(2223) pochodna funkcjiid 963 ppt

background image

21-listopad-2000

mgr..Elżbieta Markowicz-Leg
utko

.

background image

Definicja:

Jeżeli funkcja f jest określona w przedziale (a;b) i x

0

(a;b)

i istnieje skończona granica

lim

f(x

0

+h) - f(x

0

)

h

h0

, to tę granicę

nazywamy pochodną funkcji f

w punkcie x

0

i oznaczamy

symbolem :

f

(x

0

)

czyli :

f

(x

0

) = lim

f(x

0

+h) - f(x

0

)

h

h0

background image

Zadanie :

Oblicz pochodną funkcji

f(x) = x

2

w punkcie

x

0

= 1 .

Rozwiązanie :

zgodnie z definicją

f

(x

0

) = lim

f(x

0

+h) - f(x

0

)

h

h

0

=

=

lim

h

0

f(1+h) - f(1)

h

=

=

lim

h

0

(1+h)

2

- 1

2

h

=

lim

h

0

2h + h

2

h

=

lim

h

0

h(2+ h)

h

=

lim

(2+h)

=

2

czyli

=

h

0

f

(1) = 2

background image

0

X

Y

A

0

.

y=f(

x)

Załóżmy że funkcja f jest określona
w przedziale (a;b) i x

0

(a;b)

x

0

Na wykresie funkcji f obierzmy stały
punkt

A

0

(

x

0

; f(x

0

)

)

f(x

0

)

background image

Obierając różne wartości h ( h0 ) , otrzymamy

różne punkty A

n

o współrzędnych

(

x

0

+h ; f (x

0

+h )

)

każdy z tych punktów należy do wykresu funkcji f .

Poprowadźmy przez A

0

i każdy z punktów

A

n

sieczne

background image

0

A

0

.

.

A

1

background image

0

.

.

A

1

A

0

background image

0

.

.

A

1

.

A

2

A

0

background image

0

.

.

A

1

.

A

2

A

0

background image

0

.

.

A

1

.

A

2

.

A

3

A

0

background image

0

.

.

A

1

.

A

2

.

A

3

A

0

background image

0

.

.

A

1

.

A

2

.

A

3

.

A

4

A

0

background image

0

.

.

A

1

.

A

2

.

A

3

.

A

4

A

0

background image

0

.

.

A

1

.

A

2

.

A

3

.

A

4

.

A

5

A

0

background image

0

.

.

A

1

.

A

2

.

A

3

.

A

4

.

A

5

A

0

background image

0

.

.

A

1

.

A

2

.

A

3

.

A

4

.

A

5

.

A

6

A

0

background image

0

.

.

A

1

.

A

2

.

A

3

.

A

4

.

A

5

.

A

6

A

0

background image

0

.

.

A

1

.

A

2

.

A

3

.

A

4

.

A

5

.

A

6

k

A

0

background image

Jeżeli h 0 to ruchomy punkt A porusza się po

wykresie funkcji f dążąc do punktu A

0

,

sieczne zaś dążą do prostej k,
zwanej styczną
do wykresu funkcji f
w punkcie
A

0

.

Współczynnik kierunkowy tej
granicznej
prostej równy jest

f

,

(x

0

)

.

Pochodna funkcji f

w punkcie

x

0

jest równa

tg

gdzie

- kąt nachylenia stycznej do wykresu

funkcji f poprowadzonej przez
punkt

(

x

0

; f (x

0

)

)

background image

Definicja:

Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym
otoczeniu punktu x

0

i jest różniczkowalna

w tym punkcie to prostą o równaniu

y - f(x

0

) = f

,

( x

0

)

*

( x-x

0

)

nazywamy styczną do wykresu funkcji f
w punkcie A

0

(

x

0

; f (x

0

)

).

background image

Zadanie:

Napisz równanie stycznej do
krzywej
będącej wykresem funkcji f(x)=
x

3

,

w punkcie A

0

(

1 , f(x

0

)

)

.

background image

Rozwiązanie:

x

0

= 1 , f(x

0

) = f(1) = 1

3

= 1

f

,

(x

0

) = f

,

(1) = lim

f(x

0

+h) - f(x

0

)

h

h0

=lim

h0

(1+h)

3

- 1

h

=

= lim

h0

1 + 3h + 3h

2

+ h

3

- 1

h

= lim

h0

3h + 3h

2

+

h

3

h

=

= lim

h0

h( 3 + 3h+h

2

)

h

h0

= lim (3 + 3h + h

2

) = 3

background image

Zatem

f

,

(1) = 3

i równanie stycznej do wykresu

funkcji określonej wzorem f (x)=x

3

w punkcie

A

0

(

1 , 1

)

ma postać :

y - 1=3( x -1 ) , czyli

y = 3x - 2

background image

Pytanie?

Czy styczna do wykresu funkcji różniczkowalnej
może mieć z tym wykresem więcej niż jeden
punkt wspólny?
Aby na nie odpowiedzieć, zbadamy w ilu punktach
przecina się wykres funkcji y=x

3

ze styczną

o równaniu y = 3x -2 (zadanie ).W tym celu
rozwiążemy układ równań.

y=x

3

y=3x-2 ,

{

{

y=x

3

x

3

-3x+2=0 ,

{

y=x

3

(x

3

-x) - (2x-2)=0 ,

background image

{

y=x

3

(x-1)(x

2

+x-2)=0 ,

{

y=x

3

(x-1)

2

(x+2)=0

{

y=x

3

x=1

{

y=x

3

x=-2 ,

{

x=1
y=1

{

x= -2
y= -8

Zatem styczna do wykresu funkcji y=x

3

w punkcie

A

0

(1,1) ma dwa punkty wspólne z wykresem tej

funkcji.

Wniosek:

Styczna do wykresu funkcji może mieć z tym
wykresem więcej niż jeden punkt wspólny.

background image

a

x

a

x

e

x

x

x

x

x

x

x

a

a

a

e

e

x

x

x

c

ln

1

1

1

)

(log

)

(log

)

(ln

ln

)

(

)

(

)

(

1

)

(

0

)

(

Podstawowe wzory na

Podstawowe wzory na

pochodne (1)

pochodne (1)

background image

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

sin

1

cos

1

)

arcctg

(

)

arctg

(

)

(arccos

)

(arcsin

)

ctg

(

)

tg

(

sin

)

cos

(

cos

)

(sin

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Podstawowe wzory na

Podstawowe wzory na

pochodne (2)

pochodne (2)


Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2 Pochodna calkaid 21156 ppt
4 pochodna funkcji jednej zmiennej
10 Pochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodne funkcji, IB i IŚ, 2011 12
Przed maturą Zestaw XI Ciągłość i pochodna funkcji
3 Pochodna funkcji (2)
5 pochodna funkcji
14 Pochodna funkcji odwrotnej i złożonej
4 Pochodna funkcji
pochodne funkcji wzory
POCHODNE FUNKCJI ELEMENTARNYCH
POCHODNA FUNKCJI, Mechanika i Budowa Maszyn PWR MiBM, Semestr I, Fizyka, fiza
Dokument pochodne funkcji
AMII, am2.7b, POCHODNA FUNKCJI ZŁOŻONEJ
matematyka, Pochodna FUNKCJI+, ILORAZ RÓŻNICOWY FUNKCJI
matematyka, Pochodna FUNKCJI+, ILORAZ RÓŻNICOWY FUNKCJI
POCHODNA FUNKCJI ZASTOSOWANIE POCHODNYCH
8. Pochodne funkcji
08 pochodna funkcji

więcej podobnych podstron