Pochodne funkcji

Pochodna funkcji w punkcie.

Ró˙zniczka funkcji i obliczenia przybli˙zone.

Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Małgorzata Wyrwas

Katedra Matematyki

Wydział Informatyki

Politechnika Białostocka

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 1/60

Iloraz ró˙znicowy

Niech x

∈

oraz niech funkcja f b˛edzie okre´slona przynajmniej

na przedziale (x

− r, x

+ r)

, gdzie r > 0.

Ilorazem ró˙znicowym funkcji f w punkcie x

odpowiadaj ˛acym

przyrostowi h = ∆x, gdzie 0 < |h| < r, nazywamy liczb˛e

+ h)

− f(x

)

+ ∆x)

− f(x

)

∆x

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 2/60

Interpretacja geometryczna ilorazu ró˙znicowego

Iloraz ró˙znicowy jest równy tangensowi k ˛ata nachylenia siecznej

przechodz ˛acej przez punkty (x

, f

))

oraz (x

+ h, f (x

+ h))

do dodatniej półosi Ox.

∆f = f (x

+ h) − f (x

)

∆x = h

)

+ h

+ h)

tg α =

∆f

∆x

= f (x)

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 3/60

Pochodna funkcji w punkcie

Niech x

∈

oraz niech funkcja f b˛edzie okre´slona przynajmniej

na przedziale (x

− r, x

+ r)

, gdzie r > 0.

Je˙zeli istnieje sko´nczona granica

lim

h→0

+ h)

− f(x

)

to nazywamy j ˛a

pochodn ˛a funkcji f w punkcie x

i oznaczamy

)

Mówimy wtedy, ˙ze funkcja f jest

ró˙zniczkowalna w punkcie x

Je˙zeli granica ilorazu ró˙znicowego w punkcie x

nie istnieje lub jest

niesko´nczona, to mówimy, ˙ze funkcja f nie jest ró˙zniczkowalna w
punkcie x

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 4/60

Pochodna funkcji w punkcie

)

def

= lim

h→0

+ h)

− f(x

)

def

= lim

x→x

(x)

− f(x

)

− x

Przykład:

Niech f(x) = x

. Wtedy

)

def

= lim

h→0

+h)

−x

2
0

= lim

h→0

= 2x

lub

)

def

= lim

x→x

−x

2
0

x−x

= lim

x→x

(x−x

)·(x+x

)

x−x

= 2x

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 5/60

Pochodne wa˙zniejszych funkcji elementarnych

(c)

= 0

, gdzie c ∈

)

= px

p−1

, dla p ∈

, zakres zmienno´sci x zale˙zy od p.

−

, x ∈

\ {0}.

√

, x ∈

(sin x)

= cos x

, x ∈

(cos x)

− sin x , x ∈

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 6/60

Pochodne wa˙zniejszych funkcji elementarnych

(tg x)

cos

, x 6=

+ kπ, k

∈

(ctg x)

−

sin

, x 6= kπ, k ∈

)

= a

ln a

, a > 0, x ∈

)

= e

, x ∈

(log

)

ln a

, x > 0 i 0 < a 6= 1.

(ln x)

, x > 0.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 7/60

Prosta styczna do wykresu funkcji

Niech x

∈

oraz niech funkcja ci ˛agła f b˛edzie okre´slona

przynajmniej na przedziale (x

− r, x

+ r)

, gdzie r > 0.

Prosta jest

styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x

, f

))

je˙zeli jest granicznym poło˙zeniem siecznych wykresu funkcji

przechodz ˛acych przez punkty (x

, f

))

i (x, f(x)), gdy x → x

)

(x)

←−

= f (x)

sieczne

styczna

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 8/60

Interpretacja geometryczna pochodnej

Pochodna funkcji w punkcie x

jest równa tangensowi k ˛ata

nachylenia stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x

, f

))

do dodatniej półosi Ox.

)

= f (x)

tg α = f

)

styczna

Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x

, f

))

= f

)(x

− x

) + f (x

) .

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 9/60

Przykład

Niech f(x) = e

. Wówczas równanie stycznej do wykresu funkcji

w x

= 0

ma posta´c: y = x + 1 .

