Teoria modów sprzężonych

Prezentacja zawiera kopie folii omawianych na wykładzie. Niniejsze
opracowanie chronione jest prawem autorskim. Wykorzystanie
niekomercyjne dozwolone pod warunkiem podania źródła.

© Sergiusz Patela 1998-2001

© Sergiusz Patela

Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych

2

Sprzęgacz kierunkowy

0

x

y

z

β

β

E

E

n

n

n

k

k

1

1

1

2

2

2

3

© Sergiusz Patela

Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych

3

(

)

[

]

E

A

i

z

t

1

1

0

=

⋅

−

exp

β

ω

W pojedynczym światłowodzie rozchodzi się fala

dE

dz

i

E

1

1

0

1

= β

Wprowadzenie drugiego światłowodu powoduje:
•zmianę stałej propagacji światłowodu
•wymianę energii pomiędzy światłowodami

d E

d z

i

E

k E

d E

d z

k E

i

E

1

1

1

12

2

2

21

1

2

2

=

+

=

+

β

β

;

β

β

β

β

1

1

0

11

2

2

0

22

=

−

=

−

k

k

;

gdzie:

Równania modów sprzężonych

© Sergiusz Patela

Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych

4

w postaci:

E

A e

E

B e

z

z

1

2

=

=

γ

γ

;

Wstawiając do równań sprzężonych otrzymujemy:

(

)

(

)

γ

β

γ

β

−

−

−

−

























 =

i

k

k

i

A

B

1

12

21

2

0

γ

β

β

β

β

1 2

1

2

12 21

1

2

2

2

2

,

=

+

±

−

−









i

k k

Nietrywialne (A=B=0) rozwiązania istnieją tylko jeżeli wyznacznik macierzy zeruje się.
Rozwiązując równanie otrzymamy:

Poszukujemy rozwiązań równań sprzężonych

© Sergiusz Patela

Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych

5

γ

β

γ

β

γ

γ

γ

γ

γ

γ

A e

j

A e

k B e

B e

k A e

j

B e

z

z

z

z

z

z

=

+

=

+








1

12

21

2

E

A e

E

B e

z

z

1

2

=

=

γ

γ

;

2

2

1

21

2

2

12

1

1

1

;

E

j

E

k

dz

dE

E

k

E

j

dz

dE

β

+

=

+

β

=

Wstawiamy postulowane rozwiązania

do układu równań sprzężonych

(

)

(

)

γ

β

γ

β

−

−

=

−

+

−

=








j

A

k B

k A

j

B

1

12

21

2

0

0

(

)

(

)

0

2

21

12

1

=

























β

−

γ

−

−

β

−

γ

B

A

j

k

k

j

Wyprowadzenie równania macierzowego

© Sergiusz Patela

Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych

6

Równanie macierzowe ma nietrywialnie (niezerowe) rozwiązania
tylko jeżeli wyznacznik = 0

(

)

(

)

0

2

21

12

1

=

β

−

γ

−

−

β

−

γ

j

k

k

j

(

)(

)

γ

β

γ

β

−

−

−

=

j

j

k k

1

2

12

21

0

γ

γβ

γβ

β β

2

2

1

1

2

1 2

2 1

0

−

−

−

−

=

j

j

k k

(

)

0

)

(

21

12

2

1

2

1

2

=

+

β

β

−

β

+

β

γ

−

γ

k

k

j

Rozwiązanie równanie kwadratowego (następna folia):

2

2

1

21

12

2

1

2

,

1

2

2













β

−

β

−

±

β

+

β

=

γ

k

k

j

Rozwiązanie wyznacznika

© Sergiusz Patela

Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych

7

(

)

0

)

(

21

12

2

1

2

1

2

=

+

β

β

−

β

+

β

γ

−

γ

k

k

j

Pierwiastki równania kwadratowego

a x

b x

c

2

0

+

+ =

obliczamy ze wzoru

x

b

a

1 2

2

,

= −

± ∆

gdzie:

∆ =

−

b

a c

2

4

(

)

[

]

(

)

[

]

(

)

