Zestaw IX pochodne

- BUDOWNICTWO I -

1

Na zajeciach rozwia»emy tylko niektóre z poni»szych zada«. Zadania nierozwiazane na tablicy nale»y rozwiaza¢
samemu w domu.

Zadanie 1.

Oblicz pochodne funkcji korzystajac z denicji:

(a) f (x) = x

3

(b) f (x) = cos x

(c) f (x) =

√

x

(d) f (x) = sin 5x

(e) f (x) = ln x

(f ) f (x) =

3

x

2

Zadanie 2.

Oblicz pochodne:

(a) 5x

15

− x

7

+ 3x − 2

(b)

x

3

3

−

3x

4

2

+ 3x

7
3

+ 7

3
2

(c) 3

3

√

x − x

3

+

2
3

4

√

x

3

(d)

2

x

3

√

x

(e) 2

x

− ln x + log x

(f ) 20x

3

+ log

3

x − 7e

x

−

3

x

2

+ 5

arctg x (g) 2arcctg x + π

(h) sin x − cos x

(i) ln(2x)

(j) arcsin x + arccos x

Zadanie 3.

Oblicz pochodne:

(a) 3e

x

cos x

(b) x

4

(x

2

+ 1)

(c) sin 2x

(d) ln

e

x

x

(e) (x

2

+ 2x − x

3

) cos x

(f ) e

x

2

x

(g) cos

2

x

(h) ln

2

x

(i) e

2x

(j) e

3x

Zadanie 4.

Oblicz pochodne:

(a)

tg x

(b)

ctg x

(c)

2

x

3

x

(d)

x

x

2

+1

(e)

1−3x

2

x

3

+2x−1

(f )

4x

5

−2

√

2+

√

3

(g)

log x

log

3

x

(h)

arcctg x

x

2

+1

(i)

1+

√

x

1+2

√

x

(j)

x

sin x+cos x

(k) e

−x

(l)

ln x

x

(m)

cos x

1−sin x

Zadanie 5.

Oblicz pochodne funkcji zªo»onych:

(a) ln

3

x

(b) ln(1 + x

2

)

(c)

√

x

2

+ 3x

(d)

4

√

cos x

(e) arcsin(sin x)

(f )

arctg (tg x)

(g) e

3x

3

+2x

(h) e

ln x

(i) ln e

x

(j) sin(x

2

)

(k) sin(e

3x

2

+6x

)

(l) (

1

x

+ 4)

4

(m)

ctg

√

x

(n) ln(ln x)

(o) ln(ln(ln x))

(p) ln(

1

x

)

(q) log

x

sin x

(r) e

cos

2

x

(s) 7

17x+12 ln x

(t) ln(e

2x

+ e

x

+ e)

(u) log

3

(sin x ·

tg x) (v) sin(cos(4x

3

+ 3))

(w) 2

ln(cos x)

(x) arccos(

√

x

2

)

(y) x

arctg

x

2

(z) log

x

(ln x)

(

a)

q

x

2

−3x+2

x

2

−7x+12

(

¢) cos(cos(cos x)) (e) arctg

q

1−x
1+x

(

ª)

√

−x

(

ó) e

−2x

sin 3x

(

±) arcctg (

1

1+x

2

)

Zadanie 6.

Oblicz pochodne funkcji typu f(x)

g(x)

:

(a) x

x

(b) x

x

x

(c) x

5x

(d) (sin x)

cos x

(e) sin(x

tg x

)

(f ) (x

2

+ x)

√

x

(g) (cos x)

arctg x

(h) e

x

x

(i) x

sin x

(j) (ln x)

x

(k) x

x

2

(l) (ln x)

ln x

Zadanie 7.

Oblicz druga pochodna funkcji:

(a) 2x

5

+ 6x

4

− 7x

3

+ 12x (b) e

x

sin(3x) (c)

arctg (2x) (d) (1 − 4x

2

)

100

Zadanie 8.

Oblicz trzecia pochodna funkcji (a)

1−cos x

sin x

(b) sin(1 − 2x) (c) log(x − 1)

Zadanie 9.

Wyznacz ogólny wzór na n-ta pochodna funkcji: (a) e

x

(b) 2

x

(c) x

n

(d) sin x (e) sin x cos x

Zadanie 10.

Zadanie na odwrót :) - wypeªnij nawiasy. Ile jest mo»liwych odpowiedzi?

(a) (

???

)

0

= 2x + 1

(b) (

???

)

0

= − sin x

(c) (

???

)

0

= sin x

(d) (

???

)

0

= x

(e) (

???

)

0

= e

x

(f ) (

???

)

00

= e

x

(g) (

???

)

000

= e

x

(h) (

???

)

0

=

−2

1+x

2

(i) (

???

)

0

= −

tg x

Zestaw IX pochodne

- BUDOWNICTWO I -

2

Zadanie 11.

Zbadaj ró»niczkowalno±¢ funkcji w x

0

= 0

: (a) f(x) = |x| (b) f(x) =







x

2

+ 2x

x < 0

4x

x ≥ 0

Zadanie 11a.

Znajd¹ warto±ci parametrów a i b, dla których funkcja jest ciagªa i ró»niczkowalna:

(a) f (x) =







x

2

x ≤ 3

ax + b

x > 3

(b) f (x) =







2x

2

− ax

x < 1

√

x + bx

x ≥ 1

Zadanie 12.

Oblicz pochodna. Znajd¹ dziedzine funkcji i jej pochodnej:

(a) f (x) = log 5x

(b) f (x) = log(log x)

(c) f (x) =

√

−x sin x

Zadanie 13.

Sprawd¹, czy funkcja y = xe

−

1

x

speªnia równanie x

3

y

00

− xy

0

+ y = 0

.

Zadanie 14.

Rozwia» równanie f

0

(x) = −2

je»eli f(x) = sin

2

4x

.

Zadanie 15.

Rozwia» nierówno±¢ f

0

(x) ≥ f

00

(x)

je»eli f(x) = x

3

− 9x

.

Zadanie 16.

Oblicz granice lim

x→∞

x

2

· (

q

x+1
x−1

)

0

.

Zadanie 17.

Oblicz pochodne funkcji hiperbolicznych: sinh x, cosh x, tanh x, coth x.

Cze±¢ zada« pochodzi ze skryptu Matematyka podstawy z elementami matematyki wy»szej", Wydawnictwo
PG, 2009.

Cze±¢ zada« pochodzi z list zada« dr Jolanty Dymkowskiej.