(0, 1)

= e

= x + 1

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 10/60

Przykład

Niech f(x) = sin x. Wówczas równanie stycznej do wykresu
funkcji f w x

= π

ma posta´c: y = π − x .

-1

2π

3π

4π

−π

= sin x

= π

− x

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 11/60

K ˛at przeci˛ecia wykresów funkcji

Niech wykresy funkcji f i g maj ˛a punkt wspólny (x

, y

)

, przy

czym obie funkcje s ˛a ró˙zniczkowalne w punkcie x

K ˛atem przeci˛ecia wykresów funkcji f i g nazywamy k ˛at ostry ϕ

miedzy stycznymi do wykresów tych funkcji w punkcie ich

przeci˛ecia

)

= f (x)

= g(x)

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 12/60

K ˛at przeci˛ecia wykresów funkcji

Niech wykresy funkcji f i g maj ˛a punkt wspólny (x

, y

)

, przy

czym obie funkcje s ˛a ró˙zniczkowalne w punkcie x

Miara

k ˛ata przeci˛ecia wykresów funkcji f i g wyra˙za si˛e

wzorem

= arc tg

)

− g

)

1 + f

)

· g

)

Je˙zeli f

)

· g

) =

−1, to przyjmujemy ϕ =

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 13/60

Zwi ˛azek ró˙zniczkowalno´sci z ci ˛agło´sci ˛a funkcji

Twierdzenie:

Je˙zeli funkcja f jest ró˙zniczkowalna w punkcie x

to jest w tym punkcie ci ˛agła.

Uwaga:

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Na przykład funkcja f(x) = |x| jest ci ˛agła w punkcie x

= 0

, ale

(0)

nie istnieje.

-2

-4

|x|

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 14/60

Pochodna funkcji na przedziale

Funkcja ma pochodn ˛a na przedziale I otwartym wtedy i tylko
wtedy, gdy ma pochodn ˛a w ka˙zdym punkcie tego przedziału.

Funkcj˛e okre´slon ˛a na przedziale I, której warto´sci w punktach x
tego przedziału sa równe f

(x)

nazywamy

pochodn ˛a funkcji f na przedziale I i oznaczamy symbolem f

: x

7→ f

(x) ,

∈ I.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 15/60

Działania arytmetyczne na pochodnych funkcji

Je˙zeli funkcje f i g sa ró˙zniczkowalne w punkcie x

, to:

(f + g)

) = f

) + g

)

− g)

) = f

)

− g

)

· g)

) = f

)

· g(x

) + f (x

)

· g

)

) =

)

· g(x

)

− f(x

)

· g

)

o ile g(x

)

6= 0.

Je˙zeli funkcja f jest ró˙zniczkowalna w punkcie x

, za´s c ∈

, to

(cf )

) = cf

)

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 16/60

Przykład

(x) = x

+ 3x

−

√

⇒ f

(x) = 4x

+ 6x +

√

(x) = sin x

· ctg x , x 6= kπ, k ∈ Z, ⇒

(x) = cos x ctg x + sin x

−

sin

= cos x ctg x

−

sin x

(x) =

− 1

+ 1

, x

∈ R, ⇒

(x) =

· (x

+ 1)

− (x

− 1) · 2x

+ 1)

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 17/60

Twierdzenie o pochodnej funkcji zło˙zonej

Je˙zeli funkcja f jest ró˙zniczkowalna w punkcie x

oraz funkcja g

jest ró˙zniczkowalna w punkcie f(x

)

, to funkcja g ◦ f jest

ró˙zniczkowalna w punkcie x

oraz

◦ f)

) = g

(f (x

))

· f

) .

