Pochodne funkcji elementarnych

c-stała

0

α

x

1

−

⋅ α

α x

x > ,

0 α ≠ ,

0 α ∈ ℜ

sin x

cos x

cos x

− sin x

tgx

1

−

2

cos x

ctgx

1

−

2

sin x

arcsin x

1

1

2

− x

x < 1

arccos x

1

−

1

2

− x

x < 1

arctgx

1

2

1 + x

arcctgx

1

−

2

1 + x

log x

1

a

a > ,

0 a ≠ 0

x ln a

ln x

1

x

x

a

a x ln a

x

e

x

e

sinh x

cosh x

cosh x

sinh x

tghx

1

cosh x

ctghx

1

−

sinh x

Pochodna funkcji danej w postaci parametrycznej.

Dane są funkcje x = ϕ( t) , y = ψ ( t) określone i ciągłe względem parametru t ∈ α , β

podając związek zmiennej niezależnej x za zmienną zależną y .

Zakładamy, że

a) ϕ jest ściśle monotoniczna b) Istnieje skończona pochodna '

ϕ ( t ) ≠ 0 !!!!!!!!

0

Zatem istnieje funkcja odwrotna ϕ

: t = ϕ ( x) funkcja ta jest ciągła i ściśle 1

−

1

−

monotoniczna

Funkcja złożona y = ψ (ϕ

x = F x jest ciągła.

1

− ( ))

( )

'

1

Ponieważ ϕ ( x ) =

gdzie x = ϕ( t ) więc na podstawie twierdzenia o pochodnej 1

−

0

'

ϕ ( t )

0

0

0

funkcji złożonej otrzymujemy dψ

dψ

( t )

0

dy

dψ

dϕ

dy

'

F ( x) =

( x ) =

( t )

1

⋅

−

( x )

dt

=

czyli

dt

=

0

0

0

dx

dt

dx

dϕ

dx

dϕ

( t )

0

dt

dt