AM2 w9 2011/12
25.04.2012
P
OCHODNA FUNKCJI ZŁOŻONEJ
Jeżeli funkcje
R
D
F
:
,
n
R
D
,
R
D
x
x
i
:
,
m
x
R
D
n
i
,
,
2
,
1
)
,
,
(
2
1
m
i
i
u
u
u
x
x
są klasy
1
C
na zbiorach otwartych odpowiednio
x
D
D,
oraz istnieje funkcja złożona
)
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
)
,
,
(
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
m
n
m
m
m
u
u
u
x
u
u
u
x
u
u
u
x
F
u
u
u
G
wówczas
n
i
j
i
i
j
u
x
x
F
u
G
1
m
j
,
2
,
1
dla
x
m
D
u
u
u
)
,
,
(
2
1
.
Przypadki szczególne:
a)
1
m
)
(
),
(
),
(
)
(
2
1
u
x
u
x
u
x
F
u
G
n
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
u
x
x
F
u
x
x
F
u
x
x
F
u
G
n
n
b)
2
m
oznaczmy nowe zmienne
)
,
(
v
u
2
n
)
,
(
),
,
(
)
,
(
v
u
y
v
u
x
F
v
u
G
u
y
y
F
u
x
x
F
u
G
v
y
y
F
v
x
x
F
v
G
Przykład
1. Przekształcić wyrażenie
y
y
x
F
y
x
y
x
F
x
)
,
(
)
,
(
wprowadzając współrzędne biegunowe
2
n
2
m
,
)
,
(
r
)
,
(
),
,
(
)
,
(
r
y
r
x
F
r
G
Ze związku
sin
cos
r
y
r
x
2
0
,
0
r
lub
między współrzędnymi
kartezjańskimi punktu a współrzędnymi biegunowymi otrzymujemy
sin
cos
y
F
x
F
r
y
y
F
r
x
x
F
r
G
cos
sin
r
y
F
r
x
F
y
y
F
x
x
F
G
r
r
G
r
y
y
x
F
y
x
y
x
F
x
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2. Obliczyć
)
(x
G
, jeśli
)
(
,
)
(
x
y
x
F
x
G
)
(
)
(
x
y
F
F
dx
dy
y
F
x
F
x
G
y
x
y
F
y
F
y
F
F
x
G
y
yy
xy
xx
2
2
)
(
AM2 w9 2011/12
25.04.2012
F
UNKCJE UWIKŁANE JEDNEJ ZMIENNEJ
D
EFINICJA
Niech
R
D
F
:
,
2
R
D
.
Jeżeli istnieje funkcja
)
(x
f
y
spełniająca w każdym punkcie x z pewnego przedziału I
równość
0
)
(
,
x
f
x
F
, to funkcję f nazywamy funkcją uwikłaną określoną równaniem
0
)
,
(
y
x
F
.
Przykład
a) Równanie
0
2
2
y
x
określa na przykład w zbiorze liczb rzeczywistych
R
I
funkcje
x
x
f
)
(
1
,
x
x
f
)
(
2
.
lub
określa w zbiorze liczb rzeczywistych
R
I
funkcje
x
x
f
)
(
3
,
x
x
f
)
(
4
.
b) Równanie
1
2
2
y
x
określa w przedziale
1
,
1
na przykład funkcje
2
1
1
)
(
x
x
f
,
2
2
1
)
(
x
x
f
.
c) Równanie
0
1
2
2
y
x
nie określa żadnej funkcji.
T
WIERDZENIE
(
O IS TNIENIU I JEDNOZNACZNOŚ CI FUNKCJI UWIKŁANEJ
)
Jeżeli funkcja F jest funkcją klasy C
1
w pewnym otoczeniu punktu
)
,
(
0
0
y
x
oraz
0
)
,
(
0
0
y
x
F
i
0
)
,
(
0
0
y
x
F
y
to istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana
)
(x
f
y
określona w pewnym przedziale
0
0
, x
x
, (
0
) za pomocą równania
0
)
,
(
y
x
F
spełniająca warunek
)
(
0
0
x
f
y
.
Funkcja ta ma w przedziale
0
0
, x
x
ciągłą pochodną daną wzorem
)
(
,
)
(
,
)
(
x
f
x
F
x
f
x
F
x
f
y
x
.
Przy założeniu, że F jest klasy C
2
w pewnym otoczeniu punktu
)
,
(
0
0
y
x
, funkcja uwikłana f
jest również klasy C
2
w tym otoczeniu i jej druga pochodna wyraża się wzorem
3
2
2
2
)
(
y
yy
x
y
x
xy
xx
y
F
F
F
F
F
F
F
F
x
f
AM2 w9 2011/12
25.04.2012
E
KSTREMUM FUNKCJI UWIKŁANEJ
T
WIERDZENIE
Jeżeli F jest klasy C
2
w pewnym otoczeniu punktu
)
,
(
0
0
y
x
oraz spełnione są warunki
1.
0
)
,
(
0
0
y
x
F
,
2.
0
)
,
(
0
0
y
x
F
y
,
3.
0
)
,
(
0
0
y
x
F
x
,
4.
0
)
,
(
0
0
y
x
F
xx
,
to funkcja uwikłana
)
(x
f
y
określona równaniem
0
)
,
(
y
x
F
ma w punkcie
0
x
ekstremum
właściwe przy czym jest to
minimum właściwe gdy
0
)
,
(
)
,
(
)
(
0
0
0
0
0
y
x
F
y
x
F
x
f
y
xx
,
maksimum właściwe gdy
0
)
(
0
x
f
.
Uwagi
Rozwiązując układ
0
)
,
(
0
)
,
(
0
)
,
(
y
x
F
y
x
F
y
x
F
y
x
dostajemy zbiór punktów, w których funkcja uwikłana
)
(x
f
y
określona równaniem
0
)
,
(
y
x
F
może mieć ekstrema. Obliczając znak
)
,
(
)
,
(
)
(
0
0
0
0
0
y
x
F
y
x
F
x
f
y
xx
sprawdzamy warunek wystarczający istnienia ekstremum.
Przykład
1. Wykazać, że twierdzenie o funkcji uwikłanej można stosować do równania
1
2
2
2
y
x
y
xy
x
w otoczeniu punktu
1
,
0
.
Równoważne polecenie
Wykazać, że równanie
1
2
2
2
y
x
y
xy
x
określa w pewnym otoczeniu punktu
0
0
x
dokładnie jedną ciągłą funkcję uwikłaną spełniającą warunek
1
)
0
(
f
.
2. Obliczyć
)
0
(
f
,
)
0
(
f
z zad.1 i naszkicować wykres tej funkcji w otoczeniu punktu
1
,
0
.
3. Wyznaczyć ekstremum funkcji uwikłanej określonej równaniem
0
3
3
3
xy
y
x
(liść Kartezjusza).