Przykład:

(x) = sin

⇒ f

(x) = 3 sin

· cos x

(x) = (3x

+ x + 2)

, ⇒ g

(x) = 5(3x

+ x + 2)

· (6x + 1)

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 18/60

Posta´c logarytmiczno–wykładnicza funkcji

Ka˙zd ˛a funkcj˛e zło˙zon ˛a postaci [f(x)]

(x)

mo˙zna przedstawi´c w

postaci logarytmiczno–wykładniczej:

[f (x)]

(x)

= e

(x)·ln f(x)

Posta´c logarytmiczno–wykładnicz ˛a stosujemy do obliczania
pochodnych funkcji danych w postaci [f(x)]

(x)

Przykład:

(x) = x

= e

ln x

⇒

(x) = e

ln x

· (ln x + x ·

) = x

· (ln x + 1)

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 19/60

Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej

Niech x

∈ D

. Niech f b˛edzie funkcj ˛a ci ˛agł ˛a i ró˙znowarto´sciow ˛a

w otoczeniu punktu x

oraz tak ˛a, ˙ze f

)

6= 0. Wówczas

−1

) =

)

gdzie y

= f (x

)

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 20/60

Pochodne funkcji cyklometrycznych

(arc sin x)

√

− x

, x ∈ (−1, 1).

(arc cos x)

−

√

− x

, x ∈ (−1, 1).

(arc tg x)

1 + x

, x ∈

(arc ctg x)

−

1 + x

, x ∈

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 21/60

Ró˙zniczka funkcji

Niech funkcja f b˛edzie okre´slona na otoczeniu punktu x

Ponadto niech funkcja f ma pochodn ˛a wła´sciw ˛a (jest
ró˙zniczkowalna) w punkcie x

Ró˙zniczk ˛a funkcji f w punkcie x

nazywamy funkcj˛e zmiennych

∆x

okre´slon ˛a wzorem:

df (x

)(∆x)

def

= f

)

· ∆x .

Ró˙zniczk˛e funkcji f oznacza si˛e tak˙ze przez df(x

)

lub krótko df.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 22/60

Ró˙zniczka i obliczenia przybli˙zone

Niech funkcja f b˛edzie ró˙zniczkowalna w punkcie x

. Wtedy

+ ∆x)

≈ f(x

) + f

)

· ∆x ,

przy czym bł ˛ad jaki popełniamy zast˛epuj ˛ac przyrost funkcji ∆f

jej ró˙zniczk ˛a df = f

(x)∆x

d ˛a˙zy szybciej do zera ni˙z ∆x, tzn.

lim

∆x→0

∆f

− df

∆x

= 0 .

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 23/60

Ró˙zniczka i obliczenia przybli˙zone

)

= f (x)

∆f

∆x

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 24/60

Przykład

Wykorzystuj ˛ac ró˙zniczk˛e obliczymy warto´s´c przybli˙zon ˛a

wyra˙zenia

√

15,96

Definiujemy funkcj˛e f(x) = √x .

Przyjmujemy x

= 16

⇒ ∆x=−0,04.

Poniewa˙z

= f

(x) =

√

,wi˛ec

√

15,96

≈

√

16 +

√

· (−0,04) = 3,995 .

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 25/60

Zastosowanie ró˙zniczki funkcji do szacowania bł˛edów pomiarów

Niech wielko´sci fizyczne x i y b˛ed ˛a zwi ˛azane zale˙zno´sci ˛a

= f (x)

. Ponadto niech ∆

oznacza bł ˛ad bezwzgl˛edny pomiaru

wielko´sci x. Wtedy bł ˛ad bezwzgl˛edny ∆

oblicze´n wielko´sci y

wyra˙za si˛e wzorem przybli˙zonym

∆

≈ |f

)

| ∆

gdzie x

jest wynikiem pomiaru wielko´sci x, przy czym f

)

jest wła´sciwa.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 26/60

Przykład

Czas w biegu na 100 m mierzy si˛e z dokładno´sci ˛a ∆

= 0,01

Zawodnik uzyskał 10 s. Z jak ˛a w przybli˙zeniu dokładno´sci ˛a
mo˙zna obliczy´c pr˛edko´s´c V tego zawodnika?

