www.gruparectan.com
/rectanbudownictwo
UWAGA!!!: Projekt ma charakter edukacyjny, służy jedynie, jako wzorzec.
1. Kratownica
Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów
2. Szkic projektu
rysunek jest w skali True
3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu
Warunek konieczny geometrycznej niezmienności i statycznej wyznaczalności kratownicy o strukturze
prostej :
p=2w-r
gdzie :
p= liczba prętów kratownicy
w= liczba węzłów kratownicy
r= liczba stopni swobody odbieranych przez podpory
Kratownica :
Strona :1
warunek : 7=7 , warunek jest spełniony
4. Wyznaczenie Reakcji Podporowych
siły i reakcje będziemy przyjmować za dodatnie , gdy są skierowane zgodnie z układem osi XY
siły i reakcje będziemy przyjmować za ujemne , gdy są skierowane niezgodnie z układem osi XY
siły i reakcje będziemy rzutować na oś X i oś Y wyliczając odpowiednie składowe rzutów
gdzie ² to kÄ…t zawarty pomiÄ™dzy siÅ‚Ä… lub reakcjÄ… a osiÄ… X na podstawie tego kÄ…ta można okreÅ›lić zwrot
siły lub reakcji
.................................................................................................................................................................
Uwalniamy daną kratownicę od więzów i wyznaczamy reakcje podporowe.
Ogólne warunki równowagi
.................................................................................................................................................................
suma wszystkich momentów od składowych reakcji i obciążeń siłowych w punkcie, w którym Moment =
0
przyjmujemy punkt, w którym znajduje się podpora przegubowa, w tym punkcie Moment = 0
Strona :2
.................................................................................................................................................................
suma wszystkich składowych reakcji i obciążeń siłowych rzutowana na oś X
.................................................................................................................................................................
suma wszystkich składowych reakcji i obciążeń siłowych rzutowana na oś Y
5. Szkic projektu
Strona :3
rysunek jest w skali True
6. Sprawdzenie Reakcji Podporowych
Sprawdzenia poprawności wyznaczenia reakcji podporowych dokonamy w punkcie [-1;-1] w naszym
układzie XY
(Punkt musi być tak dobrany, aby wszystkie siły i reakcje brały udział w obliczaniu Sumy Momentów )
W punkcie tym Suma Momentów od wszystkich sił i reakcji powinna wynosić M=0
suma wszystkich momentów od składowych reakcji i obciążeń siłowych w punkcie, w którym Moment =
0
Strona :4
7. Sprawdzenie Reakcji Podporowych Rzut X
8. Sprawdzenie Reakcji Podporowych Rzut Y
9. Obliczenie kątów nachylenia prętów do osi X
dX i dY to różnica pomiędzy współrzędnymi końca pręta
PrÄ™t Nr 1-2=(-45)°
PrÄ™t Nr 1-3=0°
Strona :5
PrÄ™t Nr 3-2=(-90)°
PrÄ™t Nr 2-4=0°
PrÄ™t Nr 4-5=90°
PrÄ™t Nr 3-5=0°
PrÄ™t Nr 3-4=(-45)°
10. Obliczenie sił w Prętach
Aby Węzeł był w równowadze to suma jego składowych sił i reakcji rzutowana na oś X i oś Y musi być
równa zero
To suma sił prętowych rzutowana na oś X w Węz
le.
To suma reakcji podporowych rzutowana na oś X w Węz
le - jeżeli jest istnieje.
To suma odziaływania zewnętrznego rzutowana na oś X w Węz
le - jeżeli jest przyłożona.
Strona :6
To suma sił prętowych rzutowana na oś Y w Węz
le.
To suma reakcji podporowych rzutowana na oś Y w Węz
le - jeżeli jest istnieje.
To suma odziaływania zewnętrznego rzutowana na oś Y w Węz
le - jeżeli jest przyłożona.
Obliczenia rozpoczynamy od Węzła, dla którego liczba niewiadomych sił w Prętach jest najmniejsza i
wynosi maksymalnie 2
W równaniach dla uproszczenia zapisu szukane pręty przyjmiemy, jako A i B
.................................................................................................................................................................
Wybrano Węzeł =1
Rzutowanie na oÅ› X
Strona :7
Rzutowanie na oÅ› Y
Układ równań
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
Wybrano Węzeł =5
Strona :8
Rzutowanie na oÅ› X
Rzutowanie na oÅ› Y
Układ równań
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
Wybrano Węzeł =2
Strona :9
Rzutowanie na oÅ› X
Rzutowanie na oÅ› Y
Układ równań
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
Wybrano Węzeł =3
Strona :10
Rzutowanie na oÅ› X
Rzutowanie na oÅ› Y
równanie
Strona :11
lub równanie
.................................................................................................................................................................
