ZESTAW 7. Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegięcia wykresu. Asymptoty.
Zadanie 1. Znajdź równania asymptot funkcji f gdy: 1
3 x − 5
x 2 − 1
x − 2
a) f ( x) =
c) f ( x) =
e) f ( x) =
g) f ( x) =
1 − x 2
7 − 4 x
x + 4
x 2 − 4
3 x + 5
x 2 + 3
x 2 − 1
3 x 2 + 7 x
b) f ( x) =
d) f ( x) =
f) f ( x) =
h) f ( x) =
7 x − 6
x − 1
x − 1
x − 3
Zadanie 2. Wyznacz przedziały monotoniczności następujących funkcji: a) f ( x) = x 3 + 5 x − 9
d) f ( x) = 2 x 3 + 3 x 2 − 36 x + 83
3 x 2 + 1
g) f ( x) = x 2 + 2
b) f ( x) = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 17
e) f ( x) = 2 x 3 + 5 x 2 − 4 x − 11
x
x 2 − 4
c) f ( x) = − 4 x 2 − 3 x + 2
f) f ( x) =
h) f ( x) =
x 2 + 4
x 2 + 4
Zadanie 3. Wyznacz ekstrema funkcji:
a) f ( x) = x 2 + 2 x − 15
f) f ( x) = x 3 + 3 x 2 − 9 x − 14
x + 1
j) f ( x) = x 2 + 4
b) f ( x) = − 2 x 2 − 10 x + 28
g) f ( x) = −x 3 + 9 x 2 − 27 x + 17
x 2 + 4
c) f ( x) = x 3 + 3 x + 4
k) f ( x) =
h) f ( x) = x 4 + 4 x 2 − 2
x 2 + 3
d) f ( x) = − 4 x 3 − 2 x + 1
1
1
2 x
e) f ( x) = 2 x 3 − 15 x 2 + 36 x − 14
i) f ( x) =
x 4 −
x 2
l) f ( x) =
4
2
x 2 + 1
Zadanie 4. Znajdź największe i najmniejsze wartości funkcji na wskazanych przedziałach: a) f ( x) = 2 x 2 + 2 x − 4, x ∈ [0 , 2]
x + 1
i) f ( x) =
,
x ∈ [3 , 5]
x − 2
b) f ( x) = − 3 x 2 + 6 x + 9, x ∈ [ − 4 , 0]
2 x + 5
c) f ( x) = x 2 − 2 x + 3, x ∈ [ − 2 , 5]
j) f ( x) =
,
x ∈ [0 , 2]
x + 1
d) f ( x) = − 3 x 2 + 6 x − 1
x ∈ [ − 3 , 2]
3 x − 1
k) f ( x) =
,
x ∈ [ − 5 , − 1]
e) f ( x) = 2 x 3 − 3 x 2 − 36 x − 8, x ∈ [ − 3 , 6]
2 x + 3
f) f ( x) = −x 3 − 3 x 2 − 9 x + 21, x ∈ [ − 4 , 2]
x 2 + 1
l) f ( x) =
,
x ∈ [ − 1 , 1]
x 2 + 4
g) f ( x) = − 4 x 3 + 6 x 2 + 24 x − 3, x ∈ [0 , 3]
2 x 2 − 3
h) f ( x) = 2 x 3 + 21 x 2 + 36 x − 4, x ∈ [ − 2 , 1]
m) f ( x) =
,
x ∈ [ − 1 , 1]
x 2 + 2
Zadanie 5. Wyznacz punkty przegięcia, przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji: x
a) f ( x) = x 4 − 4 x 3 + 8 x 2
c) f ( x) = 3 x 4 + 7 x + 1
e) f ( x) = x 4 − 12 x 3 + 48 x 2
g) f ( x) = x 2 + 2
x 4
2 x 3
3 x 2
b) f ( x) = 5 x 4 + 2 x 3 + x 2
d) f ( x) = − 2 x 4 − 4 x + 5
f) f ( x) =
−
+
12
3
2
1
Zadanie 6. Zbadaj, czy wraz ze wzrostem dochodu x, rośnie również popyt y stosując: a) dla dóbr podstawowych funkcję Törnquista pierwszego rodzaju 2 x
y =
gdzie
x ∈ [0 , ∞) ,
x + 1
b) dla dóbr wyższego rzędu funkcję Törnquista drugiego rodzaju x − 5
y =
gdzie
x ∈ [0 , ∞) ,
x + 2
c) dla dóbr luksusowych funkcję Törnquista trzeciego rodzaju x
y = x
gdzie
x ∈ [0 , ∞) .
x + 3
2