Poniewa˙z V =

100

, wi˛ec V

(t) =

−

100

, wi˛ec

∆

≈ |V

(10)

| · ∆

−

100

· 0,01 = 0,01

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 27/60

Twierdzenia o warto´sci ´sredniej

Twierdzenie Rolle’a:

Je˙zeli funkcja f spełnia warunki:

jest ci ˛agła na ha, bi,
ma pochodn ˛a na (a, b),

(a) = f (b)

to istnieje punkt c ∈ (a, b), taki ˙ze f

Twierdzenie Lagrange’a:

Je˙zeli funkcja f spełnia warunki:

jest ci ˛agła na ha, bi,
ma pochodn ˛a na (a, b),

to istnieje punkt c ∈ (a, b), taki ˙ze f

(b)

− f(a)

− a

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 28/60

Zwi ˛azek ró˙zniczkowalno´sci z monotoniczno´sci ˛a funkcji

Twierdzenie:

Niech I oznacza dowolny przedział. Je˙zeli dla

ka˙zdego x ∈ I funkcja f spełnia warunek:

(x) = 0

, to funkcja f jest stała na I;

(x) > 0

, to funkcja f jest rosn ˛aca na I;

(x)

, to funkcja f jest niemalej ˛aca na I;

(x) < 0

, to funkcja f jest malej ˛aca na I;

(x)

, to funkcja f jest nierosn ˛aca na I.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 29/60

Pochodne wy˙zszych rz˛edów

Pochodne n-tego rz˛edu funkcji f w punkcie x

definiujemy

indukcyjnie

(n)

) =

(n−1)

) ,

dla n

Przyjmujemy, ˙ze f

(0)

) = f (x

)

i f

(1)

) = f

)

Piszemy:
f

(2)

= f

, f

(3)

= f

000

, f

(4)

= f

lub
f

(1)

= ˙

, f

(2)

= ¨

lub
f

(n)

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 30/60

Definicja minimum funkcji

Funkcja f ma w punkcie x

∈ D

minimum lokalne, je˙zeli

∃

δ>

∀

x∈S(x

,δ

)

(x)

) .

Funkcja f ma w punkcie x

∈ D

minimum lokalne wła´sciwe,

je˙zeli

∃

δ>

∀

x∈S(x

,δ

)

(x) > f (x

) .

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 31/60

Definicja maksimum funkcji

Funkcja f ma w punkcie x

∈ D

maksimum lokalne, je˙zeli

∃

δ>

∀

x∈S(x

,δ

)

(x)

) .

Funkcja f ma w punkcie x

∈ D

maksimum lokalne wła´sciwe,

je˙zeli

∃

δ>

∀

x∈S(x

,δ

)

(x) < f (x

) .

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 32/60

Ekstrema funkcji

Minima i maksima lokalne nazywamy

EKSTREMAMI LOKALNYMI.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 33/60

Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji ró˙zniczkowalnej

Twierdzenie (Fermata):

Je˙zeli funkcja f jest ró˙zniczkowalna w

punkcie x

oraz posiada ekstremum lokalne w tym punkcie, to

) = 0 .

Uwaga:

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Na przykład dla funkcji f(x) = x

mamy f

(0) = 0

, a f nie ma

ekstremum w punkcie x

= 0

= x

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 34/60

Warunek dostateczny istnienia maksimum funkcji ró˙zniczkowalnej

Twierdzenie:

Niech x

∈

i f b˛edzie funkcj ˛a okre´slon ˛a

przynajmniej w otoczeniu punktu x

, ci ˛agła w punkcie x

ró˙zniczkowalna przynajmniej w s ˛asiedztwie punktu x

. Je˙zeli

istnieje δ > 0 takie, ˙ze

∀

x∈(x

−δ,x

)

(x) > 0

oraz ∀

x∈(x

+δ)

(x) < 0

to w punkcie x

funkcja f ma maksimum lokalne wła´sciwe.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 35/60

Warunek dostateczny istnienia minimum funkcji ró˙zniczkowalnej

Twierdzenie:

Niech x

∈

i f b˛edzie funkcj ˛a okre´slon ˛a

przynajmniej w otoczeniu punktu x

, ci ˛agł ˛a w punkcie x

ró˙zniczkowaln ˛a przynajmniej w s ˛asiedztwie punktu x

. Je˙zeli

istnieje δ > 0 takie, ˙ze

∀

x∈(x

−δ,x

)

(x) < 0

oraz ∀

x∈(x

+δ)

(x) > 0

to w punkcie x

funkcja f ma minimum lokalne wła´sciwe.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 36/60

II warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji ró˙zniczkowalnej

Twierdzenie:

Niech x

∈

i f b˛edzie funkcj ˛a okre´slon ˛a

przynajmniej w otoczeniu punktu x

. Je˙zeli

① f

) = f

) = . . . = f

(n−1)

) = 0

② f

(n)

)

6= 0 ,

to, gdy n > 2 jest parzyste , funkcja f osi ˛aga w punkcie x

ekstremum lokalne wła´sciwe, przy czym jest to minimum, gdy
f

(n)

) > 0

, za´s maksimum gdy f

(n)

) < 0

. Gdy n jest

nieparzyste, ekstremum nie wyst˛epuje.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 37/60

Minimum globalne

Liczba m jest

najmniejsz ˛a warto´sci ˛a funkcji f

na zbiorze A ⊆ D

, je˙zeli istnieje punkt x

∈ A, taki ˙ze

) = m

i dla ka˙zdego x ∈ A

(x)

) = m .

Liczb˛e m nazywamy

minimum globalnym funkcji f na zbiorze A.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 38/60

Maksimum globalne

Liczba M jest

najwi˛eksz ˛a warto´sci ˛a funkcji f

na zbiorze A ⊆ D

, je˙zeli istnieje punkt x

∈ A, taki ˙ze

) = M

i dla ka˙zdego x ∈ A

(x)

) = M .

Liczb˛e M nazywamy

maksimum globalnym funkcji f na zbiorze A.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 39/60

Ekstrema globalne

Minimum i maksimum globalne nazywamy

EKSTREMAMI GLOBALNYMI.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 40/60

Ekstrema globalne

Niech A = ha, bi ⊆

i f : A →

. Niech f ma pochodn ˛a

wła´sciw ˛a lub niewła´sciw ˛a poza sko´nczon ˛a liczb ˛a punktów

przedziału A. Ponadto niech f ma sko´nczon ˛a liczb˛e punktów
krytycznych, tzn. punktów x

, w których f

) = 0

lub f

)

nie istnieje.

Je˙zeli f jest funkcj ˛a ci ˛agł ˛a na domkni˛etym i ograniczonym
zbiorze A, to funkcja f osi ˛aga na A warto´s´c najmniejsz ˛a i
najwi˛eksz ˛a.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 41/60

Algorytm znajdowania ekstremów globalnych funkcji

Niech A = ha, bi ⊆

i f : A →

. Niech f ma pochodn ˛a

wła´sciw ˛a lub niewła´sciw ˛a poza sko´nczon ˛a liczb ˛a punktów

przedziału A. Ponadto niech f ma sko´nczon ˛a liczb˛e punktów

krytycznych, tzn. punktów x

, w których f

) = 0

lub f

)

nie istnieje.

Ekstremów globalnych funkcji f na przedziale A szukamy

post˛epuj ˛ac według algorytmu:

Znajdujemy wszystkie punkty krytyczne wewn ˛atrz przedziału
A i obliczmy warto´sci funkcji w tych punktach.
Obliczmy f(a) i f(b).
Porównujemy otrzymane warto´sci funkcji znajduj ˛ac warto´s´c

najmniejsz ˛a i najwi˛eksz ˛a.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 42/60

Przykład

Niech f : A ⊂

→

(x, y) =

|x − 1|,

gdzie A = h0, 3i.

= 1

jest punktem krytycznym funkcji f, gdy˙z f

(1)

nie

istnieje. Wtedy f(1) = 0

(1) = 0

(0) = 1

i f(3) = 2

(3) = 2

Wówczas m = f

najmniejsze

= 0

i M = f

największe

= 2

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 43/60

Zastosowanie pochodnych do obliczanie granic funkcji

Twierdzenie (Reguła de l’Hospitala):

Niech funkcje f i g spełniaj ˛a warunki:
¬

funkcje f,g i f

, g

b˛ed ˛a okre´slone w s ˛asiedztwie punktu x

¬ lim

x→x

(x) = lim

x→x

(x) = 0

albo lim

x→x

(x) = lim

x→x

(x) =

∞

istnieje granica lim

x→x

(x)

= a

Wówczas istnieje granica lim

x→x

(x)

oraz

lim

x→x

(x)

= a .

