1
Pochodna funkcji
[ ]
[ ]
b
a
x
b
a
D
R
R
f
f
,
,
:
0
∈
=
→
je eli
( ) ( )
0
0
0
lim
x
x
x
f
x
f
x
x
−
−
→
∃
,
( ) { }
0
\
,
x
b
a
x
∈
,
to definiujemy pochodn funkcji
f
w punkcie
x
0
:
( )
( ) ( )
0
0
0
lim
:
0
x
x
x
f
x
f
x
x
x
f
−
−
→
=
′
i o funkcji
f
mówimy, e jest ró niczkowalna w
x
0
(lub
f
ma pochodn w
x
0
).
Tworzymy funkcj :
( )
R
x
f
x
R
f
∈
′
∋
′:
o dziedzinie
( )
{
}
x
f
x
D
f
′
∃
=
′
:
wtedy
f ′
nazywamy funkcj pochodn funkcji
f
inne oznaczenie pochodnej funkcji
( )
x
f
:
dx
df
f
=
′
Oznaczenia klas funkcji
C(X)
- klasa funkcji ci głych w zbiorze
X
C
n
(X)
- klasa funkcji maj cych ci gł
n
– t pochodn ,
0
N
n
∈
C
0
(X):=C(X)
D(X)
- klasa funkcji ró niczkowalnych w zbiorze
X
D
n
(X)
- klasa funkcji
n
– krotnie ró niczkowalnych w zbiorze
X
,
N
n
∈
D
1
(X):=D(X)
2
niech
R
X
=
C
D
⊃
⊃
⊃
2
2
1
C
D
C
Pochodna funkcji odwrotnej
Twierdzenie
( )
(
)
b
a
C
f
,
∈
( )
b
a
f
,
:
R
( )
( )
{ }
( )
( )
R
D
f
D
f
R
C
f
x
x
f
∉
∉
∈
=
0
( )
( )
( )
( )
( )
R
D
f
x
x
x
f
x
x
x
x
x
f
R
C
f
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
∈
=
=
−
−
=
′
≠
∧
−
=
⋅
⋅
−
=
′
∈
=
=
≠
=
→
→
→
0
sin
lim
0
0
sin
lim
0
0
cos
sin
2
cos
sin
2
0
sin
lim
0
,
0
,
0
sin
1
0
1
2
0
1
1
1
2
1
1
1
2
0
1
2
2
poka my, e
( )
R
C
f
1
∉
wystarczy, e udowodnimy brak istnienia granicy
(
)
x
x
x
x
1
1
0
cos
sin
2
lim
−
→
0
sin
2
lim
1
0
=
→
x
x
x
, jednak mo emy pokaza , e
( )
x
x
1
0
cos
lim
~
→
∃
Wystarczy wskaza dwa ró ne ci gi
( ) ( )
N
n
n
N
n
n
x
x
∈
∈
′
,
d
ce do zera takie, e
n
n
n
n
x
x
′
≠
∞
→
∞
→
1
cos
lim
1
cos
lim
Niech
0
2
1
→
=
∞
→
n
n
n
x
π
wtedy:
1
2
cos
cos
1
→
=
∞
→
n
x
n
n
π
0
1
2
→
+
=
′
∞
→
n
n
n
x
π
π
wtedy:
0
cos
1
→
∞
→
′
n
x
n
wynika z tego, e
( )
R
C
f
1
∉
( )
( )
(
)
( )
( )
0
1
0
0
0
1
0
1
1
y
f
x
x
f
y
f
y
D
f
−
=
−
−
′
=
′
∧
∈
3
( )
( )
( )
( )
0
:
,
0
0
0
0
0
≠
′
∧
′
∃
=
∈
x
f
x
f
y
x
f
b
a
x
Dowód
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
lim
lim
lim
0
0
0
0
1
0
y
f
x
x
f
x
f
x
f
x
x
x
x
y
f
y
f
y
y
x
f
y
y
y
y
f
y
f
x
x
x
f
x
f
x
x
x
x
iniekcja
f
C
f
C
f
y
y
−
−
−
−
→
→
−
−
−
∧
∈
∈
−
−
→
=
=
=
−
−
=
=
→
→
→
=
=
−
−
−
Obliczmy teraz
(
)
′
arctgx
(
)
(
)
(
)
2
2
,
,
2
2
π
π
π
π
−
∈
−
C
tg
funkcja
tg
jest bijekcj
(
)
2
2
,
π
π
−
∈
∀
x
( )
0
cos
1
2
≠
=
′
x
tgx
wynika z tego, e
(
)
′
∃ arctgx
(
)
( )
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
cos
sin
cos
cos
1
y
x
tg
x
x
x
x
tgx
arctgy
arctgy
x
arctgy
x
arctgy
x
arctgy
x
+
=
+
=
+
=
=
′
=
′
=
=
=
=
Podobnie mo na wyznaczy pochodne pozostałych funkcji cyklometrycznych:
(
)
2
1
1
x
arcctgx
+
−
=
′
(
)
(
)
2
2
1
1
arccos
1
1
arcsin
x
x
x
x
−
−
=
′
−
=
′
