+ ∞ (3 x 3 − 7 x 2 − 8) p) lim
x− 1
x→ 5
1
x + 5
ad) lim x→∞
b) lim
5
x→−∞ (4 x 5 + 2 x 3 − 3 x + 1) x + 3
q) lim x→− 2
c) lim
x + 4
x 2 +3
x→+ ∞ ( − 2 x 4 − 21 x 3 + 4 x + 7)
2 x 2+1
x − 5
ae) lim x→−∞
d) lim
3
x→−∞ ( −x 6 + 2 x − 1) r) lim x→ 5 x 2 − 25
e) lim
x 4 − 1
x→−∞ ( − 13 x 11 + 11 x 10 + 5 x 6) x 2 − 9
3 x+2
s) lim x→− 3
af) lim x→−∞
f) lim
p
x + 3
5
x→−∞
(3 x 2 + 8)
x 2 − 1
g) lim
t) lim
2 x 3 +3
x→+ ∞ x p(7 x 2 + 11) x→ 1
x − 1
5 2 x+1
ag) lim x→−∞
3 x 2 + 8 x − 7
3
h) lim
x 2 − 2 x + 1
x→+ ∞
x 2
u) lim
+ 8
x→ 1
x 2 − 1
2 x 3 +3
1 − 2 x 2
9 x − 19
ah) lim x→−∞ 4
i) lim
x 2 − 3 x + 2
x→+ ∞
5 x 2 + 1
v) lim x→ 1
x 2 − 1
6 x 3 − 2
√
ai) lim x→+ ∞ log 5 x 3 − 2
3
( x − 1) 2 − x
2 x 3 + 2 x − 1
j) lim x→−∞
w) lim
4 − 6 x 3
x→ 1
x 2 − 1
2 x 3 − 6
− 5 x + 8
aj) lim x→−∞ log2
k) lim
x) lim
x + 2
x→−∞
x→∞ e 2 x 2 − 6 x+1
3 x 4 − 7
y) lim x→−∞ 22 x 8 − 6 x 3 − 4 x 2+21
x 2 + 1
3 x 2 + 8
ak) lim x→+ ∞ log l) lim
4
x→+ ∞
5 x 5 − x + 2
5 x + 3
z) lim x→∞ e− 2 x 4+3 x 2 − 3
x + 1
2 x 3 − 3
al) lim
m) lim
aa) lim x→∞ 32 x 2 −x+1
x→−∞ log 1
x→−∞
3 2 x 3 − 5 x + 1
5 x + 1
1 3 x 3 −x+7
x + 1
ab) lim
2 x 2 + 3
n) lim
x→−∞
am) lim
x→− 1
2
x→−∞ log 2
x 2 − 1
3 3 x 5 − 2
2 x 2 + x+1
4 − x 2
1
x 3 + 1
o) lim
ac) lim
x→ 2
x→−∞
an) lim x→+ ∞ log 1
2 − x
3
5 5 x 3 + 4
Zadanie 2. Obliczając granice jednostronne funkcji f w punkcie x 0 zbadaj, czy istnieją granice: a) f ( x) = ( x + 5)2, x x − 2
x + 1
0 = 2
i) f ( x) =
, x 0 = − 3
q) f ( x) =
, x 0 = 1
x + 3
x 2 − 1
b) f ( x) = ( x + 5)2 − 1, x 0 = − 5
1
j) f ( x) =
, x 0 = 1
x 2 − 9
1
x + 1
r) f ( x) =
, x 0 = − 3
c) f ( x) =
, x 0 = 3
x + 3
x − 3
2
k) f ( x) =
, x 0 = − 3
1
x − 3
8 − 2 x
d) f ( x) =
, x
s) f ( x) =
, x 0 = − 4
0 = 0
3 − x
1
16 − x 2
l) f ( x) =
, x 0 = 2
2 − x
3
t) f ( x) = 2 x− 1, x e) f ( x) =
, x
0 = 1
0 = 1
2
1 − x
m) f ( x) =
, x 0 = 4
4 − x
u) f ( x) = 32 −x, x 1
0 = 2
f) f ( x) =
, x
x − 2
0 = − 2
x + 2
n) f ( x) =
, x 0 = 3
x + 3
1 x+1
x − 1
v) f ( x) =
, x 0 = 1
g) f ( x) =
, x
1 − 2 x
2
0 = − 1
x + 1
o) f ( x) =
, x 0 = 4
x
4 −x
4 − 2 x
x − 2
1
h) f ( x) =
, x
w) f ( x) =
, x
0 = 4
p) f ( x) =
, x 0 = 2
0 = 1
x − 4
x 2 − 4
3
Zadanie 3. Znajdź zbiór punktów ciągłości funkcji f , gdy: 1
x 2
dla
x 6= 0
1 x
a) f ( x) =
dla
x 0
0
dla
x = 0
i) f ( x) =
2
−x + 1
dla
x < 0
( x + 1)2
dla
x 6= − 1
b) f ( x) =
0
dla
x = − 1
1 x
dla
x ¬ − 1
j) f ( x) =
( x − 3)2
dla
x 6= 3
3
c) f ( x) =
( x + 1)2 + 3
dla
x > − 1
0
dla
x = 3
x 2 − 2
dla
x 6= 0
x 2 − 1
d) f ( x) =
dla
x 6= − 1
− 2
dla
x = 0
k) f ( x) =
x + 1
− 2
dla
x = − 1
x 2 + 4
dla
x 6= 0
e) f ( x) =
4
dla
x = 0
x 2 − 9
dla
x 6= 3
l) f ( x) =
x − 3
x 2 + 1
dla
x < 0
f) f ( x) =
0
dla
x = 3
2 x
dla
x 0
−x 2 + 3
dla
x 1
3 x + 7
dla
x ¬ 1
g) f ( x) =
m) f ( x) =
3 x
dla
x < 1
5 x 2 + 2 x + 3
dla
x > 1
( x − 2)2
dla
x > 2
x 2 − 1
dla
x < 2
h) f ( x) =
n) f ( x) =
x − 2
dla
x ¬ 2
3 x 2 − 8 x + 7
dla
x 2
Zadanie 4. Zbadaj ciągłość funkcji f i podaj rodzaje nieciągłości, jeżeli:
x 2
dla
x 6= 0
1 x
(
2
a) f ( x) =
− 2
dla
x 6= 0
dla
x 6= 2
1
dla
x = 0
d) f ( x) =
3
g) f ( x) =
x − 2
0
dla
x = 2
2
dla
x = 0
−
(
x 2 + 1
dla
x 6= 0
1
b) f ( x) =
dla
x 6= 0
2 x + 3
dla
x ¬ 0
2
dla
x = 0
e) f ( x) =
x
h) f ( x) =
1
dla
x = 0
( x − 2)2
dla
x > 0
(
1
2 x
dla
x 6= 1
dla
x 6= − 1
f) f ( x) =
x − 1
dla
x < 0
c) f ( x) =
x + 1
i) f ( x) =
0
dla
x = 1
0
dla
x = − 1
3 x
dla
x 0
Zadanie 5. Dane są funkcje: A) f ( x) = x C) f ( x) = x 2
E) f ( x) = log x dla x > 0
3
x
1
1
B) f ( x) =
dla x 6= 0
D) f ( x) =
x
3
Naszkicuj wykresy funkcji:
a) x → f ( x)
d) x → f ( x) − 1
g) x → |f ( x) |
b) x → −f ( x)
e) x → f ( x + 1) c) x → f ( −x)
f) x → f (2 − x) + 1
h) x → f ( |x|) 2