11. Szkic projektu
rysunek jest w skali True
Tabela 1 Siły Prętowe
PrÄ™t N [kN] kÄ…t [ °] L [m] funkcja
1-2 7,071 -45,000 1,414 rozciÄ…gany
1-3 -5,000 0,000 1,00 ściskany
Strona :12
3-2 -5,000 -90,000 1,00 ściskany
2-4 -5,000 0,000 1,00 ściskany
4-5 -5,000 90,000 1,00 ściskany
3-5 -10,000 0,000 1,00 ściskany
3-4 7,071 -45,000 1,414 rozciÄ…gany
12. Obliczenie sił w Prętach Metodą Rittera
Punkt Rittera jest to punkt w którym przecinają się linie działania pozostałych dwóch sił. W naszym przypadku
oznaczono je żółtym prostokątem.
Wyliczając Moment Statyczny w Punkcie Rittera od sił i reakcji należących do odciętej części Kratownicy
redukujemy w równaniach te niewiadome siły które się przecinają, ponieważ ramię działania momentu
tych sił wynosi zero.
Odcięta Kratownica jest w równowadze kiedy suma jej składowych sił i reakcji rzutowana na oś X i oś Y
jest równa zero.
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
gdzie :
To suma sił odciętej kratownicy rzutowana na oś X.
To suma reakcji podporowych odciętej kratownicy rzutowana na oś X - jeżeli reakcje należą do części.
To suma odziaływania zewnętrznego odciętej kratownicy rzutowana na oś X - jeżeli siły są przyłożone do
części.
Strona :13
To suma sił prętowych odciętej kratownicy rzutowana na oś Y.
To suma reakcji podporowych odciętej kratownicy rzutowana na oś Y - jeżeli reakcje należą do części.
To suma odziaływania zewnętrznego odciętej kratownicy rzutowana na oś Y - jeżeli siły są przyłożone do
części.
.................................................................................................................................................................
W równaniach dla uproszczenia zapisu szukane pręty przyjmiemy, jako A i B oraz C w przypadku
przecięcia trzech Prętów
Wybrano Przecięcie =0
W tym przypadku są dwa punkty Rittera i do policzenia sił należy rozwiązać układ równań :
Strona :14
1: Suma Momentu Statycznego względem punktu Rittera
2: Rzutując niewiadome siły oraz oddziaływania P na oś X
3: Rzutując niewiadome siły oddziaływania P na oś Y
Oczywiste jest że wyznaczenie siły w pręcie nie przecinającym się w punkcie Rittera jest natychmiastowe
ponieważ tylko ta siła tworzy równanie z jedną niewiadomą
Moment względem Punktu Rittera [1;0]
Moment względem Punktu Rittera [1;1]
Rzutowanie na oÅ› X
Strona :15
Rzutowanie na oÅ› Y
.................................................................................................................................................................
Wybrano Przecięcie =1
W tym przypadku są dwa punkty Rittera i do policzenia sił należy rozwiązać układ równań :
Strona :16
1: Suma Momentu Statycznego względem punktu Rittera
2: Rzutując niewiadome siły oraz oddziaływania P na oś X
3: Rzutując niewiadome siły oddziaływania P na oś Y
Oczywiste jest że wyznaczenie siły w pręcie nie przecinającym się w punkcie Rittera jest natychmiastowe
ponieważ tylko ta siła tworzy równanie z jedną niewiadomą
Moment względem Punktu Rittera [1;1]
Moment względem Punktu Rittera [2;0]
Rzutowanie na oÅ› X
Strona :17
Rzutowanie na oÅ› Y
.................................................................................................................................................................
13. Obliczenie sił w Prętach Metodą Cremony
(grot wektora jest oznaczony numerem pręta, pokazane są tylko pierwsze wektory iteracji)
(wektor drugiej iteracji będzie miał oczywiście zwrot przeciwny do pierwszego )
Obliczamy reakcje podporowe kratownicy i rysujemy wielobok sił i reakcji
Porządek rysowania przyjmujemy zgodnie z ruchem wskazówek zegara
Strona :18
.................................................................................................................................................................
Wybrano Węzeł =1
Strona :19
Wybrano Węzeł =5
Wybrano Węzeł =2
Strona :20
Wybrano Węzeł =3
.................................................................................................................................................................
Strona :21
Wykres Cremony
.................................................................................................................................................................
Aby określić wartości sił należy porównać wykreślone wektory sił ze skalownikiem.
.................................................................................................................................................................
Wydruk Kratos
Copyright © 2014 Grupa Rectan
www.gruparectan.com
Strona :22