Teoria modów sprzężonych
Prezentacja zawiera kopie folii omawianych na wykładzie. Niniejsze
opracowanie chronione jest prawem autorskim. Wykorzystanie
niekomercyjne dozwolone pod warunkiem podania źródła.
© Sergiusz Patela 1998-2001
Teoria modów sprzężonych
Prezentacja zawiera kopie folii omawianych na wykładzie. Niniejsze
opracowanie chronione jest prawem autorskim. Wykorzystanie
niekomercyjne dozwolone pod warunkiem podania źródła.
© Sergiusz Patela 1998-2001
© Sergiusz Patela
Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych
2
Sprzęgacz kierunkowy
0
x
y
z
β
β
E
E
n
n
n
k
k
1
1
1
2
2
2
3
© Sergiusz Patela
Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych
3
(
)
[
]
E
A
i
z
t
1
1
0
=
⋅
−
exp
β
ω
W pojedynczym światłowodzie rozchodzi się fala
dE
dz
i
E
1
1
0
1
= β
Wprowadzenie drugiego światłowodu powoduje:
•zmianę stałej propagacji światłowodu
•wymianę energii pomiędzy światłowodami
d E
d z
i
E
k E
d E
d z
k E
i
E
1
1
1
12
2
2
21
1
2
2
=
+
=
+
β
β
;
β
β
β
β
1
1
0
11
2
2
0
22
=
−
=
−
k
k
;
gdzie:
Równania modów sprzężonych
© Sergiusz Patela
Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych
4
w postaci:
E
A e
E
B e
z
z
1
2
=
=
γ
γ
;
Wstawiając do równań sprzężonych otrzymujemy:
(
)
(
)
γ
β
γ
β
−
−
−
−
=
i
k
k
i
A
B
1
12
21
2
0
γ
β
β
β
β
1 2
1
2
12 21
1
2
2
2
2
,
=
+
±
−
−
i
k k
Nietrywialne (A=B=0) rozwiązania istnieją tylko jeżeli wyznacznik macierzy zeruje się.
Rozwiązując równanie otrzymamy:
Poszukujemy rozwiązań równań sprzężonych
© Sergiusz Patela
Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych
5
γ
β
γ
β
γ
γ
γ
γ
γ
γ
A e
j
A e
k B e
B e
k A e
j
B e
z
z
z
z
z
z
=
+
=
+
1
12
21
2
E
A e
E
B e
z
z
1
2
=
=
γ
γ
;
2
2
1
21
2
2
12
1
1
1
;
E
j
E
k
dz
dE
E
k
E
j
dz
dE
β
+
=
+
β
=
Wstawiamy postulowane rozwiązania
do układu równań sprzężonych
(
)
(
)
γ
β
γ
β
−
−
=
−
+
−
=
j
A
k B
k A
j
B
1
12
21
2
0
0
(
)
(
)
0
2
21
12
1
=
β
−
γ
−
−
β
−
γ
B
A
j
k
k
j
Wyprowadzenie równania macierzowego
© Sergiusz Patela
Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych
6
Równanie macierzowe ma nietrywialnie (niezerowe) rozwiązania
tylko jeżeli wyznacznik = 0
(
)
(
)
0
2
21
12
1
=
β
−
γ
−
−
β
−
γ
j
k
k
j
(
)(
)
γ
β
γ
β
−
−
−
=
j
j
k k
1
2
12
21
0
γ
γβ
γβ
β β
2
2
1
1
2
1 2
2 1
0
−
−
−
−
=
j
j
k k
(
)
0
)
(
21
12
2
1
2
1
2
=
+
β
β
−
β
+
β
γ
−
γ
k
k
j
Rozwiązanie równanie kwadratowego (następna folia):
2
2
1
21
12
2
1
2
,
1
2
2
β
−
β
−
±
β
+
β
=
γ
k
k
j
Rozwiązanie wyznacznika
© Sergiusz Patela
Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych
7
(
)
0
)
(
21
12
2
1
2
1
2
=
+
β
β
−
β
+
β
γ
−
γ
k
k
j
Pierwiastki równania kwadratowego