21

12

2

2

1

21

12

2
2

2

1

2

1

21

12

2

1

2
2

2

1

2

1

21

12

2

1

2

2

1

4

4

2

4

4

2

4

k

k

k

k

k

k

k

k

j

+

β

−

β

−

=

+

β

−

β

β

+

β

−

=

+

β

β

+

β

−

β

β

−

β

−

=

+

β

β

−

−

β

+

β

−

=

∆

(

)

(

)

(

)

4

4

4

2

2

4

2

2

1

21

12

2

1

2

2

1

21

12

2

1

2

,

1

β

−

β

−

±

β

+

β

=

β

−

β

−

±

β

+

β

=

γ

k

k

j

k

k

j

2

2

1

21

12

2

1

2

,

1

2

2













β

−

β

−

±

β

+

β

=

γ

k

k

j

Rozwiązanie równania kwadratowego

© Sergiusz Patela

Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych

8

Postać rozwiązania

E

A e

E

B e

z

z

1

2

=

=

γ

γ

;

2

2

1

21

12

2

1

2

,

1

2

2













β

−

β

−

±

β

+

β

=

γ

k

k

j

E

A e

A e

z

z

1

1

2

1

2

=

+

γ

γ

© Sergiusz Patela

Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych

9

E

A e

A e

z

z

1

1

2

1

2

=

+

γ

γ

2

12

1

1

1

E

k

E

j

dz

dE

+

β

=

[

]

2

12

2

1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

E

k

e

A

e

A

j

e

A

e

A

z

z

z

z

+

+

β

=

γ

+

γ

γ

γ

γ

γ

z

z

z

z

e

A

j

e

A

e

A

j

e

A

E

k

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

1

1

2

12

γ

γ

γ

γ

β

−

γ

+

β

−

γ

=

(

)

(

)

[

]

z

z

e

j

A

e

j

A

k

E

2

1

1

2

2

1

1

1

12

2

1

γ

γ

β

−

γ

+

β

−

γ

=

Podstawiając

do równania

obliczamy E

2

Rozwiązanie układu równań sprzężonych - E

1

i E

2

podstawiamy za E

1

->

przenosimy E

2

na lewą stronę->

© Sergiusz Patela

Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych

10

Wyciekanie energii (1)

0

=

dz

dW

Suma energii w obu światłowodach (W)
nie zmienia się wzdłuż linii

Normalizujemy E

1

i E

2

tak, że |E

1

|

2

i |E

2

|

2

określają całkowitą moc w strukturze

Ponieważ w wyniku sprzęgania modów mogą pojawić się falę rozchodzące się
współbieżnie (sprzęgacze) lub przeciwbieżnie (siatki Bragga) wprowadzimy
współczynnik p

1

2

,

1

±

=

p

Całkowita moc:

2

2

2

2

1

1

E

p

E

p

W

+

=

© Sergiusz Patela

Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych

11

Wyciekanie energii (2)

0

=

dz

dW

Suma energii w obu światłowodach (W)
nie zmienia się wzdłuż linii

(

)

'

'

'

'

*

2

2

2

*

2

2

2

*

1

1

1

*

1

1

1

E

E

p

E

E

p

E

E

p

E

E

p

dz

dW

+

+

+

=

podstawiając za pochodne:

d E

d z

i

E

k E

d E

d z

k E

i

E

1

1

1

12

2

2

21

1

2

2

=

+

=

+

β

β

;

otrzymamy:

(

)

{

}

0

Re

2

*

1

*

21

2

12

1

=

+

E

E

k

p

k

p

jeżeli powyższe równanie ma być
spełnione dla wszystkich E to musi być:

0

*

21

2

12

1

=

+

k

p

k

p

(

)

*

2

2

2

*

1

1

1

2

2

2

2

1

1

E

E

p

E

E

p

E

p

E

p

W

+

=

+

=

© Sergiusz Patela

Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych

12

Wektor Poyntinga

H

E

S

!

!

!

×

=

Strumień energii:

(

)

[

]

r

k

t

i

E

u

E

!

!

!

−

ω

=

exp

ˆ

0

1

(

)

[

]

r

k

t

i

H

u

H

!

!

!