Powy˙zsze twierdzenie jest prawdziwe równie˙z dla granic jednostronnych, niewła´sciwych oraz dla granic w

+∞

lub w −∞.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 44/60

Funkcja wypukła

Funkcje f nazywamy

wypukł ˛a na przedziale (a, b) ⊆

wtedy i

tylko wtedy, gdy

∀

a<x

∀

0<t<1

(tx

+ (1

− t)x

) < tf (x

) + (1

− t)f(x

) .

Uwaga:

Geometrycznie funkcja jest wypukła, je˙zeli ka˙zdy

odcinek siecznej wykresu le˙zy powy˙zej fragmentu wykresu
poło˙zonego miedzy punktami, przez które przechodzi sieczna.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 45/60

Funkcja wkl˛esła

Funkcje f nazywamy

wkl˛esł ˛a na przedziale (a, b) ⊆

wtedy i

tylko wtedy, gdy

∀

a<x

∀

0<t<1

(tx

+ (1

− t)x

) > tf (x

) + (1

− t)f(x

) .

Uwaga:

Geometrycznie funkcja jest wkl˛esła, je˙zeli ka˙zdy

odcinek siecznej wykresu le˙zy poni˙zej fragmentu wykresu
poło˙zonego miedzy punktami, przez które przechodzi sieczna.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 46/60

Warunki wystarczaj ˛ace wypukło´sci i wkl˛esło´sci

Twierdzenie:

Je˙zeli f

(x) > 0

dla ka˙zdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest

wypukła na (a, b).

Twierdzenie:

Je˙zeli f

(x) < 0

dla ka˙zdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest wkl˛esła

na (a, b).

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 47/60

Punkt przegi˛ecia wykresu funkcji

Niech funkcja f b˛edzie okre´slona i ró˙zniczkowalna przynajmniej
w otoczeniu punktu x

. Punkt (x

, f

))

nazywamy

punktem przegi˛ecia wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieje liczba δ > 0, taka ˙ze funkcja f jest wypukła na
(x

− δ, x

)

oraz wkl˛esła na (x

, x

+ δ)

lub odwrotnie.

Warunek konieczny istnienia punktu przegi˛ecia:

Twierdzenie:

Je˙zeli funkcja f posiada pochodn ˛a drugiego rz˛edu

w punkcie x

oraz posiada w punkcie (x

, f

))

punkt

przegi˛ecia, to f

) = 0

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 48/60

Warunek dostateczny istnienia punktu przegi˛ecia

Twierdzenie:

Niech x

∈

i f b˛edzie funkcj ˛a okre´slon ˛a przynajmniej w

otoczeniu punktu x

, ci ˛agł ˛a i ró˙zniczkowaln ˛a w punkcie x

. Je˙zeli

istnieje δ > 0 takie, ˙ze

∀

x∈(x

−δ,x

)

(x) < 0

oraz ∀

x∈(x

+δ)

(x) > 0

lub

∀

x∈(x

−δ,x

)

(x) > 0

oraz ∀

x∈(x

+δ)

(x) < 0

to w punkcie (x

, f

))

funkcja f ma punkt przegi˛ecia.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 49/60

II warunek dostateczny istnienia punktu przegi˛ecia

Twierdzenie:

Niech x

∈

i f b˛edzie funkcj ˛a okre´slon ˛a przynajmniej w

otoczeniu punktu x

Je˙zeli

① f

) = f

) = . . . = f

(n−1)

) = 0

② f

(n)

)

6= 0 ,

to, gdy n > 3 jest nieparzyste , funkcja f ma w punkcie

, f

))

punkt przegi˛ecia..

