MATEMATYKA

ZESTAW ZADAŃ - POCHODNE

1. Obliczyć pochodne funkcji określonych następującymi wzorami:

a)

x

x

x





3

6

3

2

b)

x

x

x

2

4

1

3

2

2

3





c)

2

4

3

x

x 

d)

3

4

x



e)

x

x

x

1

3

5

3

5





f)

3

3

4

2

x

x





g)

x

x

sin

1

10

5



h)

3

4

2

x

e

x



i)

x

x

1

2 

j)

x

x

cos

sin 

k)

x

x

sin

l)

4

2

3

2

2

2







x

x

x

m)

2

1

3

2

2







x

x

x

n)

x

x

ln

o)

x

x ln

p)

2

2

2

x

x 

q)

ctgx

tgx 

r)

1

2



x

x

s)

3

x

x 

t)

7

cos

2

x

x

u)

4

3

cos

x

x

v)

x

ctgx

1



w)

x

x

e

e 

x)

1



x

x

y)

x

x

x

7

2

2

2

2





2. Obliczyć pochodne funkcji złożonych określonych następującymi wzorami:

a)

x

2

sin

b)

4

2



x

c)





7

2

2

4



x

d)

x

sin

ln

e)

x

3

2

1



f)

3

1

3

2

2









x

x

x

x

g)

x

4

cos

4

h)

2

1

sin

x



i)

2

1

ln

x

x



j)









1

ln

ln

2



x

k)

x

x

tg

3

l)





2

2

2

4

1

3

3

10





x

x

x

m)

x

e

x

sin

2

n)



 



5

3

ln

5

3





x

x

o)

2

1

ln

u

arctg



p)

x

2

arcsin

q)

4

2

2

3

2

2

4

x

x

x





















r)

2

2

1

1

arcsin

x

x





s)

2

1

2

arccos

x

x



t)

2

1

arcsin

x

x

x





u)

x

x

v)

x

x

cos

sin

w)

x

x

sin

x)





2

sin

5

2

x

x

e





y)

3

2

1

1 x



z)

 





2

sin

ln

x

ź)

3

3

2 sin

x

ż)

2

1

x

arctg

x



3. Obliczyć

''

'

,

''

,

'

f

f

f

funkcji określonych następującymi wzorami:

a)

x

x

x

2

5

2

3

7





b)

x

sin

c)

x

cos

d)

x

e

e.

x

x ln

3

f)

x

x

cos

sin

g)

x

x

3

3

cos

sin



h)

2

2

ln

x

x

i)

x

e

x

4

cos



j)

x

e

x

3

3

4. Oblicz ekstrema lokalne funkcji oraz zbadaj monotoniczność

a)

 

3

2

3

9

2

f x

x

x

x









b)

 

2

2

2

4

x

x

f x

x







c)

 

2

2

4

x

f x

x





d)

 

2

x

f x

e





e)

 

2

ln

f x

x

x



f)

 





2

3

x

f x

e

x





g)

 

1 ln x

f x

x





h)

 

tgx

f x

e



i)

 

4

3

2

3

2

11

10

2

4

3

2

f x

x

x

x

x











5. Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych:

a)





2

3

,

3

f x y

x

y

xy







b)





2

3

,

sin

f x y

x y

x

y





,

c)





1

2

1 2

1

2

,

(1 2

3 )

f x x

x x

x

x







,

d)





2

3

,

x

f x y

xy

y





,

e)



 



sin

,

ln

,

1

y

f x y

x

gdzie x



 ,

f)









,

ln

ln

f x y

x

y





,

g)









2

1

2

1

2

,

ln

f x x

x

x





,

h)





1

1

2

2

,

x

f x x

arctg

x



,

i)





,

y

f x y

x



,

j)









10

2

4

, ,

3

f x y z

x y

z





,

k)





, ,

yz

f x y z

x



,

l)





, ,

ln

z

f x y z

x y

e

y





,

m)





5

10

3

2

, ,

sin

z

f x y z

x y

x

z

y e







,

n)









20

4

2

2

, ,

5

3

f x y z

z

xy

yz





,

o)





2

2

2

3

,

3

3

x y

xy

f x y

x y







,

p)





3

2

2

2

2

2

,

2

x y

x

xy

f x y

xy

y









.

6. Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu dla podanych funkcji

a)





3

2

,

3

15

12

f x y

x

xy

x

y









,

b)





50

20

,

f x y

xy

x

y







,

c)









,

1

f x y

xy

x

y



 

,

d)





2

2

,

2 ln

18ln

f x y

x

y

x

y









,

e)





2

2

,

(cos

cos )

(sin

sin )

f x y

x

y

x

y









,

f)





2

2

,

(

)

x

f x y

x

y e





,

g)





2

3

,

sin

f x y

x y

x

y





,

h)





2

2

(

)

,

x

y

f x y

e







,

i)





,

1

x

y

f x y

arctg

xy







,

j)





2

2

,

x

xy

f x y

xy





.

7. Obliczyć gradient funkcji

f w punkcie

A

a)





3

2

,

6

5

f x y

x

xy

x







(2,1)

A

;

b)





3

3

,

3

f x y

x

y

xy







( 2,1)

A 

;

c)





,

2 ln(2 )

f x y

x

x





1

( , 0)

2

A

;

d)





,

sin

y

f x y

ye

x





(0,1)

A

;

e)





,

sin

cos

f x y

x

y





(0, )

A

 ;

f)





, ,

z

x

f x y z

z

y







(1, 0, 3)

A



;

g)





2

2

,

f x y

x

y





( 3, 4)

A 

;

h)





, ,

xyz

f x y z

e



( 1,1, 1)

A 



.