21-listopad-2000
mgr..Elżbieta Markowicz-Leg
utko
.
21-listopad-2000
mgr..Elżbieta Markowicz-Leg
utko
.
Definicja:
Jeżeli funkcja f jest określona w przedziale (a;b) i x
0
(a;b)
i istnieje skończona granica
lim
f(x
0
+h) - f(x
0
)
h
h0
, to tę granicę
nazywamy pochodną funkcji f
w punkcie x
0
i oznaczamy
symbolem :
f
’
(x
0
)
czyli :
f
’
(x
0
) = lim
f(x
0
+h) - f(x
0
)
h
h0
Zadanie :
Oblicz pochodną funkcji
f(x) = x
2
w punkcie
x
0
= 1 .
Rozwiązanie :
zgodnie z definicją
f
’
(x
0
) = lim
f(x
0
+h) - f(x
0
)
h
h
0
=
=
lim
h
0
f(1+h) - f(1)
h
=
=
lim
h
0
(1+h)
2
- 1
2
h
=
lim
h
0
2h + h
2
h
=
lim
h
0
h(2+ h)
h
=
lim
(2+h)
=
2
czyli
=
h
0
f
’
(1) = 2
0
X
Y
A
0
.
y=f(
x)
Załóżmy że funkcja f jest określona
w przedziale (a;b) i x
0
(a;b)
x
0
Na wykresie funkcji f obierzmy stały
punkt
A
0
(
x
0
; f(x
0
)
)
f(x
0
)
Obierając różne wartości h ( h0 ) , otrzymamy
różne punkty A
n
o współrzędnych
(
x
0
+h ; f (x
0
+h )
)
każdy z tych punktów należy do wykresu funkcji f .
Poprowadźmy przez A
0
i każdy z punktów
A
n
sieczne
0
A
0
.
.
A
1
0
.
.
A
1
A
0
0
.
.
A
1
.
A
2
A
0
0
.
.
A
1
.
A
2
A
0
0
.
.
A
1
.
A
2
.
A
3
A
0
0
.
.
A
1
.
A
2
.
A
3
A
0
0
.
.
A
1
.
A
2
.
A
3
.
A
4
A
0
0
.
.
A
1
.
A
2
.
A
3
.
A
4
A
0
0
.
.
A
1
.
A
2
.
A
3
.
A
4
.
A
5
A
0
0
.
.
A
1
.
A
2
.
A
3
.
A
4
.
A
5
A
0
0
.
.
A
1
.
A
2
.
A
3
.
A
4
.
A
5
.
A
6
A
0
0
.
.
A
1
.
A
2
.
A
3
.
A
4
.
A
5
.
A
6
A
0
0
.
.
A
1
.
A
2
.
A
3
.
A
4
.
A
5
.
A
6
k
A
0
Jeżeli h 0 to ruchomy punkt A porusza się po
wykresie funkcji f dążąc do punktu A
0
,
sieczne zaś dążą do prostej k,
zwanej styczną
do wykresu funkcji f w punkcie
A
0
.
Współczynnik kierunkowy tej
granicznej
prostej równy jest
f
,
(x
0
)
.
Pochodna funkcji f
w punkcie
x
0
jest równa
tg
gdzie
- kąt nachylenia stycznej do wykresu
funkcji f poprowadzonej przez
punkt
(
x
0
; f (x
0
)
)
Definicja:
Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym
otoczeniu punktu x
0
i jest różniczkowalna
w tym punkcie to prostą o równaniu
y - f(x
0
) = f
,
( x
0
)
*
( x-x
0
)
nazywamy styczną do wykresu funkcji f
w punkcie A
0
(
x
0
; f (x
0
)
).
Zadanie:
Napisz równanie stycznej do
krzywej
będącej wykresem funkcji f(x)=
x
3
,
w punkcie A
0
(
1 , f(x
0
)
)
.
Rozwiązanie:
x
0
= 1 , f(x
0
) = f(1) = 1
3
= 1
f
,
(x
0
) = f
,
(1) = lim
f(x
0
+h) - f(x
0
)
h
h0
=lim
h0
(1+h)
3
- 1
h
=
= lim
h0
1 + 3h + 3h
2
+ h
3
- 1
h
= lim
h0
3h + 3h
2
+
h
3
h
=
= lim
h0
h( 3 + 3h+h
2
)
h
h0
= lim (3 + 3h + h
2
) = 3
Zatem
f
,
(1) = 3
i równanie stycznej do wykresu
funkcji określonej wzorem f (x)=x
3
w punkcie
A
0
(
1 , 1
)
ma postać :
y - 1=3( x -1 ) , czyli
y = 3x - 2
Pytanie?
Czy styczna do wykresu funkcji różniczkowalnej
może mieć z tym wykresem więcej niż jeden
punkt wspólny?
Aby na nie odpowiedzieć, zbadamy w ilu punktach
przecina się wykres funkcji y=x
3
ze styczną
o równaniu y = 3x -2 (zadanie ).W tym celu
rozwiążemy układ równań.
y=x
3
y=3x-2 ,
{
{
y=x
3
x
3
-3x+2=0 ,
{
y=x
3
(x
3
-x) - (2x-2)=0 ,
{
y=x
3
(x-1)(x
2
+x-2)=0 ,
{
y=x
3
(x-1)
2
(x+2)=0
{
y=x
3
x=1
{
y=x
3
x=-2 ,
{
x=1
y=1
{
x= -2
y= -8
Zatem styczna do wykresu funkcji y=x
3
w punkcie
A
0
(1,1) ma dwa punkty wspólne z wykresem tej
funkcji.
Wniosek:
Styczna do wykresu funkcji może mieć z tym
wykresem więcej niż jeden punkt wspólny.
a
x
a
x
e
x
x
x
x
x
x
x
a
a
a
e
e
x
x
x
c
ln
1
1
1
)
(log
)
(log
)
(ln
ln
)
(
)
(
)
(
1
)
(
0
)
(
Podstawowe wzory na
Podstawowe wzory na
pochodne (1)
pochodne (1)
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
sin
1
cos
1
)
arcctg
(
)
arctg
(
)
(arccos
)
(arcsin
)
ctg
(
)
tg
(
sin
)
cos
(
cos
)
(sin
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Podstawowe wzory na
Podstawowe wzory na
pochodne (2)
pochodne (2)