ZESTAW 5. Granica i ciągłość funkcji. Przekształcanie wykresu funkcji.

Zadanie 1. Oblicz następujące granice (o ile istnieją):

a) lim

x→+∞

(3x

3

− 7x

2

− 8)

b) lim

x→−∞

(4x

5

+ 2x

3

− 3x + 1)

c) lim

x→+∞

(−2x

4

− 21x

3

+ 4x + 7)

d) lim

x→−∞

(−x

6

+ 2x − 1)

e) lim

x→−∞

(−13x

11

+ 11x

10

+ 5x

6

)

f) lim

x→−∞

p(3x

2

+ 8)

g) lim

x→+∞

x

p(7x

2

+ 11)

h) lim

x→+∞

3x

2

+ 8x − 7

x

2

+ 8

i) lim

x→+∞

9x − 19

5x

2

+ 1

j) lim

x→−∞

5x

3

− 2

4 − 6x

3

k) lim

x→−∞

−5x + 8

3x

4

− 7

l) lim

x→+∞

3x

2

+ 8

5x + 3

m) lim

x→−∞

2x

3

− 3

5x + 1

n) lim

x→−1

x + 1

x

2

− 1

o) lim

x→2

4 − x

2

2 − x

p) lim

x→5

1

x + 5

q) lim

x→−2

x + 3

x + 4

r) lim

x→5

x − 5

x

2

− 25

s) lim

x→−3

x

2

− 9

x + 3

t) lim

x→1

x

2

− 1

x − 1

u) lim

x→1

x

2

− 2x + 1

x

2

− 1

v) lim

x→1

x

2

− 3x + 2

x

2

− 1

w) lim

x→1

(x − 1)

√

2 − x

x

2

− 1

x) lim

x→∞

e

2x

2

−6x+1

y) lim

x→−∞

2

2x

8

−6x

3

−4x

2

+21

z) lim

x→∞

e

−2x

4

+3x

2

−3

aa) lim

x→∞

3

2x

2

−x+1

ab) lim

x→−∞

 1

2



3x

3

−x+7

ac) lim

x→−∞

 1

3



2x

2

+x+1

ad) lim

x→∞

 1

5



x2 +1

x−1

ae) lim

x→−∞

 2

3



x2 +3

x2 +1

af) lim

x→−∞

 3

5



x4 −1

x+2

ag) lim

x→−∞

 5

3



2x3 +3

2x+1

ah) lim

x→−∞

4

2x3 +3

1−2x2

ai) lim

x→+∞

log

3

6x

3

− 2

2x

3

+ 2x − 1

aj) lim

x→−∞

log

2

2x

3

− 6

x + 2

ak) lim

x→+∞

log

4

x

2

+ 1

5x

5

− x + 2

al) lim

x→−∞

log

1
3

x + 1

2x

3

− 5x + 1

am) lim

x→−∞

log

2
3

2x

2

+ 3

3x

5

− 2

an) lim

x→+∞

log

1
5

x

3

+ 1

5x

3

+ 4

Zadanie 2. Obliczając granice jednostronne funkcji f w punkcie x

0

zbadaj, czy istnieją granice:

a) f (x) = (x + 5)

2

, x

0

= 2

b) f (x) = (x + 5)

2

− 1, x

0

= −5

c) f (x) =

1

x − 3

, x

0

= 3

d) f (x) =

1

3 − x

, x

0

= 0

e) f (x) =

3

1 − x

, x

0

= 1

f) f (x) =

1

x + 2

, x

0

= −2

g) f (x) =

x − 1

x + 1

, x

0

= −1

h) f (x) =

4 − 2x

x − 4

, x

0

= 4

i) f (x) =

x − 2

x + 3

, x

0

= −3

j) f (x) =

1

x + 1

, x

0

= 1

k) f (x) =

2

x − 3

, x

0

= −3

l) f (x) =

1

2 − x

, x

0

= 2

m) f (x) =

2

4 − x

, x

0

= 4

n) f (x) =

x − 2

x + 3

, x

0

= 3

o) f (x) =

1 − 2x

x

, x

0

= 4

p) f (x) =

x − 2

x

2

− 4

, x

0

= 2

q) f (x) =

x + 1

x

2

− 1

, x

0

= 1

r) f (x) =

x

2

− 9

x + 3

, x

0

= −3

s) f (x) =

8 − 2x

16 − x

2

, x

0

= −4

t) f (x) = 2

x−1

, x

0

= 1

u) f (x) = 3

2−x

, x

0

= 2

v) f (x) =

 1

2



x+1

, x

0

= 1

w) f (x) =

 1

3



4−x

, x

0

= 1

Zadanie 3. Znajdź zbiór punktów ciągłości funkcji f , gdy:

1

a) f (x) =



x

2

dla

x 6= 0

0

dla

x = 0

b) f (x) =



(x + 1)

2

dla

x 6= −1

0

dla

x = −1

c) f (x) =



(x − 3)

2

dla

x 6= 3

0

dla

x = 3

d) f (x) =



x

2

− 2

dla

x 6= 0

−2

dla

x = 0

e) f (x) =



x

2

+ 4

dla

x 6= 0

4

dla

x = 0

f) f (x) =



x

2

+ 1

dla

x < 0

2

x

dla

x ­ 0

g) f (x) =



−x

2

+ 3

dla

x ­ 1

3

x

dla

x < 1

h) f (x) =



(x − 2)

2

dla

x > 2

x − 2

dla

x ¬ 2

i) f (x) =







 1

2



x

dla

x ­ 0

−x + 1

dla

x < 0

j) f (x) =







 1

3



x

dla

x ¬ −1

(x + 1)

2

+ 3

dla

x > −1

k) f (x) =







x

2

− 1

x + 1

dla

x 6= −1

−2

dla

x = −1

l) f (x) =







x

2

− 9

x − 3

dla

x 6= 3

0

dla

x = 3

m) f (x) =



3x + 7

dla

x ¬ 1

5x

2

+ 2x + 3

dla

x > 1

n) f (x) =



x

2

− 1

dla

x < 2

3x

2

− 8x + 7

dla

x ­ 2

Zadanie 4. Zbadaj ciągłość funkcji f i podaj rodzaje nieciągłości, jeżeli:

a) f (x) =



x

2

dla

x 6= 0

1

dla

x = 0

b) f (x) =



−x

2

+ 1

dla

x 6= 0

2

dla

x = 0

c) f (x) =



2

x

dla

x 6= 1

0

dla

x = 1

d) f (x) =







 1

3



x

− 2

dla

x 6= 0

2

dla

x = 0

e) f (x) =

(

1

x

dla

x 6= 0

1

dla

x = 0

f) f (x) =

(

1

x + 1

dla

x 6= −1

0

dla

x = −1

g) f (x) =

(

2

x − 2

dla

x 6= 2

0

dla

x = 2

h) f (x) =



2

x

+ 3

dla

x ¬ 0

(x − 2)

2

dla

x > 0

i) f (x) =



x − 1

dla

x < 0

3

x

dla

x ­ 0

Zadanie 5. Dane są funkcje:

A) f (x) = x

B) f (x) =

1

x

dla x 6= 0

C) f (x) = x

2

D) f (x) =

 1

3



x

E) f (x) = log

3

x dla x > 0

Naszkicuj wykresy funkcji:

a) x → f (x)

b) x → −f (x)

c) x → f (−x)

d) x → f (x) − 1

e) x → f (x + 1)

f) x → f (2 − x) + 1

g) x → |f (x)|

h) x → f (|x|)

2