Zadanie 1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f ( x, y) gdy: (a)
f ( x, y) =
1
√
.
x 2+ y 2
√
(b)
f ( x, y) =
xy.
(c)
f ( x, y) = xex+ y.
(d)
f ( x, y) =
1
√
.
x+ y
√
√
(e)
f ( x, y) =
x +
y.
(f )
f ( x, y) = ln(4 − x 2 − y 2) .
(g)
f ( x, y) = 1 +
x
.
x
x 2+ y 2 − 2
√
(h)
f ( x, y) =
9 − x 2 − y 2 .
(i)
f ( x, y) =
1
.
ln( |xy|)
(j)
f ( x, y) =
1
+ ln y.
x 2 − 2 x− 3
(k)
f ( x, y) =
1
.
ln( xy)
(l)
f ( x, y) = ln( x + 1) .
Zadanie 2. Obliczyć lim( x,y) →(0 , 0) f ( x, y) , gdy (a)
f ( x, y) = x + 2 y.
(b)
f ( x, y) = x 2 + y 2 .
(c)
f ( x, y) = ex+ y− 1 .
x+ y
(d)
f ( x, y) = ex 2+ y 2 − 1 .
x 2+ y 2
√
9+ x 2+ y 2 − 3
(e)
f ( x, y) =
.
x 2+ y 2
(f )
f ( x, y) = ( x 2 + y 2) ln 1
.
x 2+ y 2
Zadanie 3. Zbadać ciągłość funkcji f w punkcie (0 , 0) (a)
(
x 2 + y 2 , ( x, y) 6= (0 , 0) f ( x, y) =
0 ,
( x, y) = (0 , 0) (b)
ex 2+ y 2 − 1
,
( x, y) 6= (0 , 0) f ( x, y) =
x 2+ y 2
1 ,
( x, y) = (0 , 0) (c)
√
9+ x 2+ y 2 − 3
f ( x, y) =
,
( x, y) 6= (0 , 0) x 2+ y 2
2 ,
( x, y) = (0 , 0) 1
ex 4+ y 4 − 1
√
,
( x, y) 6= (0 , 0) f ( x, y) =
x 4+ y 4
0 ,
( x, y) = (0 , 0) (e)
(
6 x− 3 y ,
( x, y) 6= (0 , 0) f ( x, y) =
e 2 x−y − 1
3 ,
( x, y) = (0 , 0) Zadanie 4. Wyznaczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu dla podanych funkcji (a)
f ( x, y) = x 3 + 2 y 5 + 2 x + e.
(b)
f ( x, y) = xy 2 + 3 y 3 + 1 .
(c)
f ( x, y) = 1 + 1 .
y
y
(d)
f ( x, y) = ex 2+ y 3 + 2 x.
(e)
f ( x, y) = xy− 3 .
x 2+ y 2
(f )
f ( x, y) = 2 x 2 − 2 y.
(g)
f ( x, y) = 1 +
x
.
x
x 2+ y 2
√
(h)
f ( x, y) =
1 − x 2 − y 2 .
(i)
f ( x, y) = ln(2 x − 3 y 2) .
(j)
f ( x, y) = x+ y + 1 .
x−y
(k)
f ( x, y) = x .
y
(l)
f ( x, y) = 2 − e−x 2 −y 2 .
(m)
f ( x, y) = ln x .
y
2