CIĄGI LICZBOWE

Definicja

Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb
rzeczywistych.
N-tym wyrazem ciągu nazywamy wartość tej funkcji dla liczby naturalnej n i oznaczamy
przez a

n

.

Ciąg o takich wyrazach oznaczamy wtedy przez (a

n

).

Zbiór wyrazów ciągu (a

n

) tj. { a

n

:

N

n



}, oznaczamy przez {a

n

}.

Ciągi można określić:

- wzorem

1

1

1

1

1

2

2

n

a

...

n

n

n

n

 



 





- rekurencyjnie

1

1

3

3

n

n

c

, c

c







- opisowo

a

n

– n-ta liczba pierwsza

Definicja

Ciąg (a

n

) jest ograniczony z dołu, jeżeli zbiór {a

n

} jest ograniczony z dołu, tzn.

m

a

n

N

n

R

m











Ciąg (a

n

) jest ograniczony z góry, jeżeli zbiór {a

n

} jest ograniczony z góry, tzn.

M

a

n

N

n

R

M











Ciąg (a

n

) jest ograniczony, jeżeli zbiór {a

n

} jest ograniczony, tzn.

M

a

m

n

N

n

R

M

m













,

Definicja

Ciąg (a

n

) jest rosnący, jeżeli

1









n

n

N

n

a

a

Ciąg (a

n

) jest niemalejący, jeżeli

1









n

n

N

n

a

a

Ciąg (a

n

) jest malejący, jeżeli

1









n

n

N

n

a

a

Ciąg (a

n

) jest nierosnący, jeżeli

1









n

n

N

n

a

a

Ciągi rosnący, malejący, niemalejący i nierosnący nazywamy ciągami monotonicznymi.

B

ADANIE MONOTONICZNOŚCI CIĄGÓW

a

n+1

- a

n

1

n

n

b

b



Ciąg

0



1



rosnący

0



1



malejący

0



1



niemalejący

0



1



nierosnący

20

Definicja

Ciąg (a

n

) ma granicę właściwą (granicę)

R

a



, wtedy i tylko wtedy, gdy





































a

a

n

n

n

N

n

N

n

0

0

0

„Ciąg (a

n

) ma granicę

R

a



” zapisujemy symbolicznie w postaci równości

n

n

lim a

a





lub

n

n

a

a







.

Definicja

Ciąg (a

n

) ma granicę niewłaściwą „∞” (

n

n

lim a



 

), wtedy i tylko wtedy, gdy



 





























n

N

n

N

n

a

n

n

0

0

0

Ciąg (a

n

) ma granicę niewłaściwą „– ∞” (

n

n

lim a



 

), wtedy i tylko wtedy, gdy



 





























n

N

n

N

n

a

n

n

0

0

0

Ciągi, które mają granicę (właściwą lub niewłaściwą) nazywamy ciągami zbieżnymi.
Ciągi, które nie mają granicy właściwej ani niewłaściwej nazywamy ciągami rozbieżnymi.

Twierdzenie (o jednoznaczności granicy ciągu)

Każdy ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę.

Twierdzenie (o ograniczoności ciągu zbieżnego)

Jeżeli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.

Twierdzenie (o arytmetyce granic ciągów)

Jeżeli ciągi (a

n

) i (b

n

) mają granice właściwe, to:

1.





n

n

n

n

n

n

n

lim a

b

lim a

lim b













2.





n

n

n

n

n

n

n

lim a

b

lim a

lim b













3.

 

n

n

n

n

a

lim

c

ca

lim







4.







  

n

n

n

n

n

n

n

lim a b

lim a

lim b













5.

0

n

n

n

n

n

n

n

n

n

lim a

a

lim

,

lim b

b

lim b













6.

 

 

 

0

\

,

Z

p

a

lim

a

lim

p

n

n

p

n

n









,

7.



1

\

,

N

k

a

lim

a

lim

k

n

n

k

n

n









Twierdzenie (o trzech ciągach)

Jeżeli ciągi (a

n

), (b

n

) i (c

n

) spełniają warunki:

1.

n

n

n

a

b

c





dla każdego

0

n

n



2.

n

n

n

n

lim a

lim c

b,









to

n

n

lim b

b





.

21

Definicja

Granicę ciągu liczb

1

1

n

n

e

n





 









oznaczamy przez e:

1

1

n

def

n

e

lim

n



















e = 2,7182818...≈ 2,72

Jeżeli







n

n

a

lim

oraz

0



n

a

dla

N

n



, to:

e

a

lim

n

a

n

n



















1

1

Twierdzenie (o granicach niewłaściwych ciągów)

a

dla

a

   

    

0

a

dla

a

  

  

0

a

dla

a



    



0

0

a

dla

a



 

  

0

0

1

a

dla

a







 

1

a

dla

a



 

  

0

0

b

dla

b

 

   

0

b

dla

b

  

  

Definicja

Wyrażenia nieoznaczone:

0

0

0

0

1

0

0

,

,

,

,

,

,





  







.

Wartości powyższych symboli zależą od postaci ciągów je tworzących.

Literatura

1. M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory.
2. M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania.
3. W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, część I.