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 50/60

Pochodne a wykres funkcji

–

min. lok

max. lok

Uwaga:

Je˙zeli f

) = 0

i f

000

)

6= 0, to x

jest punktem

przegi˛ecia wykresu funkcji f.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 51/60

Badanie funkcji

Przez badanie przebiegu zmienno´sci funkcji i sporz ˛adzanie jej wykresu rozumiemy wykonanie
nast˛epuj ˛acych czynno´sci:

1. Wyznaczenie dziedziny funkcji.
2. Wskazanie podstawowych własno´sci:

(a) parzysto´s´c lub nieparzysto´s´c

(b) okresowo´s´c

wykresu funkcji z osi ˛a OY

(d) ci ˛agło´s´c

3. Zbadanie zachowania si˛e funkcji na "ko´ncach" dziedziny - wyznaczenie asymptot wykresu funkcji.
4. Zbadanie pierwszej pochodnej - monotoniczno´s´c i ekstrema funkcji.
5. Zbadanie drugiej pochodnej - przedziały wkl˛esło´sci i wypukło´sci oraz punkty przegi˛ecia wykresu

funkcji.

6. Sporz ˛adzenie wykresu funkcji.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 52/60

Przykład

Zbada´c przebieg zmienno´sci i naszkicowa´c wykres funkcji f danej

wzorem:

(x) =

+ 4

1. D

\ {0} = (−∞, 0) ∪ (0, +∞).

2. Podstawowe własno´sci funkcji f:

(a) funkcja f nie jest ani parzysta ani nieparzysta.

(b) f nie jest funkcj ˛a okresow ˛a.

+ 4 = 0

⇔ x = −

√

, zatem

(

−

√

4, 0)

jest punktem przeci˛ecia wykresu funkcji z osi ˛a

; brak punktów przeci˛ecia wykresu funkcji z osi ˛a OY .

(d) f jest ci ˛agła w swojej dziedzinie.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 53/60

Przykład c.d.

(x) =

3. Poniewa˙z

lim

x→0

+ 4

= +

∞,

wi˛ec prosta x = 0 jest asymptot ˛a pionow ˛a obustronn ˛a

wykresu funkcji f.

Poniewa˙z

lim

x→±∞

+ 4

±∞,

wi˛ec wykres funkcji f nie ma asymptot poziomych.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 54/60

Przykład c.d.

(x) =

Zbadajmy istnienie asymptot uko´snych y = ax + b:

= lim

x→±∞

(x)

= lim

x→±∞

+ 4

= lim

x→±∞

1 +

= 1,

= lim

x→±∞

[f (x)

− ax] = lim

x→±∞

+ 4

− x

= lim

x→±∞

+ 4

− x

= lim

x→±∞

∞

= 0.

Istnieje wi˛ec jedna asymptota uko´sna o równaniu

= x .

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 55/60

Przykład c.d.

(x) =

4. Monotoniczno´s´c i ekstrema:

(x) = 1

−

− 8

6= 0.

(x) = 0

⇔ x = 2.

−

min. lok

Ponadto f

min

(2) = 3

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 56/60

Przykład c.d.

(x) =

5. Wkl˛esło´s´c i wypukło´s´c:

(x) =

6= 0.

Zauwa˙zmy, ˙ze dla ka˙zdego x 6= 0 mamy f

(x) > 0.

Zatem wykres nie posiada punktów przegi˛ecia – jest to wykres

wypukły.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 57/60

Przykład c.d.

(x) =

−∞, −

√

−

√

−

√

4, 0

(0, 2)

(2, +

∞)

–

= x

+∞

= x

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 58/60

Przykład c.d.

