Druga pochodna

Jakub Perlak 26819

Definicja

Jeżeli funkcja f` jest różniczkowalna, to pochodną funkcji f` nazywamy pochodną drugiego

rzędu (drugą pochodną) funkcji f i oznaczamy symbolem f``.

Mówiąc prościej: druga pochodna jest pochodną pierwszej pochodnej.

f’’(x) = (f’)’(x)

Analogicznie określa się pochodne wyższych rzędów.

Przykład:

niech f (x) = x3

wtedy f′ (x) =3x² oraz f″ (x) = 6x.

Wykorzystanie



Wklęsłość i wypukłość funkcji.



Punkt przegięcia wykresu funkcji.

Wklęsłość

Funkcję y = f(x) nazywamy wklęsłą w przedziale

(a;b), gdy jej wykres leży pod styczną do niej w
punkcie

dla każdego Jeżeli

i

(funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w
przedziale (a;b)) to krzywa y = f(x) jest wklęsła w
przedziale (a ; b).

Wypukłość

Funkcję y = f(x) nazywamy wklęsłą w przedziale

(a;b), gdy jej wykres leży pod styczną do niej w
punkcie

dla każdego Jeżeli

i

(funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w
przedziale (a;b)) to krzywa y = f(x) jest wypukła w
przedziale (a ; b).

Punkt przegięcia



Punkt nazywamy punktem przegięcia
krzywej y = f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
takie , że krzywa jest wklęsła w przedziale
i wypukła w przedziale



Punkt przegięcia c.d.



lub odwrotnie, to znaczy, że krzywa jest wklęsła w
przedziale i wypukła w przedziale



Warunek konieczny istnienia

punktu przegięcia



Jeżeli punkt jest punktem przegięcia

krzywej y = f (x) oraz istnieje to

Warunek wystarczający istnienia

punktu przegięcia



Jeżeli funkcja y = f(x) jest dwukrotnie
różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu i
oraz:



to w punkcie wykres funkcji y = f(x)
posiada punkt przegięcia.

Przykład



Badanie wypukłości (wklęsłości)
funkcji

Dana jest funkcja

Dx: R\{-1,1}

Wyznaczamy drugą pochodną funkcji i miejsca
zerowe.

Miejsca zerowe drugiej pochodnej funkcji f(x).

Przykład c.d.



Określamy przedziały wklęsłości i wypukłości
funkcji

Funkcja f(x) jest wypukłą w przedziale

Funkcja f(x) jest wklęsła w przedziale

Wyznaczamy punkty przegięcia.