a x
b x
c
2
0
+
+ =
obliczamy ze wzoru
x
b
a
1 2
2
,
= −
± ∆
gdzie:
∆ =
−
b
a c
2
4
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
21
12
2
2
1
21
12
2
2
2
1
2
1
21
12
2
1
2
2
2
1
2
1
21
12
2
1
2
2
1
4
4
2
4
4
2
4
k
k
k
k
k
k
k
k
j
+
β
−
β
−
=
+
β
−
β
β
+
β
−
=
+
β
β
+
β
−
β
β
−
β
−
=
+
β
β
−
−
β
+
β
−
=
∆
(
)
(
)
(
)
4
4
4
2
2
4
2
2
1
21
12
2
1
2
2
1
21
12
2
1
2
,
1
β
−
β
−
±
β
+
β
=
β
−
β
−
±
β
+
β
=
γ
k
k
j
k
k
j
2
2
1
21
12
2
1
2
,
1
2
2
β
−
β
−
±
β
+
β
=
γ
k
k
j
Rozwiązanie równania kwadratowego
© Sergiusz Patela
Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych
8
Postać rozwiązania
E
A e
E
B e
z
z
1
2
=
=
γ
γ
;
2
2
1
21
12
2
1
2
,
1
2
2
β
−
β
−
±
β
+
β
=
γ
k
k
j
E
A e
A e
z
z
1
1
2
1
2
=
+
γ
γ
© Sergiusz Patela
Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych
9
E
A e
A e
z
z
1
1
2
1
2
=
+
γ
γ
2
12
1
1
1
E
k
E
j
dz
dE
+
β
=
[
]
2
12
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
E
k
e
A
e
A
j
e
A
e
A
z
z
z
z
+
+
β
=
γ
+
γ
γ
γ
γ
γ
z
z
z
z
e
A
j
e
A
e
A
j
e
A
E
k
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
1
1
2
12
γ
γ
γ
γ
β
−
γ
+
β
−
γ
=
(
)
(
)
[
]
z
z
e
j
A
e
j
A
k
E
2
1
1
2
2
1
1
1
12
2
1
γ
γ
β
−
γ
+
β
−
γ
=
Podstawiając
do równania
obliczamy E
2
Rozwiązanie układu równań sprzężonych - E
1
i E
2
podstawiamy za E
1
->
przenosimy E
2
na lewą stronę->
© Sergiusz Patela
Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych
10
Wyciekanie energii (1)
0
=
dz
dW
Suma energii w obu światłowodach (W)
nie zmienia się wzdłuż linii
Normalizujemy E
1
i E
2
tak, że |E
1
|
2
i |E
2
|
2
określają całkowitą moc w strukturze
Ponieważ w wyniku sprzęgania modów mogą pojawić się falę rozchodzące się
współbieżnie (sprzęgacze) lub przeciwbieżnie (siatki Bragga) wprowadzimy
współczynnik p
1
2
,
1
±
=
p
Całkowita moc:
2
2
2
2
1
1
E
p
E
p
W
+
=
© Sergiusz Patela
Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych
11
Wyciekanie energii (2)
0
=
dz
dW
Suma energii w obu światłowodach (W)
nie zmienia się wzdłuż linii
(
)
'
'
'
'
*
2
2
2
*
2
2
2
*
1
1
1
*
1
1
1
E
E
p
E
E
p
E
E
p
E
E
p
dz
dW
+
+
+
=
podstawiając za pochodne:
d E
d z
i
E
k E
d E
d z
k E
i
E
1
1
1
12
2
2
21
1
2
2
=
+
=
+
β
β
;
otrzymamy:
(
)
{
}
0
Re
2
*
1
*
21
2
12
1
=
+
E
E
k
p
k
p
jeżeli powyższe równanie ma być
spełnione dla wszystkich E to musi być:
0
*
21
2
12
1
=
+
k
p
k
p
(
)
*
2
2
2
*
1
1
1
2
2
2
2
1
1
E
E
p
E
E
p
E
p
E
p
W
+
=
+
=
© Sergiusz Patela
Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych
12
Wektor Poyntinga
H
E
S
!
!
!
×
=
Strumień energii:
(
)
[
]
r
k
t
i
E
u
E
!
!
!
−
ω
=
exp
ˆ
0
1
(
)
[
]
r
k
t
i
H
u
H
!
!
!