(x) =

-3

-2

-4

−

√

+ 4

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 59/60

Dzi˛ekuj˛e za uwag˛e

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 60/60

Document Outline

Iloraz ró¿nicowy
small Interpretacja geometryczna ilorazu ró¿nicowego
Pochodna funkcji w punkcie
Pochodna funkcji w punkcie
small Pochodne wa¿niejszych funkcji elementarnych
small Pochodne wa¿niejszych funkcji elementarnych
Prosta styczna do wykresu funkcji
Interpretacja geometryczna pochodnej
Przyk³ad
Przyk³ad
K¹t przeciêcia wykresów funkcji
K¹t przeciêcia wykresów funkcji
small Zwi¹zek ró¿niczkowalnoœci z ci¹g³oœci¹ funkcji
Pochodna funkcji na przedziale
small Dzia³ania arytmetyczne na pochodnych funkcji
Przyk³ad
Twierdzenie o pochodnej funkcji z³o¿onej
Postaæ logarytmicznoŒwyk³adnicza funkcji
Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej
Pochodne funkcji cyklometrycznych
Ró¿niczka funkcji
Ró¿niczka i obliczenia przybli¿one
Ró¿niczka i obliczenia przybli¿one
Przyk³ad
small Zastosowanie ró¿niczki funkcji do szacowania b³êdów pomiarów
Przyk³ad
Twierdzenia o wartoœci œredniej
small Zwi¹zek ró¿niczkowalnoœci z monotonicznoœci¹ funkcji
Pochodne wy¿szych rzêdów
Definicja minimum funkcji
Definicja maksimum funkcji
Ekstrema funkcji
small Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji ró¿niczkowalnej
small Warunek dostateczny istnienia maksimum funkcji ró¿niczkowalnej
small Warunek dostateczny istnienia minimum funkcji ró¿niczkowalnej
small II warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji ró¿niczkowalnej
Minimum globalne
Maksimum globalne
Ekstrema globalne
Ekstrema globalne
small Algorytm znajdowania ekstremów globalnych funkcji
Przyk³ad
small Zastosowanie pochodnych do obliczanie granic funkcji
Funkcja wypuk³a
Funkcja wklês³a
small Warunki wystarczaj¹ce wypuk³oœci i wklês³oœci
Punkt przegiêcia wykresu funkcji
small Warunek dostateczny istnienia punktu przegiêcia
small II warunek dostateczny istnienia punktu przegiêcia
Pochodne a wykres funkcji
Badanie funkcji
Przyk³ad
Przyk³ad c.d. quad $psframebox [framearc=.3,linecolor=ramka,linearc=0.4,shadow=true,shadowsize=0.06,fillstyle=solid,fillcolor=ramka]{f(x)={x^3+4 over x^2}}$
Przyk³ad c.d. quad $psframebox [framearc=.3,linecolor=ramka,linearc=0.4,shadow=true,shadowsize=0.06,fillstyle=solid,fillcolor=ramka]{f(x)={x^3+4 over x^2}}$
Przyk³ad c.d. quad $psframebox [framearc=.3,linecolor=ramka,linearc=0.4,shadow=true,shadowsize=0.06,fillstyle=solid,fillcolor=ramka]{f(x)={x^3+4 over x^2}}$
Przyk³ad c.d. quad $psframebox [framearc=.3,linecolor=ramka,linearc=0.4,shadow=true,shadowsize=0.06,fillstyle=solid,fillcolor=ramka]{f(x)={x^3+4 over x^2}}$
Przyk³ad c.d. quad $psframebox [framearc=.3,linecolor=ramka,linearc=0.4,shadow=true,shadowsize=0.06,fillstyle=solid,fillcolor=ramka]{f(x)={x^3+4 over x^2}}$
Przyk³ad c.d. quad $psframebox [framearc=.3,linecolor=ramka,linearc=0.4,shadow=true,shadowsize=0.06,fillstyle=solid,fillcolor=ramka]{f(x)={x^3+4 over x^2}}$

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
4 pochodna funkcji jednej zmiennej
10 Pochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodne funkcji, IB i IŚ, 2011 12
Przed maturą Zestaw XI Ciągłość i pochodna funkcji
3 Pochodna funkcji (2)
5 pochodna funkcji
14 Pochodna funkcji odwrotnej i złożonej
4 Pochodna funkcji
pochodne funkcji wzory
POCHODNE FUNKCJI ELEMENTARNYCH
POCHODNA FUNKCJI, Mechanika i Budowa Maszyn PWR MiBM, Semestr I, Fizyka, fiza
Dokument pochodne funkcji
AMII, am2.7b, POCHODNA FUNKCJI ZŁOŻONEJ
matematyka, Pochodna FUNKCJI+, ILORAZ RÓŻNICOWY FUNKCJI
matematyka, Pochodna FUNKCJI+, ILORAZ RÓŻNICOWY FUNKCJI
POCHODNA FUNKCJI ZASTOSOWANIE POCHODNYCH
8. Pochodne funkcji
08 pochodna funkcji
pochodne funkcji

więcej podobnych podstron