pochodna funkcji, wyklad id 364 Nieznany

background image

POCHODNA FUNKCJI

Definicja

Niech funkcja f będzie określona na przedziale (a, b), -

a < b

oraz niech x

0

(a, b),

x

0

+

x

(a, b). Pochodną właściwą funkcji f w punkcie x

0

nazywamy granicę skończoną

 

   

0

0

0

0

lim

x

x

x

f

x

f

x

f

x

x

def


Jeżeli istnieje pochodna właściwa funkcji f w punkcie x

0

, to mówimy, że funkcja f jest

różniczkowalna w tym punkcie.

I

NTERPRETACJA GEOMETRYCZNA POCHODNEJ

Niech

oznacza kąt między styczną do wykresu funkcji f w punkcie (x

0

, f(x

0

)) i dodatnią

częścią osi Ox. Wtedy

tg

)

(

0

/

x

f

Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x

0

, f(x

0

)) ma postać:

)

)(

(

)

(

0

0

/

0

x

x

x

f

x

f

y










Twierdzenie (warunek konieczny różniczkowalności funkcji)

Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie, to jest ciągła w tym punkcie.

Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa!

Definicja

Funkcja jest różniczkowalna na przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy jest różniczkowalna
w każdym punkcie tego przedziału.
Funkcję określoną na przedziale, której wartości w punktach x tego przedziału są równe

 

f

x

nazywamy pochodną funkcji f na przedziale i oznaczamy przez

f

.

Definicja

Niech funkcja f będzie określona na przedziale (a,b), -

a < b

oraz niech będzie ciągła

w punkcie x

0

(a,b). Funkcja f ma w punkcie x

0

pochodną niewłaściwą wtedy i tylko wtedy,

gdy

0

0

)

(

)

(

lim

0

x

x

x

f

x

f

x

x

albo



0

0

)

(

)

(

lim

0

x

x

x

f

x

f

x

x

W tym przypadku styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x

0

, f(x

0

)) ma postać x=x

0

.

background image

27

Twierdzenie (o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji)

Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w punkcie x

0

, to

1)

)

(

)

(

)

(

)

(

0

/

0

/

0

/

x

g

x

f

x

g

f

2)

/

/

0

0

(

) ( )

( )

c f

x

c f

x

 

gdzie

R

c

3)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

/

0

0

0

/

0

/

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

f

4)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

2

0

/

0

0

0

/

0

/

x

g

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

f





o ile g(x

0

)

0

Twierdzenie (o pochodnej funkcji złożonej)

Jeżeli
1. funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x

0

,

2. funkcja g jest różniczkowalna w punkcie f(x

0

),

to funkcja złożona

f

g

jest różniczkowalna w punkcie x

0

oraz

)

(

)

(

)

(

0

/

0

/

0

/

x

f

x

f

g

x

f

g

Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej)

Jeżeli
1. funkcja f jest ciągła na przedziale (a,b),
2. funkcja f jest malejąca albo rosnąca na przedziale (a,b),
3. istnieje

)

,

(

,

0

)

(

0

0

/

b

a

x

x

f

.

Wtedy funkcja odwrotna

1

f

jest różniczkowalna w punkcie y

0

= f(x

0

) oraz

)

(

1

)

(

)

(

0

/

0

/

1

x

f

y

f

Definicja

Pochodną n-tego rzędu funkcji f w punkcie x

0

definiujemy indukcyjnie:

2

)

(

)

(

0

/

)

1

(

0

)

(

n

dla

x

f

x

f

n

def

n

,

gdzie

)

(

)

(

0

/

0

)

1

(

x

f

x

f

def

. Ponadto przyjmujemy

)

(

)

(

0

0

)

0

(

x

f

x

f

def

.

Jeżeli istnieje pochodna właściwa

)

(

0

)

(

x

f

n

, to mówimy, że funkcja f jest n-krotnie

różniczkowalna w punkcie x

0

.

Funkcję określoną na przedziale, której wartości w punktach x tego przedziału są równe

)

(

)

(

x

f

n

, nazywamy pochodną n-tego rzędu funkcji f na tym przedziale.


