ZESTAW 7. Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegięcia wykresu. Asymptoty.

Zadanie 1. Znajdź równania asymptot funkcji f gdy: 1

3 x − 5

x 2 − 1

x − 2

a) f ( x) =

c) f ( x) =

e) f ( x) =

g) f ( x) =

1 − x 2

7 − 4 x

x + 4

x 2 − 4

3 x + 5

x 2 + 3

x 2 − 1

3 x 2 + 7 x

b) f ( x) =

d) f ( x) =

f) f ( x) =

h) f ( x) =

7 x − 6

x − 1

x − 1

x − 3

Zadanie 2. Wyznacz przedziały monotoniczności następujących funkcji: a) f ( x) = x 3 + 5 x − 9

d) f ( x) = 2 x 3 + 3 x 2 − 36 x + 83

3 x 2 + 1

g) f ( x) = x 2 + 2

b) f ( x) = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 17

e) f ( x) = 2 x 3 + 5 x 2 − 4 x − 11

x

x 2 − 4

c) f ( x) = − 4 x 2 − 3 x + 2

f) f ( x) =

h) f ( x) =

x 2 + 4

x 2 + 4

Zadanie 3. Wyznacz ekstrema funkcji:

a) f ( x) = x 2 + 2 x − 15

f) f ( x) = x 3 + 3 x 2 − 9 x − 14

x + 1

j) f ( x) = x 2 + 4

b) f ( x) = − 2 x 2 − 10 x + 28

g) f ( x) = −x 3 + 9 x 2 − 27 x + 17

x 2 + 4

c) f ( x) = x 3 + 3 x + 4

k) f ( x) =

h) f ( x) = x 4 + 4 x 2 − 2

x 2 + 3

d) f ( x) = − 4 x 3 − 2 x + 1

1

1

2 x

e) f ( x) = 2 x 3 − 15 x 2 + 36 x − 14

i) f ( x) =

x 4 −

x 2

l) f ( x) =

4

2

x 2 + 1

Zadanie 4. Znajdź największe i najmniejsze wartości funkcji na wskazanych przedziałach: a) f ( x) = 2 x 2 + 2 x − 4, x ∈ [0 , 2]

x + 1

i) f ( x) =

,

x ∈ [3 , 5]

x − 2

b) f ( x) = − 3 x 2 + 6 x + 9, x ∈ [ − 4 , 0]

2 x + 5

c) f ( x) = x 2 − 2 x + 3, x ∈ [ − 2 , 5]

j) f ( x) =

,

x ∈ [0 , 2]

x + 1

d) f ( x) = − 3 x 2 + 6 x − 1

x ∈ [ − 3 , 2]

3 x − 1

k) f ( x) =

,

x ∈ [ − 5 , − 1]

e) f ( x) = 2 x 3 − 3 x 2 − 36 x − 8, x ∈ [ − 3 , 6]

2 x + 3

f) f ( x) = −x 3 − 3 x 2 − 9 x + 21, x ∈ [ − 4 , 2]

x 2 + 1

l) f ( x) =

,

x ∈ [ − 1 , 1]

x 2 + 4

g) f ( x) = − 4 x 3 + 6 x 2 + 24 x − 3, x ∈ [0 , 3]

2 x 2 − 3

h) f ( x) = 2 x 3 + 21 x 2 + 36 x − 4, x ∈ [ − 2 , 1]

m) f ( x) =

,

x ∈ [ − 1 , 1]

x 2 + 2

Zadanie 5. Wyznacz punkty przegięcia, przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji: x

a) f ( x) = x 4 − 4 x 3 + 8 x 2

c) f ( x) = 3 x 4 + 7 x + 1

e) f ( x) = x 4 − 12 x 3 + 48 x 2

g) f ( x) = x 2 + 2

x 4

2 x 3

3 x 2

b) f ( x) = 5 x 4 + 2 x 3 + x 2

d) f ( x) = − 2 x 4 − 4 x + 5

f) f ( x) =

−

+

12

3

2

1

Zadanie 6. Zbadaj, czy wraz ze wzrostem dochodu x, rośnie również popyt y stosując: a) dla dóbr podstawowych funkcję Törnquista pierwszego rodzaju 2 x

y =

gdzie

x ∈ [0 , ∞) ,

x + 1

b) dla dóbr wyższego rzędu funkcję Törnquista drugiego rodzaju x − 5

y =

gdzie

x ∈ [0 , ∞) ,

x + 2

c) dla dóbr luksusowych funkcję Törnquista trzeciego rodzaju x

y = x

gdzie

x ∈ [0 , ∞) .

x + 3

2