Sygnały i Systemy
Sygnały i Systemy
Wykład 7
Transformata Fouriera 
widmo sygnału
Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Zakład Podstaw Elektrotechniki i Informatyki
E-mail: [e-mail]
http://maslowski.sd.prz.edu.pl/
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Plan wykładu
Plan wykładu
Wstęp
Przekształcenie Fouriera
Interpretacja graficzna szeregu i przekształcenia
Fouriera
Własności przekształcenia Fouriera
Transformaty wybranych sygnałów
2
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Analiza widmowa sygnałów okresowych niesinusoidalnych
(przykład z poprzedniego wykładu)
4 A 1 1 1
ëÅ‚
sin É1 t + sin 3É1 t + sin 5É1 t + sin 7É1 t + ...öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Ä„ 3 5 7
íÅ‚ Å‚Å‚
3
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Analiza widmowa sygnałów okresowych niesinusoidalnych
(przykład z poprzedniego wykładu)
4
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Analiza widmowa sygnałów
nieokresowych i impulsowych
W przypadku sygnałów nieskończonych i nieokresowych oraz sygnałów o
skończonym czasie trwania należy wykorzystać do analizy widmowej
całkowe przekształcenie Fouriera.
5
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Sygnał mowy  analiza czasowa
nagranie
6
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Analiza widmowa sygnału
7
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Przekształcenie Fouriera
Całkowe przekształcenie Fouriera jest określone parą
następujących transformacji
Aby sygnał posiadał transformatę
Aby sygnał posiadał transformatę
Proste przekształcenie Fouriera
Proste przekształcenie Fouriera
Fouriera to musi on spełniać tzw.
+"
warunki Dirichleta (patrz.
F( jÉ) = f (t)e- jÉtdt
Wykład 2)
+"
-"
Odwrotne przekształcenie Fouriera
+"
1
jÉt
f (t) =
+"F( jÉ)e dÉ
2Ä„
-"
8
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Przekształcenie Fouriera
Całkowe przekształcenie Fouriera można wyprowadzić jako graniczny
przypadek szeregu Fouriera, gdy okres sygnału dąży do nieskończoności
( ), czyli pulsacja podstawowa dąży do zera
T "
" +"
" +"
1
1
jÉt
É1t
f (t) = Ò! f (t) =
+"F( jÉ)e dÉ
"
"a ejk
k
2Ä„
-"
k=-"
T "
2Ä„
É1 = 0
T
1. Pulsacja podstawowa dąży do zera!
2. Wartości dyskretne pulsacji składowych harmonicznych przechodzą
w wartości ciągłe
kÉ1 É
9
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Interpretacja graficzna szeregu Fouriera
Szereg Fouriera dla sygnału złożonego z trzech harmonicznych.
Przypomnienie:
3
Pojedynczy wirujÄ…cy
jkÉ1t jÕk
f (t) =
wektor wskazowy
Im
"a e ak = ake
k
k =-3
reprezentuje sygnał
sinusoidalny
a3
(kosinusoidalny)
(kosinusoidalny)
3É
3É1
1
2É
1
Im
a1 a2
a+
É
1 É
a1
Re
f(t)
t=0
É
1
Re
a
Õ
a-
a-1 -2
2É
1
3É
a 1
-3
10
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Interpretacja graficzna przekształcenia Fouriera
Im
1. Wektory wskazowe poszczególnych
harmonicznych mają nieskończenie małą
długość, a zatem zamiast krzywej
É="
É3
łamanej otrzymuje się krzywą gładką.
É2
2
2. Jeśli z nieskończonego zbioru
2. Jeśli z nieskończonego zbioru
harmonicznych wybierzemy ciÄ…g
równoodległych pulsacji (np. co 10 kHz),
to wektory odpowiadajÄ…ce tym pulsacjom
É1
będą położone coraz bliżej na wykresie
Re
f(t)
wskazowym.
3. Wirowanie wszystkich wektorów
-É1
powoduje, że kształt krzywej cały czas
się zmienia, a rzut wektorów łączących
początek układu z końcem krzywej na oś
-É2 rzeczywistÄ… wyznacza nam sygnaÅ‚
-É3
f (t)
É=-"
11
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Własności przekształcenia Fouriera
1. Liniowość przekształcenia Fouriera
ax (t ) + by (t ) "! aX (jÉ) + bY (jÉ)
- jÉ t
0
2. Przesunięcie w czasie
x (t -t ) "! X (jÉ)e
0
3. Przesunięcie w dziedzinie
jÉ0t
x(t)e "! X (jÉ - jÉ0)
"! -
"! -
"! -
częstotliwości
12
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Własności przekształcenia Fouriera
1 É
x (at ) "! X (j ) dla a > 0
4. Przeskalowanie
a a
Po dwukrotnym
 przyśpieszeniu sygnału
szerokość jego pasma
zwiększa się od 10Hz do
20 Hz, natomiast amplituda
zmniejsza się o połowę.
13
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Własności przekształcenia Fouriera
dx (t )
"! jÉX (jÉ)
5. Pochodna
dt
t
1
6. CaÅ‚ka x (t )dt "! X ( jÉ ) + Ä„X (0)´ (É )
+"
jÉ
-"
7. Równość Parsevala
+" "
1
2 2
x (t ) dt "! X ( jÉ ) dÉ
(przekształcenie Fouriera
+" +"
2Ä„
zachowuje energię sygnału)
-" -"
14
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Transformaty Fouriera wybranych sygnałów
Definicja impulsu Diraca
+"
0 dla t `" 0
´ (t ) = oraz
+"´ (t )dt = 1
{
" dla t = 0
-"
Impuls dąży
do ", ale jego
pole wynosi 1
1
15
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Transformaty Fouriera wybranych sygnałów
sinÉT
2
É
Impuls
prostokÄ…tny
prostokÄ…tny
Funkcja sinc
sin &!t
2
t
16
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Transformaty Fouriera wybranych sygnałów
Impuls
DIRACA
Impuls dąży
do ", ale jego
Sygnał
pole wynosi
2Ä„
stały
Szereg
impulsów
Diraca
17
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Transformaty Fouriera wybranych sygnałów
1
(2Ä„´ (É -É0 ) + 2Ä„´ (É +É0 ))
2
Sygnał
kosinusoidalny
kosinusoidalny
É
Sygnał
É
sinusoidalny
j
(2Ä„´ (É -É0 ) - 2Ä„´ (É +É0 ))
2
18
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Transformaty Fouriera wybranych sygnałów
2
- j
É
Sygnał
znaku
1
Ä„´ (É) - j
É
Skok
jednostkowy
2
É
-
Ä„
4a
2
e
-at
a
Sygnał e
gaussowski
19
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Transformaty Fouriera wybranych sygnałów
1
-at
e
a + jÉ
Sygnał
wykładniczy
Fragment sygnału
kosinusoidalnego,
wycięty przez
czasowe okno
prostokÄ…tne
sin((É -É0 )T ) sin((É +É0 )T )
+
É -É0 É +É0
20
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Transformaty Fouriera wybranych sygnałów
-at
AÉ0
Ae sinÉ0t
(a + jÉ)2 +É02
t e" 0, a > 0
Sygnał
sinusoidalny
z obwiedniÄ…
z obwiedniÄ…
wykładniczą
Sygnał
kosinusoidalny z
obwiedniÄ…
wykładniczą
-at
a + jÉ
Ae cosÉ0t
A
t e" 0, a > 0 (a + jÉ)2 + É02
21