14. Pochodna funkcji odwrotnej i złożonej.

Pochodna funkcji odwrotnej

Jeżeli f : (a,b) → (c, d) jest homeomorfizmem (tzn. f i f⁻¹ są ciągłe), f′(x₀) istnieje i nie znika, to f⁻¹ jest różniczkowalna w punkcie f(x₀) oraz

$${(f}^{- 1})'(f(x_{0})) = \frac{1}{f^{'}(x_{0})}$$

Pochodna funkcji złożonej

Jeżeli f : (a,b) → (c, d) jest różniczkowalna w punkcie x₀ i g : (c,d) → ℝ jest różniczkowalna w punkcie f(x₀), to g ∘ f jest różniczkowalna w punkcie x₀ oraz

(g∘f)^′(x₀) = g^′(f(x₀)) • f^′(x₀).

Przykład:

h(x) = sin(3x²+5x+2),  x ∈  ℝ

f(x) = 3x² + 5x + 2

g(y) = sin(y)

f′(x) = 6x + 5

g′(y) = cos(y)

Zatem h′(x) = (cos(3x²+5x+2))•(6x + 5)