−

ω

=

exp

ˆ

0

2

k

u

k

u

1

2

ˆ

ˆ

×

=

ε

µ

=

η

η

=

,

0

0

E

H

Ω

=

ε

µ

=

η

377

0

0

0

Impedancja charakterystyczna próżni:

© Sergiusz Patela

Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych

13

Liczby zespolone - przypomnienie wybranych właściwości

(

) (

)

( )

Z

a

ib

a

ib

a

Z

Z

Re

2

2

*

=

=

−

+

+

=

+

Suma liczby zespolonej i sprzężonej:

Wzór Eulera:

( )

( )

Z

i

Z

e

iZ

sin

cos

+

=

( )

2

cos

iz

iz

e

e

z

−

+

=

( )

i

e

e

z

iz

iz

2

sin

−

−

=

© Sergiusz Patela

Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych

14

Wyciekanie energii - wyprowadzenie wzoru

(

)

'

'

'

'

*

2

2

2

*

2

2

2

*

1

1

1

*

1

1

1

E

E

p

E

E

p

E

E

p

E

E

p

dz

dW

+

+

+

=

d E

d z

i

E

k E

d E

d z

k E

i

E

1

1

1

12

2

2

21

1

2

2

=

+

=

+

β

β

;

(

)

(

)

(

)

(

)

0

*

2

2

*

2

2

2

*

1

*

21

2

*

2

2

2

2

*

2

1

21

2

*

2

1

*

12

1

*

1

1

*

1

1

*

1

2

12

1

*

1

1

1

1

*

2

*

2

*

1

*

21

2

2

*

2

2

2

1

21

2

*

2

*

12

*

1

*

1

1

1

*

1

2

12

1

1

1

=

β

−

+

β

+

+

+

+

β

−

+

β

=

β

−

+

β

+

+

+

+

β

−

+

+

β

=

E

E

j

p

E

E

k

p

E

E

j

p

E

E

k

p

E

E

k

p

E

E

j

p

E

E

k

p

E

E

j

p

E

j

E

k

E

p

E

E

j

E

k

p

E

k

E

j

E

p

E

E

k

E

j

p

dz

dW

(

)

(

)

(

)

(

)

0

*

2

2

*

2

2

2

*

1

1

*

1

1

1

2

*

1

*

21

2

12

1

*

2

1

21

2

*

12

1

=

β

−

β

+

β

−

β

+

+

+

+

+

=

E

E

jp

E

E

jp

E

E

k

p

k

p

E

E

k

p

k

p

dz

dW

(

)

{

}

0

Re

2

2

*

1

*

21

2

12

1

=

+

⋅

E

E

k

p

k

p

ostatecznie:

© Sergiusz Patela

Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych

15

Współczynniki

γ

2

2

1

21

12

2

1

2

,

1

2

2













β

−

β

−

±

β

+

β

=

γ

k

k

j

*

21

12

k

k

−

=

podstawiając:

do:

otrzymujemy:

2

2

1

2

12

2

1

2

,

1

2

2













β

−

β

−

−

±













β

+

β

=

γ

k

j

2

2

12

b

2

1

0

2

1

2

1

|

|

,

,

2

2

=

,

2

β

∆

+

=

β

β

∆

−

β

=

β

β

∆

+

β

=

β

∆

⋅

=

β

−

β

β

∆

≡

∆

β

+

β

=

β

k

N

k

eff

(

)

b

j

β

±

β

=

γ

2

,

1

Rozpatrzymy przypadek p

1

p

2

=1 (obie fale rozchodzą się w jednym kierunku)

definiujemy

β

i

∆

:

© Sergiusz Patela

Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych

16

Urojone

γ

oznacza sinusoidalne oscylacje

(

)

b

j

β

±

β

=

γ

2

,

1

E

A e

A e

z

z

1

1

2

1

2

=

+

γ

γ

D łu g oś ć s p rz ę g a n ia fa lowod ów kz

In te n s ywn oś ć

0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

0 . 7

0 . 8

0 . 9

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

F a lowód 1
F a lowód 2

Spodziewamy się otrzymać przebiegi typu:

Obliczenie powyższych zależności wymaga określenia współczynników (amplitud) A

1

i A

2

© Sergiusz Patela

Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych

17

Ciąg dalszy nastąpi ...

Zastosowanie metody: analiza działania modulatorów i
przełączników światłowodowych, działanie sprzęgaczy
pryzmatycznych i siatkowych.

Zagadnienia te będą analizowane na wykładzie Optoelektronika II