Pochodna funkcji

Pochodna funkcji y = f(x) jest określona jako
granica stosunku przyrostu funkcji y do
odpowiadającego mu przyrostu zmiennej
niezależnej x, gdy jej przyrost



x dąży do zera:

Pochodna funkcji y = f(x) jest oznaczana
symbolami f’(x),

y’ lub .

Różniczka funkcji - to iloczyn pochodnej
pomnożonej przez różniczkę zmiennej niezależnej:

 



  

x

x

f

x

x

f

x

f

x















0

lim

'

dx

dy

 

dx

x

f

dy

'



Różniczka funkcji wielu zmiennych

Pochodna cząstkowa funkcji wielu zmiennych y =
f(x

1

,x

2

,...,x

n

) to:

Pochodne cząstkowe oblicza się zgodnie z regułami
obliczania pochodnych jednej zmiennej, traktując
pozostałe zmienne jak stałe.

Różniczka funkcji wielu zmiennych to:

n

n

dx

x

y

dx

x

y

dx

x

y

dy





















...

2

2

1

1



 



i

n

i

n

i

i

x

i

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x

x

f

x

y

i



















,...,

,...,

,

,...,

,...,

,

lim

2

1

2

1

0

Geometryczna interpretacja
pochodnej

Wartość pochodnej funkcji w danym punkcie, równa
jest tangensowi kąta pomiędzy osią X, a styczną do
krzywej y = f(x)
w punkcie o współrzędnych (x,y). Kąt ten liczy się od
dodatniej półosi X w kierunku przeciwnym do ruchu
wskazówek zegara
(w ekstremum, tj. maksimum lub minimum, y’ = 0).

Reguły różniczkowania

• Pochodna sumy (różnicy) funkcji f = f(x) i g = g(x):

• Pochodna iloczynu dwóch funkcji:

• Stałą c można wynieść przed znak pochodnej:





'

'

'

g

f

g

f











'

'

'

g

f

g

f

g

f











'

)'

(

cf

cf 

Reguły różniczkowania – cd.

• Pochodna ilorazu funkcji:

• Pochodna funkcji złożonej, tj. gdy y = f(u) i u = g(x):

2

'

'

g

g

f

g

f

g

f

'





















   

x

g

u

f

dx

dy

'

'





Przykłady pochodnych

x

y

x

y

x

y

x

y

a

a

y

a

y

x

y

x

x

y

e

y

x

e

y

nx

y

dx

dy

x

y

x

x

x

x

n

n

sin

'

;

cos

cos

'

;

sin

ln

'

;

1

'

;

)

0

(

ln

'

;

exp

'

;

1



































Funkcja pierwotna

Funkcja pierwotna F(x) danej funkcji y = f(x) - to
taka funkcja, której pochodna jest równa f(x) lub, co
jest równoważne, której różniczka równa jest f(x)dx:

 

 

 

 

 

dx

x

f

x

dF

x

f

dx

x

dF

x

F







;

'

Ponieważ pochodna stałej równa jest zeru, to dla dowolnej stałej C:

 





 

x

F

C

x

F

'

'



Jeśli więc funkcja F(x) jest funkcją pierwotną danej
funkcji f(x), to każda funkcja różniąca się od F(x) o
stałą wartość C jest także funkcją pierwotną funkcji
f(x). Funkcja f(x) ma więc nieskończenie wiele
funkcji pierwotnych różniących się o wartość
dowolnej stałej.

Całka nieoznaczona

Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji
f(x) nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x), co
zapisujemy
w postaci

:

 

 

 

 

x

f

x

F

C

x

F

dx

x

f









'

;

Całkę wyznaczamy z dokładnością do dowolnej
stałej, którą nazywamy stałą całkowania.

Reguły całkowania

• Stały czynnik c można wynieść przed
znak całki:

 

 

dx

x

f

c

dx

x

f

c









• Całka sumy (różnicy) funkcji równa jest sumie
(różnicy) całek poszczególnych składników:





dx

g

dx

f

dx

g

f

















• Całkowanie metodą podstawienia:

 

 

 

 

dx

t

g

t

g

f

dx

x

f

'









• Całkowanie przez
części:













df

g

fg

dg

f

Całka oznaczona

Całka oznaczona funkcji f(x) w przedziale od
granicy dolnej a do granicy górnej b wynosi:

 

 

 

a

F

b

F

dx

x

f

b

a







Dla wyznaczenia całki oznaczonej w granicach od a
do b należy znaleźć funkcję pierwotną F(x) dla danej
funkcji f(x), wyznaczyć wartości tej funkcji w
punktach x = a oraz x = b,
a następnie obliczyć różnicę F(b) – F(a).

Geometryczna interpretacja

całki oznaczonej

Wyrażenie f(x)dx
reprezentowane jest
przez pole
elementarnego paska
o szerokości dx i
wysokości y(x), zaś
całka oznaczona jest
równa polu figury pod
krzywą y = f(x) i
ograniczonej rzędnymi
w punktach y(a) oraz
y(b).

Przykłady całek (bez stałej
całkowania)

















































x

dx

x

x

dx

x

a

a

a

a

dx

a

e

dx

e

x

x

dx

n

n

x

dx

x

x

x

x

x

n

n

sin

cos

cos

sin

1

,

0

;

ln

ln

1

;

1

1