Dla istnienia n-tej pochodnej funkcji w punkcie x

0

konieczne jest istnienie pochodnej

)

1

(

n

f

(i co za tym idzie także wszystkich poprzednich pochodnych) na pewnym otoczeniu

punktu x

0

.









background image

28

P

OCHODNE WAŻNIEJSZYCH FUNKCJI ELEMENTARNYCH

Funkcja

Pochodna

Zakres zmienności

c (funkcja stała)

0

R

c

x

1

R

x

x

1

x

R, x > 0

1

x

2

1

x

x

0

x

sin

x

cos

R

x

x

cos

x

sin

R

x

x

tg

2

1

cos x

Z

k

gdzie

k

x

,

2

x

ctg

2

1

sin x

Z

k

gdzie

k

x

,

x

a

a

a

x

ln

0 < a

1, x

R

x

e

x

e

R

x

x

sin

arc

2

1

1

x

1

x

x

arccos

2

1

1

x

1

x

x

arctg

2

1

1

x

R

x

x

arcctg

2

1

1 x

R

x

x

a

log

a

x ln

1

0 < a

1, x > 0

x

ln

x

1

x > 0


Aby obliczyć pochodne funkcji postaci

g

f

oraz

g

f

l o g

zapisujemy te funkcje

w następujących postaciach:

f

g

g

e

f

ln

oraz

f

g

g

f

ln

ln

log

Twierdzenie (reguła de L’Hospitala dla nieoznaczoności

0

0

)

Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki:
1)

0

0

lim

( )

lim ( )

0

x

x

x

x

f x

g x

, przy czym

 

0

x

g

dla

 

0

x

S

x

2) istnieje granica

0

/

/

( )

lim

( )

x

x

f

x

g x

(właściwa lub niewłaściwa)

to:

0

0

/

/

( )

( )

lim

lim

( )

( )

x

x

x

x

f x

f

x

g x

g x


Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla granic jednostronnych w punkcie x

0

oraz

w –

lub w +

background image

29

Twierdzenie (reguła de L’Hospitala dla nieoznaczoności


)

Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki:

1)

0

0

0

0

lim

( )

lub lim

( )

oraz lim ( )

lub lim ( )

x

x

x

x

x

x

x

x

f x

f x

g x

g x

 

 

 

 

2) istnieje granica

0

/

/

( )

lim

( )

x

x

f

x

g x

(właściwa lub niewłaściwa)

to:

0

0

/

/

( )

( )

lim

lim

( )

( )

x

x

x

x

f x

f

x

g x

g x


Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla granic jednostronnych w punkcie x

0

oraz

w –

lub w +

T

OŻSAMOŚCI ZMIENIAJĄCE RODZAJE NIEOZNACZONOŚCI

Nieoznaczoność

Stosowana tożsamość

Otrzymana nieoznaczoność

0

1

f

f g

g

 

lub

1

g

f g

f

 

0

0

lub

1

1

1

g

f

f

g

fg

 

0

0

0

0

0

,

,

1

f

g

g

e

f

ln

0


Literatura

1. M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory.
2. M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania.
3. W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, część I.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
pochodne wyzszych rzedow id 364 Nieznany
pochodne wyzszych rzedow id 364 Nieznany
LOGIKA wyklad 5 id 272234 Nieznany
ciagi liczbowe, wyklad id 11661 Nieznany
AF wyklad1 id 52504 Nieznany (2)
Neurologia wyklady id 317505 Nieznany
ZP wyklad1 id 592604 Nieznany
CHEMIA SA,,DOWA WYKLAD 7 id 11 Nieznany
or wyklad 1 id 339025 Nieznany
II Wyklad id 210139 Nieznany
cwiczenia wyklad 1 id 124781 Nieznany
BP SSEP wyklad6 id 92513 Nieznany (2)
MiBM semestr 3 wyklad 2 id 2985 Nieznany
algebra 2006 wyklad id 57189 Nieznany (2)
olczyk wyklad 9 id 335029 Nieznany
Kinezyterapia Wyklad 2 id 23528 Nieznany
AMB ME 2011 wyklad01 id 58945 Nieznany (2)
AWP wyklad 6 id 74557 Nieznany

więcej podobnych podstron