Druga pochodna

Jakub Perlak 26819

 

 

Definicja

    Jeżeli funkcja f` jest różniczkowalna, to pochodną funkcji f` nazywamy pochodną drugiego 

rzędu (drugą pochodną) funkcji f i oznaczamy symbolem f``.

   

Mówiąc prościej: druga pochodna jest pochodną pierwszej pochodnej.

   

   f’’(x) = (f’)’(x)

     Analogicznie określa się pochodne wyższych rzędów.

Przykład:

niech f (x) = x3

wtedy f′ (x) =3x² oraz f″ (x) = 6x.

 

 

Wykorzystanie



Wklęsłość i wypukłość funkcji.



 Punkt przegięcia wykresu funkcji. 

 

 

Wklęsłość

    Funkcję y = f(x) nazywamy wklęsłą w przedziale 

(a;b), gdy jej wykres leży pod styczną do niej w 
punkcie

                         dla każdego      Jeżeli

      i 

(funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w 
przedziale (a;b)) to krzywa y = f(x) jest wklęsła w 
przedziale (a ; b). 

 

 

Wypukłość

    Funkcję y = f(x) nazywamy wklęsłą w przedziale 

(a;b), gdy jej wykres leży pod styczną do niej w 
punkcie

                         dla każdego      Jeżeli

      i 

(funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w 
przedziale (a;b)) to krzywa y = f(x) jest wypukła w 
przedziale (a ; b). 

 

 

Punkt przegięcia



Punkt                 nazywamy punktem przegięcia 
krzywej y = f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje 
takie          , że krzywa jest wklęsła w przedziale    
            i wypukła w przedziale  



 

 

 

Punkt przegięcia c.d. 



lub odwrotnie, to znaczy, że krzywa jest wklęsła w 
przedziale             i wypukła w przedziale  



 

 

 

Warunek konieczny istnienia 

punktu przegięcia



Jeżeli punkt                  jest punktem przegięcia 

krzywej  y = f (x) oraz istnieje          to  

 

 

Warunek wystarczający istnienia 

punktu przegięcia



Jeżeli funkcja y = f(x) jest dwukrotnie 
różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu        i   
               oraz:



to w punkcie                   wykres funkcji y = f(x) 
posiada punkt przegięcia.

 

 

Przykład



Badanie wypukłości (wklęsłości) 
funkcji

Dana jest funkcja                     

Dx: R\{-1,1}

Wyznaczamy drugą pochodną funkcji i miejsca 
zerowe. 

Miejsca zerowe drugiej pochodnej funkcji f(x). 

 

 

Przykład c.d.



Określamy przedziały wklęsłości i wypukłości 
funkcji 

Funkcja f(x) jest wypukłą w przedziale

Funkcja f(x) jest wklęsła w przedziale

Wyznaczamy punkty przegięcia.