−
ω
=
exp
ˆ
0
2
k
u
k
u
1
2
ˆ
ˆ
×
=
ε
µ
=
η
η
=
,
0
0
E
H
Ω
=
ε
µ
=
η
377
0
0
0
Impedancja charakterystyczna próżni:
© Sergiusz Patela
Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych
13
Liczby zespolone - przypomnienie wybranych właściwości
(
) (
)
( )
Z
a
ib
a
ib
a
Z
Z
Re
2
2
*
=
=
−
+
+
=
+
Suma liczby zespolonej i sprzężonej:
Wzór Eulera:
( )
( )
Z
i
Z
e
iZ
sin
cos
+
=
( )
2
cos
iz
iz
e
e
z
−
+
=
( )
i
e
e
z
iz
iz
2
sin
−
−
=
© Sergiusz Patela
Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych
14
Wyciekanie energii - wyprowadzenie wzoru
(
)
'
'
'
'
*
2
2
2
*
2
2
2
*
1
1
1
*
1
1
1
E
E
p
E
E
p
E
E
p
E
E
p
dz
dW
+
+
+
=
d E
d z
i
E
k E
d E
d z
k E
i
E
1
1
1
12
2
2
21
1
2
2
=
+
=
+
β
β
;
(
)
(
)
(
)
(
)
0
*
2
2
*
2
2
2
*
1
*
21
2
*
2
2
2
2
*
2
1
21
2
*
2
1
*
12
1
*
1
1
*
1
1
*
1
2
12
1
*
1
1
1
1
*
2
*
2
*
1
*
21
2
2
*
2
2
2
1
21
2
*
2
*
12
*
1
*
1
1
1
*
1
2
12
1
1
1
=
β
−
+
β
+
+
+
+
β
−
+
β
=
β
−
+
β
+
+
+
+
β
−
+
+
β
=
E
E
j
p
E
E
k
p
E
E
j
p
E
E
k
p
E
E
k
p
E
E
j
p
E
E
k
p
E
E
j
p
E
j
E
k
E
p
E
E
j
E
k
p
E
k
E
j
E
p
E
E
k
E
j
p
dz
dW
(
)
(
)
(
)
(
)
0
*
2
2
*
2
2
2
*
1
1
*
1
1
1
2
*
1
*
21
2
12
1
*
2
1
21
2
*
12
1
=
β
−
β
+
β
−
β
+
+
+
+
+
=
E
E
jp
E
E
jp
E
E
k
p
k
p
E
E
k
p
k
p
dz
dW
(
)
{
}
0
Re
2
2
*
1
*
21
2
12
1
=
+
⋅
E
E
k
p
k
p
ostatecznie:
© Sergiusz Patela
Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych
15
Współczynniki
γ
2
2
1
21
12
2
1
2
,
1
2
2
β
−
β
−
±
β
+
β
=
γ
k
k
j
*
21
12
k
k
−
=
podstawiając:
do:
otrzymujemy:
2
2
1
2
12
2
1
2
,
1
2
2
β
−
β
−
−
±
β
+
β
=
γ
k
j
2
2
12
b
2
1
0
2
1
2
1
|
|
,
,
2
2
=
,
2
β
∆
+
=
β
β
∆
−
β
=
β
β
∆
+
β
=
β
∆
⋅
=
β
−
β
β
∆
≡
∆
β
+
β
=
β
k
N
k
eff
(
)
b
j
β
±
β
=
γ
2
,
1
Rozpatrzymy przypadek p
1
p
2
=1 (obie fale rozchodzą się w jednym kierunku)
definiujemy
β
i
∆
:
© Sergiusz Patela
Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych
16
Urojone
γ
oznacza sinusoidalne oscylacje
(
)
b
j
β
±
β
=
γ
2
,
1
E
A e
A e
z
z
1
1
2
1
2
=
+
γ
γ
D łu g oś ć s p rz ę g a n ia fa lowod ów kz
In te n s ywn oś ć
0
0 . 1
0 . 2
0 . 3
0 . 4
0 . 5
0 . 6
0 . 7
0 . 8
0 . 9
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
F a lowód 1
F a lowód 2
Spodziewamy się otrzymać przebiegi typu:
Obliczenie powyższych zależności wymaga określenia współczynników (amplitud) A
1
i A
2
© Sergiusz Patela
Podstawy Teorii Światłowodów. Teoria modów sprzężonych
17
Ciąg dalszy nastąpi ...
Zastosowanie metody: analiza działania modulatorów i
przełączników światłowodowych, działanie sprzęgaczy
pryzmatycznych i siatkowych.
Zagadnienia te będą analizowane na wykładzie Optoelektronika II